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文檔簡介

1.4矢量場的環(huán)量及旋度,1、環(huán)量矢量場沿閉合線的線積分,從變力作功問題引入矢量場環(huán)量的概念。,若將F(r)看成是任意的矢量場，上述積分則代表矢量場F(r)沿路徑l的標(biāo)量線積分。矢量場的環(huán)量是上述矢量場線積分概念推廣應(yīng)用于閉合路徑的結(jié)果，因此，F(xiàn)(r)的環(huán)量為,環(huán)量不為零的矢量場叫做旋渦場，其場源稱為旋渦源，矢量場的環(huán)量有檢源作用。環(huán)量為零的矢量場叫做保守場或守恒場，靜電場就是保守場。,在直角坐標(biāo)系中，設(shè)F(x,y,z)=Fx(x,y,z)ex+Fy(x,y,z)ey+Fz(x,y,z)ezdl=dxex+dyey+dzez則環(huán)量可寫成,過點(diǎn)P作一微小有向曲面S,它的邊界曲線記為l,曲面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)S點(diǎn)P時(shí),存在極限,上式稱為環(huán)量密度,過點(diǎn)P的有向曲面S取不同的方向，其環(huán)量密度將會(huì)不同。,2、旋度,（1）環(huán)量密度,（2）旋度,P點(diǎn)的旋度定義為該點(diǎn)的最大的環(huán)量密度，并令其方向?yàn)閑n,即,旋度與環(huán)量密度的關(guān)系：投影,旋度直角坐標(biāo)式的推導(dǎo),于是得旋度的x方向分量：,同理可求得curlF的y，z分量,所以,或用算符將其寫成,(3）旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。,在矢量場中，若F=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源密度(或渦旋源密度)；,點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。,若矢量場處處F=0，稱之為無旋場或保守場。,(4）有關(guān)旋度的幾個(gè)關(guān)系式,相對(duì)位置矢量的旋度為零，即,f(r)與F(r)之積fF的旋度有恒等式,f(R)與R之積的旋度，有,證明：,例4已知F=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez試就圖所示xoy平面上以原點(diǎn)為心、3為半徑的圓形路徑，求F沿其逆時(shí)針方向的環(huán)量。,解在xoy平面上，有F=(2xy)ex+(x+y)ey+(3x2y)ez，dl=dxex+dyey,設(shè)x=3cos，y=3sin,則,例5求

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