協(xié)方差和相關系數(shù)的計算.ppt

3.3.1協(xié)方差和相關系數(shù),問題對于二維隨機變量(X，Y)：,已知聯(lián)合分布,邊緣分布,這說明對于二維隨機變量，除了每個隨機變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系,數(shù),Y之間的某種關系,反映了隨機變量X，,定義稱,協(xié)方差記為,稱,為(X，Y)的協(xié)方差矩陣,可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣,協(xié)方差和相關系數(shù)的定義,為X，Y的,若D(X)0，D(Y)0，稱,為X，Y的相關系數(shù)，記為,事實上，,若,稱X，Y不相關,利用函數(shù)的期望或方差計算協(xié)方差,若(X，Y)為離散型，,若(X，Y)為連續(xù)型，,協(xié)方差和相關系數(shù)的計算,求cov(X，Y)，XY,例1已知X，Y的聯(lián)合分布為：,X,Y,pij,10,10,p0,0q,00時，當且僅當,時，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,協(xié)方差和相關系數(shù)的性質(zhì),證明令,對任何實數(shù)t，,即,等號成立,有兩個相等的實零點,即,又顯然,即,即Y與X有線性關系的概率等于1，這種線性關系為,相關系數(shù)的性質(zhì),Cauchy-Schwarz不等式的等號成立,即Y與X有線性關系的概率等于1，這種線性關系為,X，Y不相關,X，Y相互獨立,X，Y不相關,若X，Y服從二維正態(tài)分布，X，Y相互獨立,X，Y不相關,在例1中已知X，Y的聯(lián)合分布為,例4設(X，Y)N(1，4；1，4；0.5)，Z=X+Y，求XZ,解,定義設X1，Xn為n個r.v.，記bij=cov(Xi，Xj)，i，j=1，2，n則稱由bij組成的矩陣為隨機變量X1，Xn的協(xié)方差矩陣B即,以前講過的n維正態(tài)分布的形式中就有協(xié)方差矩陣,3.3.2協(xié)方差矩陣,顯然,bii=DXi，i=1，2，nbik=bki，i，k=1，2，n,故協(xié)方差矩陣B是對稱矩陣由柯西-許瓦茲不等式有,如果我們記,則有,因此B為,稱為列隨機向量X的數(shù)學,的方差，其中,期望,對任意實數(shù)t1，tn，有,如果記t=(t1，tn)，上式即為,證明設,協(xié)方差矩陣的性質(zhì),的概率密度函數(shù)，則,以及,分別為,這表示B是非負定的，由矩陣論的二次型理論知，對任意正整數(shù)k(1kn)，有,如果X1，Xn相互獨立，則B為對角矩陣,證