2013數(shù)學建模協(xié)會講座(第二次的講稿).ppt

實 例,背景材料 一年前，銀行存款利息普遍下調(diào)因此，農(nóng)村部分資金雄厚的個體戶想把資金用于土地承包上；另一方面，當?shù)卣哺械劫Y金短缺，想把大面積土地連續(xù)10年、20年或30年的承包給農(nóng)戶，但要求承包者必須現(xiàn)在一次性繳納完10年、20年或30年的合同款，對于承包者提前支付的合同款，政府決定按提前的時間分別予以計息后，抵合同款，于是就產(chǎn)生了下面的問題,例1 農(nóng)田承包問題,問題 某農(nóng)場現(xiàn)有若干畝農(nóng)田要承包給農(nóng)戶，農(nóng)場決定：每畝地每年收合同款200元，一農(nóng)戶打算連續(xù)承包若干畝農(nóng)田30年，并決定一次性繳完30年的合同款，但對于提前交付的合同款，農(nóng)場必須按年息10予以計息后抵繳合同款(按單利計算)，問此農(nóng)戶每畝地現(xiàn)在一次性應向農(nóng)場繳納合同款多少元?,問題分析 (1)第一年的合同款屬于按期交付，不予計息每畝地應收： x1200(元)， 即為 x1十x110(1-1)200(元)。 (2)第二年的合同款屬于提前一年交付，應按本金的一年計息后抵合同款，設第二年每畝地留繳本金x2元，則每畝地提前繳納的合同款的本息和應等于當年每畝地需繳的合同款200元即 x2十x210(2-1)200 x2182(元),(3)第三年的合同款屬于提前二年交付，應按本金的二年計息后抵合同款，設第三年每畝地需繳本金x3元，則第三年每畝地提前繳納的合同款的本息和也應等于當年需繳的合同款200元即 x3十x310(3-1)200， x3166(元) (4)依次類推，設第30年每畝地現(xiàn)在應繳本金工：x30元，則有 x30十x3010(30-1)200， x3051 (元).,(5)設該農(nóng)戶每畝地現(xiàn)在一次性應向農(nóng)場繳款S元，則 Sx1十x2十x3十十x30 = =2849(元) 故此農(nóng)戶每畝地現(xiàn)在一次性應向農(nóng)場繳合同款2849元,評注 以上問題可建立如下數(shù)學模型： 設第i年每畝地現(xiàn)在提前交付的本金為xi元。則 xi十xiA(i一1)a (1) 其中A為年利息，a為每畝地每年規(guī)定繳納的合同款 運用公式(1)可算出第i年每畝地，現(xiàn)在需交的合同款設農(nóng)戶連續(xù)承包農(nóng)田n年，每畝地第一年一次性繳納的合同款為Sn，則 Sn ,例2 紅綠燈問題,問題 在一個由紅綠燈管理下的十字路口，如果綠燈亮15秒鐘，問最多可以有多少輛汽車通過這個交叉路口?,問題分析 因為交通燈對十字路口的控制方式很復雜，我們這里研究的所有車輛都是直行穿過路口，不拐彎行駛到馬路一側(cè)或單行線上的車輛。假設車輛長度均為L米，每相鄰兩輛車之間的距離相等均為D米，前一輛車,啟動后，下一輛車啟動的延遲時間均為T秒，紅燈前停止的汽車按照勻加速運動 來描述。對于紅燈前第n輛車，則有,若在城市道路上行駛的汽車的最高時速限制為 米/秒，并設汽車啟動后一直加速到這個最高速度，并以這個速度向前行駛，則汽車加速時間為,由上面分析可得到綠燈亮后汽車行駛的規(guī)律是,實例 對于模型的參數(shù)值，我們?nèi)5米，D2米，T1秒，據(jù)調(diào)查，城市的十字路口汽車的最高速度一般是40千米小時，即 米/秒，10秒鐘內(nèi)車子可以由靜止加速到20米/秒，其加速度為 a2米/秒2， 秒 根據(jù)這些參數(shù)，可以計算出綠燈開始亮到亮至15秒，每輛汽車的位置如下表所示。,車的位置表,結論 從上表可見，當綠燈亮到15秒時，第八輛汽車已經(jīng)駛過紅綠燈9米，而第9輛汽車還距交通燈9.1米，因此不能通過。,例3 貸款購房問題,問題的提出 現(xiàn)在，國家鼓勵貸款消費。所謂貸款消費，就是某人要購買一樣東西，但未有足夠的資金，于是向銀行進行抵押貸款，而銀行要求此人逐月歸還本與息，直至把本息全部還清為止。抵押貸款已逐漸被人們所接受。 張三準備向銀行抵押貸款購房，假如你(指學生)是經(jīng)紀人，請你向張三提供以下信息或資料：,1. 抵押貸款購房的利息是多少?最高貸款額是多少? 2. 張三向銀行借貸了a萬元人民幣，計劃n年把本息還清(1n30)(日前政策規(guī)定抵押貸款購房還款期限最長為30年)。請你為張三向銀行還錢設計一種合理的還錢方案(不要直接咨詢結果)。(已知張三貸款時的n年期貸款月利率為p)。,問題的解決 對于第1個問題，各位同學通過調(diào)查，都能正確回答。,第2個問題的解決，實際上要求大家抓住問題的數(shù)學本質(zhì)，建立一個數(shù)學模型，以便解決抵押貸款購物的還錢方式問題。開始時也許同學們會感到不習慣，無從人手，不懂得從實際問題中去粗取精，不懂得抓住問題的數(shù)學本質(zhì)。而我們也不急于要求馬上得出結論，不急于堂上解決，而是給予足夠的時間和空間，讓大家充分地思考、討論、研究。同學們可不自覺地自由組合起來，到本校、本市圖書館主動查問有關資料，或自己組織開展活躍的調(diào)查、爭論，互相交換各自意見。,隨著思考、交流、研究的不斷深入，大家會慢慢認清了這個問題的數(shù)學本質(zhì)，問題就逐步得到解決。我們把研究的結果收集起來，并組織交流。 事實上，設計的方案主要有以下兩種：,方案一：把所借貸的本金平均逐月歸還；同時把每個月的利息歸還。所以，借貸期限內(nèi)各月的還款金額(單位為萬元)依次為：,大家可觀察各個月的利息有什么特征?各個月的利息組成等差數(shù)列，我們還可給這種還錢方案命名，或者叫“減少方式”，或者叫“等差方式”等等。其實，“這種還錢方案就是銀行常用的，叫做遞減法公式還錢方案”。,方案二：把所借貸的本金以及借貸期內(nèi)的所有利息兩者總和平均逐月歸還。那么，平均每月還多少錢? 設平均每月還 元，則,例4 食堂采購問題,問題 食堂采購員每天都需要買定數(shù)量的鮮肉鮮肉市場上的價格時有浮動。問采購員應采用怎樣的采購方式采購肉會比較合算？,問題分析 由于鮮肉在市場上的價格時有浮動，因此，采購員采用什么方式采購才比較合算是一個十分復雜的問題。對這一問題的研究，必須先對實際問題作些必要的抽象與簡化。,例如，我們作如下的假設：假設采購員只有兩種可供選擇的采購方式。第一種是，每天都買固定數(shù)量的肉；第二種是，每天都買固定錢數(shù)的肉。在這種簡化假設下，我們來研究采購員采用哪種方式購肉比較合算。,問題的求解,練習：,T型通道的優(yōu)化設計 很多擁有大型設備的企業(yè)，如：火力發(fā)電廠，它擁有鍋爐，汽輪機，發(fā)電機等大型設備，在進行廠房規(guī)格的設計時，必須首先考慮這些大型設備能夠順利安裝到機位上。如何將設備順利地安裝到機位上這就涉及到