拉普拉斯方程-球坐標系.ppt

數(shù)學(xué)物理方法,拉普拉斯方程,常用齊次定解問題要素,常用齊次定解問題的分類,拉普拉斯算符的形式,參看附錄VI,數(shù)學(xué)物理中的對稱性,對稱性的概念定義：對稱性就是在某種變換下的不變性分類對稱性的描述對稱性原理當(dāng)定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對稱性時，它的解也具有同樣的對稱性。對稱性的應(yīng)用,對稱性的分類,對稱性的描述,對稱性的應(yīng)用柱坐標輸運方程,球坐標下拉普拉斯方程的通解,（13.2.1）,兩邊同除以R(r)Y(,),兩邊同乘以r2，整理變量,分離變量法引入的參數(shù),(sphericalharmonicfunction),球諧函數(shù)方程進一步分離變量，令,（13.2.5）,（13.2.4）,代入球諧函數(shù)方程,兩邊同除以()()，乘sin2后移項得：,得：,分離變量引入的參數(shù),（13.2.5）,（13.2.4）,（13.2.1）,Laplace方程,兩次分離變量,（13.2.2）,小結(jié),三個關(guān)聯(lián)的常微分方程,偏微分轉(zhuǎn)化成常微分方程的求解,1,三個常微分方程的求解（一）,對應(yīng)的本征值問題為,周期性邊界條件,由周期性邊界條件得：,利用三角和差化積公式,得：,m0,此時A可任意取值，周期性邊界可滿足！,由周期性邊界條件得：,由周期性邊界條件得：,=0可使此兩式為零，但不滿足0的假設(shè),令,三個常微分方程的求解（二）,2,（13.2.4）,其中,為勒讓德（legendre）方程,（13.2.5）,（13.2.6）,總結(jié)：球函數(shù)方程（13.2.3）,得到兩個本征值問題,本征值,本征函數(shù),（13.2.3）,分離變量,球函數(shù)方程,，,實際上由下列兩個本征函數(shù)之積組成，即為,（13.2.8）,（13.2.3）,m的范圍擴大,球函數(shù)(sphericalharmonics)的復(fù)數(shù)表達式,為了使得(13.2.8)所表示的函數(shù)系構(gòu)成正交歸一系，必須添加適當(dāng)常系數(shù)，于是定義,(13.2.10),為球諧函數(shù)的本征函數(shù)（相應(yīng)于本征值,，并稱它為球函數(shù)（球諧函數(shù)）表達式,上式（13.2.10）也是復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)其中歸一化系數(shù),球函數(shù)的正交關(guān)系,根據(jù),的正交性質(zhì),當(dāng),時，,根據(jù),的正交性,當(dāng),時，,可以得到,的正交性，即當(dāng),或,時有,即,（13.2.11）,Visualrepresentationsofthefirstfewsphericalharmonics.Redportionsrepresentregionswherethefunctionispositive,andgreenportionsrepresentregionswherethefunctionisnegative.,3,EulerEquation:,兩個特解,三個常微分方程的求解（三）,球坐標下拉普拉斯方程的通解,（13.2.1）,注意m取值范圍的變化,球坐標下拉普拉斯方程通解求解總結(jié),歐拉方程,締合勒讓德方程，解為Plm(x),拉普拉斯方程的非軸對稱定解問題,例1在半徑為,球內(nèi)（,）求解定解問題,【解】在球坐標系下，定解問題即為,【解】令,代入通過變量分離得到拉普拉斯方程的一系列特解,其中,都是任意常數(shù),通解為,再代入定解條件,利用三角函數(shù)和連帶勒讓德多項式的正交性和歸一性，即可算出中的待定系數(shù),見作業(yè)13-1,拉普拉斯方程的軸對稱定解問題,基本問題：電場由電勢描述電勢滿足泊松方程+邊界條件,只有在界面形狀是比輕簡單的幾何曲面時，這類問題的解才能以解析形式給出，而且視情況不同而有不同解法,具體的工作：解泊松方程,應(yīng)用,靜電場的定解問題,方程,邊界條件,高斯定理的普遍形式,積分形式,微分形式,自由電荷,給定邊界條件,自然邊界條件,銜接條件,Poisson方程,電位移矢量,介電常數(shù),無旋場的特點,靜電場問題中確定邊界條件的一些基本原則,電勢在兩種介質(zhì)的界面上連續(xù),導(dǎo)體：等勢體；,（常數(shù)）,接地時電勢C=0,電介質(zhì)：利用電極化矢量描述,為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)為正方向,電勢在兩種介質(zhì)界面上的法向?qū)?shù)滿足,導(dǎo)體內(nèi)部電場強度為零！,在許多實際問題中，靜電場是由帶電導(dǎo)體決定的,例如,電容器內(nèi)部的電場是由作為電極的兩個導(dǎo)體板上所帶電荷決定的電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場是由分布于電極上的自由電荷決定的,這些問題的特點：自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布,選擇導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，V內(nèi)部自由電荷密度0，泊松方程化為比較簡單的拉普拉斯方程,它的通解可以用分離變量法求出。拉氏方程在球坐標中的通解為,若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，這種情形下通解為,例1介電常數(shù)為的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中，求電勢。,設(shè)球半徑為R0，球外為真空（如圖）。這問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場E0方向的軸線，取此軸線為極軸。,球內(nèi)區(qū)域的電勢,解,球外區(qū)域的電勢,邊界條件：,（1）無窮遠處，,因而,（2）R0處，2為有限值，因此,（3）在介質(zhì)球面上，有,比較P1的系數(shù)得,可解出,其他Pn項的系數(shù)可解出為,介質(zhì)球面上的銜接條件,所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問題的解為,在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)的極化強度為,介質(zhì)球的總電偶極矩為,1表達式中的第二項正是這個電偶極矩所產(chǎn)生的電勢,極化率,例2半徑為R0的接地導(dǎo)體球置于均勻外電場E0中，求電勢和導(dǎo)體上的電荷面密度。,定解問題,用導(dǎo)體表面邊界條件，照上例方法可解出導(dǎo)體球外電勢,導(dǎo)體面上電荷面密度為,解,例3一個內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍一個半徑為R1的導(dǎo)體球（R1R2）。使內(nèi)導(dǎo)體球接地，求空間各點的電勢和這個導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。,這