數(shù)值計算方法的意義內(nèi)容.ppt

數(shù) 值 計 算 方 法,內(nèi)容和方法,1 數(shù)值計算方法的意義、內(nèi)容與方法,軟件的核心就是算法。,20 世紀最偉大的科學技術(shù)發(fā)明-計算機,計算機是對人腦的模擬，它強化了人的思維智能；,計算機的發(fā)展和應用，已不僅僅是一種科學技術(shù) 現(xiàn)象，而且成了一種政治、軍事、經(jīng)濟和社會現(xiàn)象；,算法猶如樂譜， 軟件猶如CD盤片， 而硬件如同CD唱機。,算法的研究和應用正是本課程的主題 ！,現(xiàn)代科學研究的三大支柱,計算數(shù)學, ,21世紀信息社會的兩個主要特征： “計算機無處不在” “數(shù)學無處不在”,21世紀信息社會對科技人才的要求： -會“用數(shù)學”解決實際問題 -會用計算機進行科學計算,建立數(shù)學模型,選取計算方法,編寫上機程序,計算得出結(jié)果,科學計算解題過程,一、計算數(shù)學的產(chǎn)生和早期發(fā)展,計算數(shù)學是數(shù)學的一個古老的分支，雖然數(shù)學不僅僅 是計算，但推動數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的最直接原因還是 計算問題。,二、二十世紀計算數(shù)學的發(fā)展,數(shù)值代數(shù),最優(yōu)化計算,數(shù)值逼近,計算幾何,概率統(tǒng)計計算,蒙特卡羅方法,微分方程的數(shù)值解法,微分方程的反演問題,數(shù)值計算的主要內(nèi)容,數(shù)值代數(shù)：方程求根、線性方程組求解、 特征值的求解；,數(shù)值逼近：插值、分和積分、 最小二乘法；,微分方程數(shù)值解： 常微分方程數(shù)值解； 偏微分方程數(shù)值解： 差分法 有限元法 有限體積法,教材 數(shù)值計算方法 徐濤 編著 （吉林科學技術(shù)出版社）,參考書目 應用數(shù) 使用MATLAB和C語言 Robert J.Schilling & San （機械工業(yè)出版社） Numerical Recipes in C+ The Art 著 （電子工業(yè)出版社） 現(xiàn)代數(shù)值分析 李慶揚、易大義、王能超 編著 （高等教育出版社）,2 算 法,一、算法的概念,描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語言 和數(shù)學語言加以用框圖直觀地顯示算法的全貌。,定義：由基本運算及運算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的 解題步驟，稱為算法。,例1：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿共48， 要數(shù)腦袋整17，多少小兔多少雞？,算術(shù)方法 ：,若沒有小兔，則雞應是17只,總腿數(shù) ：21734,一只小兔增加 2條腿，,應該有,只小兔,10只小雞,代數(shù)方法 ：,設有x只小雞，y只小兔 ，,(-2)*(i) +(ii) , 得,只小兔,高斯消去法,例：求解二元一次聯(lián)立方程組,用行列式解法：首先判別,（1）如果 ，則令計算機計算,輸出計算的結(jié)果x1，x2。,（2）如果D= 0，則或是無解，或有無窮多組解。,令,通過求解過程，可以總結(jié)出算法步驟如下：,S2 計算,S3 如果,則輸出原方程無解或有無窮多組解的信息;,否則,S1 輸入,S4 輸出計算的結(jié)果,二、算法的優(yōu)劣, 計算量小, 存貯量少, 邏輯結(jié)構(gòu)簡單,例：用行列式解法求解線性方程組: n階方程組，要計算n + 1個n階行列式的值， 總共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法運算。,n=20 需要運算多少次？,n=100?,一、 誤差的背景介紹,1. 來源與分類,從實際問題中抽象出數(shù)學模型 模型誤差,3 數(shù)值計算中的誤差,例1:質(zhì)量為m的物體，在重力作用下，自由下落， 其下落距系是：,（1.1）,其中 g 為重力加速度。,通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差,求近似解 方法誤差 (截斷誤差）,機器字長有限 舍入誤差,用計算機、計算器和筆算，都只能用有限位小數(shù) 來代替無窮小數(shù)的小數(shù)來代替位數(shù)較多 的有限小數(shù)，如：, = 3.1415926,x = 8.12345,四舍五入后,在數(shù)值計算方法中，主要研究截斷誤差和舍入誤差 （包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對計算結(jié)果的影響！,二、絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字,1絕對誤差與絕對誤差限,例 2:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長， 大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。,1.45米的 絕對誤差=？,不知道！,但實際問題往往可以估計出 不超過某個正數(shù)，即， ，則稱 為絕對誤差限，有了絕對誤差限 就可以知道x范圍為,即x落在 內(nèi)。在應用上，常常采用下列 寫法來刻劃x*的精度。,2相對誤差和相對誤差限,（1.6）,定義2：設x是準確值，x*是近似值，稱,滿足,為近似值x的相對誤差，相應地，若正數(shù) ，,則稱 為x的相對誤差限。,3有效數(shù)字,則說x*近似表示x準確到小數(shù)后第n位，并從這第n位起 直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字， 并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為有效位數(shù)。,定義3：如果,（1.7）,由上述定義,有效數(shù)位為3位,有效數(shù)位為5位,有效數(shù)位為4位,誤差的傳播與積累,例3：蝴蝶效應 紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！,NY,BJ,以上是一個病態(tài)問題,4 數(shù)值計算中應該注意的一些原則,1要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法,例4：求 （n = 0, 1, 2, , 8）的值。,解：由于,初值,遞推公式,（1.8）,注意此公式精確成立,按 (1.8) 式就可以逐步算出,What happened?!,不穩(wěn)定的算法 ！,由遞推公式（1.8）計算結(jié)果的影響，隨著n的增大 愈來愈嚴重。這就造成I4的計算結(jié)果嚴重失真。,這就是誤差傳播所引起的危害 !,改變公式：,不妨設I9 I10，于是由,可求得I9 0.017，按公式（1.9）可逐次求得,（1.9）,I8 0.019 I7 0.021 I6 0.024 I8 0.028 I4 0.034 I3 0.043 I2 0.058 I1 0.088 I0 0.182,穩(wěn)定的算法 ！,在我們今后的討論中，誤差將不可回避， 算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。,2要避免兩個相似數(shù)相減,在數(shù)值相近的數(shù)作減法時有效數(shù)字會損失。,（1.10）,的值。當x = 1000，y 的準確值為0.01580,1、直接相減,2、將（1.10）改寫為,則 y = 0.01581,例5: 求,類似地,2. 絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù),例6：,如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時,3. 避免大數(shù)吃小數(shù),例7：用單精度計算 的根。,精確解為, 算法1：利用求根公式,在計則：1 = 0.0000000001 1010，取單精度時就成為： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,算法2：先解出,注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。,例8：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算,4. 先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。,一般來說，計算