線性代數同濟第五版的習題參考 答案.pdf

線性代數(同濟四版)習題參考答案 黃正華 Email: huangzh 武漢大學 數學與統(tǒng)計學院, 湖北 武漢 430072 Wuhan University 目錄 第一章行列式1 第二章矩陣及其運算17 第三章矩陣的初等變換與線性方程組33 第四章向量組的線性相關性48 第五章相似矩陣及二次型69 第一章行列式 課后的習題值得我們仔細研讀. 本章建議重點看以下習題: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (這幾個題號建立有超級鏈接.) 若 您發(fā)現有好的解法, 請不吝告知. 1 .利用對角線法則計算下列三階行列式: (1) fl fl fl fl fl fl fl fl 201 141 183 fl fl fl fl fl fl fl fl ;(2) fl fl fl fl fl fl fl fl abc bca cab fl fl fl fl fl fl fl fl ; (3) fl fl fl fl fl fl fl fl 111 abc a2b2c2 fl fl fl fl fl fl fl fl ;(4) fl fl fl fl fl fl fl fl xyx + y yx + yx x + yxy fl fl fl fl fl fl fl fl . 解: (1) fl fl fl fl fl fl fl fl 201 141 183 fl fl fl fl fl fl fl fl = 2 (4) 3 + 0 (1) (1) + 1 1 8 0 1 3 2 (1) 8 1 (4) (1) = 24 + 8 + 16 4 = 4. (2) fl fl fl fl fl fl fl fl abc bca cab fl fl fl fl fl fl fl fl = acb + bac + cba bbb aaa ccc = 3abc a3 b3 c3. (3) fl fl fl fl fl fl fl fl 111 abc a2b2c2 fl fl fl fl fl fl fl fl = bc2+ ca2+ ab2 ac2 ba2 cb2= (a b)(b c)(c a). (4) fl fl fl fl fl fl fl fl xyx + y yx + yx x + yxy fl fl fl fl fl fl fl fl = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx y3 (x + y)3 x3 = 3xy(x + y) y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3 = 2(x3+ y3). 2 .按自然數從小到大為標準次序,求下列各排列的逆序數: (1) 1 2 3 4;(2) 4 1 3 2; (3) 3 4 2 1;(4) 2 4 1 3; (5) 1 3(2n 1) 2 4(2n); (6) 1 3(2n 1) (2n) (2n 2)2. 解 (1)逆序數為0. (2)逆序數為4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2. 1 2第一章 行列式 (3)逆序數為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)逆序數為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)逆序數為 n(n1) 2 : 3 2.1個 5 2, 5 4 . 2個 7 2, 7 4, 7 63個 (2n 1) 2, (2n 1) 4, (2n 1) 6, ., (2n 1) (2n 2)(n 1)個 (6)逆序數為n(n 1): 3 2.1個 5 2, 5 4 . 2個 7 2, 7 4, 7 63個 (2n 1) 2, (2n 1) 4, (2n 1) 6, ., (2n 1) (2n 2)(n 1)個 4 2.1個 6 2, 6 4 2個 (2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, ., (2n) (2n 2) .(n 1)個 3 .寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解:由定義知,四階行列式的一般項為 (1)ta1p1a2p2a3p3a4p4, 其中t為p1p2p3p4的逆序數 由于p1= 1, p2= 3已固定, p1p2p3p4只能形如13,即1324或1342.對應的逆序數t分別為 0 + 0 + 1 + 0 = 1,或0 + 0 + 0 + 2 = 2. 所以, a11a23a32a44和a11a23a34a42為所求. 4 .計算下列各行列式: (1) flfl flfl flfl flfl flfl 4124 1202 10520 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl ;(2) fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2141 3121 1232 5062 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl ; (3) flfl flfl flfl flfl abacae bdcdde bfcfef fl fl fl fl fl fl fl fl ;(4) fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a100 1b10 01c1 001d fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl . 解: (1) fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 4124 1202 10520 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r1r2 = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 4124 10520 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r24r1 = = = = = = = r310r1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0724 015220 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 線性代數(同濟四版)習題參考答案3 r2r4 = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0117 015220 0724 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r4+7r2 = = = = = = = r3+15r2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0117 001785 00945 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = 17 9 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0117 0015 0015 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = 0. (2) fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2141 3121 1232 5062 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c4c2 = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2140 3122 1230 5062 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r4r2 = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2140 3122 1230 2140 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r4r1 = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2140 3122 1230 0000 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = 0. (3) fl fl fl fl fl fl fl fl abacae bdcdde bfcfef fl fl fl fl fl fl fl fl = adf fl fl fl fl fl fl fl fl bce bce bce fl fl fl fl fl fl fl fl = adfbce fl fl fl fl fl fl fl fl 111 111 111 fl fl fl fl fl fl fl fl r2+r1 = = = = = r3+r1 adfbce fl fl fl fl fl fl fl fl 111 002 020 fl fl fl fl fl fl fl fl = adfbce fl fl fl fl fl 02 20 fl fl fl fl fl = 4abcdef. (4) fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a100 1b10 01c1 001d fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r1+ar2 = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 01 + aba0 1b10 01c1 001d fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 按第1列 = = = = = = = = 展開 (1)(1)2+1 fl fl fl fl fl fl fl fl 1 + aba0 1c1 01d fl fl fl fl fl fl fl fl c3+dc2 = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl 1 + abaad 1c1 + cd 010 fl fl fl fl fl fl fl fl 按第3行 = = = = = = = = 展開 (1)(1)3+2 fl fl fl fl fl 1 + abad 11 + cd fl fl fl fl fl = abcd + ab + cd + ad + 1. 5 .證明: (1) flfl flfl flfl flfl a2abb2 2aa + b2b 111 fl fl fl fl fl fl fl fl = (a b)3; 證明 fl fl fl fl fl fl fl fl a2abb2 2aa + b2b 111 fl fl fl fl fl fl fl fl c2c1 = = = = = c3c1 fl fl fl fl fl fl fl fl a2ab a2b2 a2 2ab a2b 2a 100 fl fl fl fl fl fl fl fl =(1)3+1 fl fl fl fl fl ab a2b2 a2 b a2b 2a fl fl fl fl fl = (b a)(b a) fl fl fl fl fl ab + a 12 fl fl fl fl fl = (a b)3. (2) flfl flfl flfl flfl ax + byay + bzaz + bx ay + bzaz + bxax + by az + bxax + byay + bz fl fl fl fl fl fl fl fl = (a3+ b3) fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl ; 4第一章 行列式 證明: fl fl fl fl fl fl fl fl ax + byay + bzaz + bx ay + bzaz + bxax + by az + bxax + byay + bz fl fl fl fl fl fl fl fl 按第1列 = = = = = = = = 分裂開 a fl fl fl fl fl fl fl fl xay + bzaz + bx yaz + bxax + by zax + byay + bz fl fl fl fl fl fl fl fl + b fl fl fl fl fl fl fl fl yay + bzaz + bx zaz + bxax + by xax + byay + bz fl fl fl fl fl fl fl fl 再次 = = = = 裂開 a2 fl fl fl fl fl fl fl fl xay + bzz yaz + bxx zax + byy fl fl fl fl fl fl fl fl + 0 + 0 + b2 fl fl fl fl fl fl fl fl yzaz + bx zxax + by xyay + bz fl fl fl fl fl fl fl fl 再次 = = = = 裂開 a3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl + b3 fl fl fl fl fl fl fl fl yzx zxy xyz fl fl fl fl fl fl fl fl =a3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl + b3(1)2 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl = (a3+ b3) fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl . 此題有一個“經典”的解法: fl fl fl fl fl fl fl fl ax + byay + bzaz + bx ay + bzaz + bxax + by az + bxax + byay + bz fl fl fl fl fl fl fl fl = fl fl fl fl fl fl fl fl axayaz ayazax azaxay fl fl fl fl fl fl fl fl + fl fl fl fl fl fl fl fl bybzbx bzbxby bxbybz fl fl fl fl fl fl fl fl =a3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl + b3 fl fl fl fl fl fl fl fl yzx zxy xyz fl fl fl fl fl fl fl fl = a3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl + b3(1)2 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl =(a3+ b3) fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl . 這個解法“看上去很美”,實則是一個錯解!我們強調,行列式不能作這種 . 形 . 式 . 上的加法: fl fl fl fl fl fl fl fl a11.a1n . . . . . an1ann fl fl fl fl fl fl fl fl + fl fl fl fl fl fl fl fl b11.b1n . . . . . bn1bnn fl fl fl fl fl fl fl fl = fl fl fl fl fl fl fl fl a11+ b11.a1n+ b1n . . . . . an1+ bn1ann+ bnn fl fl fl fl fl fl fl fl . (3) flfl flfl flfl flfl flfl a2(a + 1)2(a + 2)2(a + 3)2 b2(b + 1)2(b + 2)2(b + 3)2 c2(c + 1)2(c + 2)2(c + 3)2 d2(d + 1)2(d + 2)2(d + 3)2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = 0; 證明: fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a2(a + 1)2(a + 2)2(a + 3)2 b2(b + 1)2(b + 2)2(b + 3)2 c2(c + 1)2(c + 2)2(c + 3)2 d2(d + 1)2(d + 2)2(d + 3)2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cjc1 = = = = = = j=2,3,4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a22a + 14a + 46a + 9 b22b + 14b + 46b + 9 c22c + 14c + 46c + 9 d22d + 14d + 46d + 9 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c32c2 = = = = = = c43c2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a22a + 126 b22b + 126 c22c + 126 d22d + 126 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 兩列成比例 = = = = = = = = = 0. 線性代數(同濟四版)習題參考答案5 (4) fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 abcd a2b2c2d2 a4b4c4d4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a + b + c + d); 證明: fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 abcd a2b2c2d2 a4b4c4d4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cjc1 = = = = = = j=2,3,4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1000 ab ac ad a a2b2 a2c2 a2d2 a2 a4b4 a4c4 a4d4 a4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 展開r1 = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl b ac ad a b2 a2c2 a2d2 a2 b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2) fl fl fl fl fl fl fl fl = (b a)(c a)(d a) fl fl fl fl fl fl fl fl 111 b + ac + ad + a b2(b + a)c2(c + a)d2(d + a) fl fl fl fl fl fl fl fl c2c1 = = = = = c3c1 (b a)(c a)(d a) fl fl fl fl fl fl fl fl 100 b + ac bd b b2(b + a)c2(c + a) b2(b + a)d2(d + a) b2(b + a) fl fl fl fl fl fl fl fl 展開r1 = = = = = = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b) fl fl fl fl fl 11 (c2+ bc + b2) + a(c + b)(d2+ bd + b2) + a(d + b) fl fl fl fl fl = (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a + b + c + d). (5) flfl flfl flfl flfl flfl flfl fl x1000 0x100 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 anan1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = xn+ a1xn1+ + an1x + an. 證明:方法一.設法把主對角線上的x變?yōu)?,再按第一列展開. Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl flfl flfl x10000 0x1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 000x10 0000x1 anan1an2a3a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cn1+xcn = = = = = = = = flfl flfl flfl flfl flfl flfl flfl flfl x10000 0x1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 000x10 000001 anan1an2a3x2+ a1x + a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 6第一章 行列式 cn2+xcn1 = = = = = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x10000 0x1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 000010 000001 anan1an2x3+ a1x3+ a2x + a3x2+ a1x + a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cj+xcj1 = = = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0100 0000 . . . . . . . . . . . . 0010 0001 xn+ a1xn1+ + an1x + anxn1+ a1xn2+ + an2x + an1x2+ a1x + a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl =(xn+ a1xn1+ + an1x + an)(1)n+1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 100 000 . . . . . . . . . 010 001 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl =(xn+ a1xn1+ + an1x + an)(1)n+1(1)n1 =xn+ a1xn1+ + an1x + an. 方法二.設法把1全部變?yōu)?,得到一個下三角矩陣. 若x = 0,則Dn= an.等式成立. 若x 6= 0,則 Dn c2+1 xc1 = = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x0000 0x100 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 anan1+ an x an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c3+1 xc2 = = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x0000 0x000 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 anan1+ an x an2+ an1 x + an x2 a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x0000 0x000 . . . . . . . . . . . . . . . 000x0 anan1+ an x an2+ an1 x + an x2 P2P1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 這里, P2= a2+ a3 x + a4 x2 + + + an xn2 , 線性代數(同濟四版)習題參考答案7 P1= x + a1+ a2 x + a3 x2 + + + an xn1 . 得到下三角陣,所以 Dn= xn1 P1= xn+ a1xn1+ + an1x + an. 方法三.用遞歸法證明.記 Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x1000 0x100 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 anan1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl , 則 Dn 展開c1 = = = = = =x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x100 . . . . . . . . . . . . 00x1 an1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl + an(1)n+1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1000 x100 . . . . . . . . . . . . 00x1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = xDn1+ an(1)n+1(1)n1= xDn1+ an. 所以, Dn= xDn1+ an.由此遞歸式得 Dn= xn+ a1xn1+ + an1x + an. 方法四.按最后一行展開.先看ani的代數余子式.因為 Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x1 x1 x . . 1 x1 x1 x . . 1 x1 anan1an2an(i1)anian(i+1)a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 劃掉ani所在的行和所在的列,左上角是ii的方塊,右下角是(ni1)(ni1)的方塊,余下全為0. 則ani的 : 代:數:余:子:式為(注意到ani處在第n行、i + 1列) (1)n+i+1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x1 x1 x . . 1 x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl ii fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 x . . 1 x1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (ni1)(ni1) = xi 所以, Dn按最后一行展開,得到 Dn= an+ an1x + an2x2+ + anixi+ + a2xn2+ (x + a1)xn1 8第一章 行列式 = xn+ a1xn1+ + an1x + an. 方法五.針對c1作變換. Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x1000 0x100 00x00 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 anan1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c1+xc2 = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 01000 x2x100 00x00 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 an+ an1xan1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c1+x2c3 = = = = = = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 01000 0x100 x30x00 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 an+ an1x + an2x2an1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = = fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 01000 0x100 00x00 . . . . . . . . . . . . . . . 000x1 Pan1an2a2x + a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl , 這里, P = an+ an1x + an2x2+ + a1xn1+ xn. 再按第一列展開,得 Dn= xn+ a1xn1+ + an1x + an. 6 .設n階行列式D = det(aij),把D上下翻轉、 或逆時針旋轉90、 或依副對角線翻轉,依次得 D1= fl fl fl fl fl fl fl fl an1ann . . . . . . a11a1n fl fl fl fl fl fl fl fl ,D2= fl fl fl fl fl fl fl fl a1nann . . . . . . a11an1 fl fl fl fl fl fl fl fl ,D3= fl fl fl fl fl fl fl fl anna1n . . . . . . an1a11 fl fl fl fl fl fl fl fl , 證明D1= D2= (1) n(n1) 2 D, D3= D. 證明: D1= flfl flfl flfl flfl an1ann . . . . . . a11a1n fl fl fl fl fl fl fl fl n1次行的相鄰互換 = = = = = = = = = = = = = = = 使rn換到第一行 (1)n1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a11a1n an1ann . . . . . . a21a2n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 線性代數(同濟四版)習題參考答案9 n2次行的相鄰互換 = = = = = = = = = = = = = = = 使rn換到第二行 (1)n1(1)n2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a11a1n a21a2n an1ann . . . . . . a31a3n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = = (1)n1(1)n2(1) fl fl fl fl fl fl fl fl a11a1n . . . . . . an1ann fl fl fl fl fl fl fl fl = (1)1+2+(n2)+(n1)D = (1) n(n1) 2 D. 同理可證 D2= (1) n(n1) 2 fl fl fl fl fl fl fl fl a11an1 . . . . . . a1nann fl fl fl fl fl fl fl fl = (1) n(n1) 2 DT= (1) n(n1) 2 D. D3= (1) n(n1) 2 D2= (1) n(n1) 2 (1) n(n1) 2 D = (1)n(n1)D = D. 7 .計算下列各行列式(Dk為k階行列式)： (1) Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl a1 . 1a fl fl fl fl fl fl fl fl ,其中對角線上元素都是a,未寫出的元素都是0; 解:方法一.將cn作n 1次列的相鄰對換,移到第二列: Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a001 0a00 . . . . . . . . . . . . 00a0 100a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = (1)n1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a001 100a 0a00 . . . . . . . . . . . . 00a0 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 再將rn作n 1次行的相鄰對換,移到第二行: Dn= (1)n1(1)n1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a100 1a00 00a0 . . . . . . . . . . . . 000a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = fl fl fl fl fl a1 1a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a0 . . . . . . 0a fl fl fl fl fl fl fl fl (n2)(n2) = (a2 1)an2. 方法二. Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a001 0a00 . . . . . . . . . . . . 00a0 100a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 展開c1 = = = = = = a fl fl fl fl fl fl fl fl a . a fl fl fl fl fl fl fl fl (n1)(n1) + 1 (1)n+1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 001 a00 . . . . . . . . . 0a0 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (n1)(n1) 10第一章 行列式 展開r1 = = = = = = an+ (1)n+1 1 (1)(n1)+1 fl fl fl fl fl fl fl fl a . a fl fl fl fl fl fl fl fl (n2)(n2) = an an2. (2) Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl xaa axa . . . . . . . . . aax fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl ; 解:方法一.將第一行乘(1)分別加到其余各行,得 Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl xaaa a xx a00 a x0x a0 . . . . . . . . . . . . a x00x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl , 再將各列都加到第一列上,得 Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x + (n 1)aaaa 0x a00 00x a0 . . . . . . . . . . . . 000x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = x + (n 1)a(x a)n1. 方法二.將各列都加到第一列得 Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x + (n 1)aaa x + (n 1)axa . . . . . . . . . x + (n 1)aax fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = x + (n 1)a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1aa 1xa . . . . . . . . . 1ax fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 再將第一行乘以(1)分別加到其余各行,得 Dn= x + (n 1)a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1aaa 0x a00 00x a0 . . . . . . . . . . . . 000x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl = x + (n 1)a(x a)n1. 方法三.升階法. Dn= flfl flfl flfl flfl flfl flfl fl 1aaa 0xaa 0axa . . . . . . . . . . . . 0aax fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (n+1)(n+1) rir1 = = = = = = = i=2,3, fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1aaa 1x a00 10x a0 . . . . . . . . . . . . 100x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (n+1)(n+1) 線性代數(同濟四版)習題參考答案11 若x = a,則Dn= 0.若x 6= a,則將 1 xacj 加到c1, j = 2,3, ,n + 1: Dn= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 + a xan aaa 0x a00 00x a0 . . . . . . . . . . . . 000x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (n+1)(n+1) = ? 1 + na x a (x a)n= x + (n 1)a(x a)n1. (3) Dn+1= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl an(a 1)n(a n)n an1(a 1)n1(a n)n1 . . . . . . . . . aa 1a n 111 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl ; (提示:利用范德蒙德行列式的結果. ) 解:從第n + 1行開始,第n + 1行經過n次相鄰對換,換到第1行;第n行經(n 1)次對換換到第2 行.經n + (n 1) + + 1 = n(n+1) 2 次行交換,得(或者直接由題6的結論) Dn+1= (1) n(n+1) 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 111 aa 1a n . . . . . . . . . an1(a 1)n1(a n)n1 an(a 1)n(a n)n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl , 此行列式為范德蒙德行列式. 對照范德蒙德行列式的寫法知,這里的a = x1, a 1 = x2, ., a (n 1) = xn, a n = xn+1.則 xi= a (i 1), xj= a (j 1).所以 Dn+1= (1) n(n+1) 2 Y n+1ij1 x i xj = (1) n(n+1) 2 Y n+1ij1 (a i + 1) (a j + 1) = (1) n(n+1) 2 Y n+1ij1 (i j) = (1) n(n+1) 2 (1)n+(n1)+1 Y n+1ij1 (i j) = Y n+1ij1 (i j). (4) D2n= fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl flfl flfl fl an0bn . . 0 a1b1 c1d1 0 . . cn0dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl ; 解:方法一.將c2n作2n 1次列的相鄰對換,移到第二列;再將r2n作2n 1次行的相鄰對換,移到 12第一章 行列式 第二行: D2n= (1)2n1(1)2n1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl anbn cndn an1bn1 . . a1b1 c1d1 . . cn1dn1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl f