2013年廣東省珠海市中考數(shù)學(xué)試卷

2013 年廣東省珠海市中考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請把答題卡上對(duì)應(yīng)題目所選的選項(xiàng)涂黑 1（ 3 分）（ 2013珠海）實(shí)數(shù) 4 的算術(shù)平方根是（ ） A 2 B 2 C 2x k b 1 .co m D 4 2（ 3 分）（ 2013珠海）如圖兩平行線 a、 b 被直線 l 所截，且 1=60，則 2 的度數(shù)為（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 3（ 3 分）（ 2013珠海）點(diǎn)（ 3， 2） 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為（ ） A （ 3， 2） B （ 3， 2） C （ 3， 2） D （ 2， 3） 4（ 3 分）（ 2013珠海）已知一元二次方程： x2+2x+3=0， x2 2x 3=0下列說法正確的是（ ） A 都有實(shí)數(shù)解 B 無實(shí)數(shù)解， 有實(shí)數(shù)解 C 有實(shí)數(shù)解， 無實(shí)數(shù)解 D 都無實(shí)數(shù)解 5（ 3 分）（ 2013珠海 ）如圖， ABCD 的頂點(diǎn) A、 B、 D 在 O 上，頂點(diǎn) C 在 O 的直徑BE 上， ADC=54，連接 AE，則 AEB的度數(shù)為（ ） A 36 B 46 C 27 D 63 二、填空題（本大題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）請將行李各題的正確答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。 6（ 4 分）（ 2013珠海）使式子 有意義的 x 的取值范圍是 _ 7（ 4 分）（ 2013珠海）已知，函數(shù) y=3x 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， y1），點(diǎn) B（ 2， y2），則y1 _ y2（填 “ ”“ ”或 “=”） 8（ 4 分）（ 2013珠海）若圓錐的母線長為 5cm，地面半徑為 3cm，則它的測面展開圖 的面積為 _ cm2（結(jié)果保留 ） 9（ 4 分）（ 2013珠海）已知 a、 b 滿足 a+b=3， ab=2，則 a2+b2= _ 10（ 4 分）（ 2013珠海）如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，順次連接正方形 ABCD 四邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)正方形 A1B1C1D1，由順次連接正方形 A1B1C1D1 四邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形 A2B2C2D2，以此類推，則第六個(gè)正方形 A6B6C6D6 周長是 _ 三、解答題（一）（本大題 5 小題，每小題 6 分，共 30分） 11（ 6 分）（ 2013珠海）計(jì)算： （ ） 0+| | 12（ 6 分）（ 2013珠海）解方程： 13（ 6 分）（ 2013珠海）某初中學(xué)校對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次 “勤洗手 ”的問卷調(diào)查，學(xué)校七、八、九三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為 600 人、 700 人、 600 人，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理將全校的 “勤洗手 ”調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計(jì)圖 （ 1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算八年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全下列兩幅統(tǒng)計(jì)圖 （ 2）通過計(jì)算說明那個(gè)年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)占本年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例最大？ 14（ 6 分）（ 2013珠海）如圖，已知， EC=AC， BCE= DCA， A= E； 求證： BC=DC 15（ 6 分）（ 2013珠海）某漁船出海捕魚， 2010 年平均每次捕魚量為 10 噸， 2012 年平均每次捕魚量為 8.1 噸，求 2010 年 2012 年每年平均每次捕魚量的年平均下降率 四、解答題（二）（本大題 4 小題，每小題 7 分，共 28 分） 16（ 7 分）（ 2013珠海）一測量愛好者，在海邊測量位于正東方向的小島高度 AC，如圖所示，他先在點(diǎn) B測得山頂點(diǎn) A的仰角為 30，然后向正東方向前行 62 米，到達(dá) D 點(diǎn)，在測得山頂點(diǎn) A的仰角為 60（ B、 C、 D 三點(diǎn)在同一水平面上，且測量儀的高度忽略不計(jì)）求小島高度 AC（結(jié)果精確的 1 米，參考數(shù)值： ） 17（ 7 分）（ 2013珠海）如圖， O 經(jīng)過菱形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) A、 C、 D，且與 AB相切于點(diǎn) A （ 1）求證： BC 為 O 的切線； （ 2）求 B的度數(shù) 18（ 7 分）（ 2013珠海）把分別標(biāo)有數(shù)字 2、 3、 4、 5 的四個(gè)小球放入 A袋內(nèi)，把分別標(biāo)有數(shù)字 、 、 、 、 的五個(gè)小球放入 B袋內(nèi)，所有小球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同， A、B兩個(gè)袋子不透明、 （ 1）小明分別從 A、 B兩個(gè)袋子中各摸出一個(gè) 小球，求這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率； （ 2）當(dāng) B袋中標(biāo)有 的小球上的數(shù)字變?yōu)?_ 時(shí)（填寫所有結(jié)果），（ 1）中的概率為 19（ 7 分）（ 2013珠海）已知，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A在 x 軸負(fù)半軸上，點(diǎn) B在y 軸正半軸上， OA=OB，函數(shù) y= 的圖象與線段 AB 交于 M 點(diǎn)，且 AM=BM （ 1）求點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 2）求直線 AB 的解析式 五、解答題（三）（本大題 3 小題，每小題 9 分，共 27 分） 20（ 9 分）（ 2013珠海）閱讀下面材料，并解答問題 材料：將分式 拆分成 一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式 解：由分母為 x2+1，可設(shè) x4 x2+3=（ x2+1）（ x2+a） +b 則 x4 x2+3=（ x2+1）（ x2+a） +b= x4 ax2+x2+a+b= x4（ a 1） x2+（ a+b） 對(duì)應(yīng)任意 x，上述等式均成立， ， a=2， b=1 = =x2+2+ 這樣，分式 被拆分成了一個(gè)整式 x2+2 與一個(gè)分式 的和 解答： （ 1）將分式 拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式 （ 2）試說明 的最小值為 8 21（ 9 分）（ 2013珠海）如圖，在 Rt ABC 中， C=90，點(diǎn) P 為 AC 邊上的一點(diǎn)，將線段 AP 繞點(diǎn) A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)點(diǎn) P），當(dāng) AP 旋轉(zhuǎn)至 AP AB 時(shí)，點(diǎn) B、 P、 P恰好在同一直線上，此時(shí)作 PE AC 于點(diǎn) E （ 1）求證： CBP= ABP； （ 2）求證： AE=CP； （ 3）當(dāng) ， BP=5 時(shí)，求線段 AB 的長 22（ 9 分）（ 2013珠海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，矩形 OABC 的邊 OA、 OC 分別在 y 軸和 x 軸的正半軸上，且長分別為 m、 4m（ m 0）， D 為邊 AB 的中點(diǎn)，一拋物線 l經(jīng)過點(diǎn) A、 D 及點(diǎn) M（ 1， 1 m） （ 1）求拋物線 l 的解析式（用含 m 的式子表示）； （ 2）把 OAD 沿直線 OD 折疊后點(diǎn) A落在點(diǎn) A處，連接 OA并延長與線段 BC 的延長線交于點(diǎn) E，若拋物線 l 與線段 CE 相交，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ 3）在滿足（ 2）的條件下，求出拋物線 l 頂點(diǎn) P 到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo) 2013 年廣東省珠海市中考數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請把答題卡上對(duì)應(yīng)題目所選的選項(xiàng)涂黑 1（ 3 分）（ 2013珠海） 實(shí)數(shù) 4 的算術(shù)平方根是（ ） A 2 B 2 C 2 D 4 考點(diǎn) ： 算術(shù)平方根 3481324 分析： 根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可 解答： w w w .x k b 1.c o m 解： 22=4， 4 的算術(shù)平方根是 2， 即 =2 故選 B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了算術(shù)平方根的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵 2（ 3 分）（ 2013珠海）如圖兩平行線 a、 b 被直線 l 所截，且 1=60，則 2 的度數(shù)為（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 考點(diǎn) ： 平行線的性質(zhì) 3481324 分析： 由 a b，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得 3= 1=60，又由對(duì)頂角相等，即可求得答案 解答： 解： a b， 3= 1=60， 2= 3=60 故選 C 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行線的性質(zhì)此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 3（ 3 分）（ 2013珠海）點(diǎn)（ 3， 2）關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為（ ） A （ 3， 2） B （ 3， 2） C （ 3， 2） D （ 2， 3） 考點(diǎn) ： 關(guān)于 x 軸 、 y 軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo) 3481324 分析： 根據(jù)關(guān)于 x 軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可直接寫出答案 解答： 解：點(diǎn)（ 3， 2）關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為（ 3， 2）， 故選： A 來源 :學(xué) |科 |網(wǎng) 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了關(guān)于 x 軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律 4（ 3 分）（ 2013珠海）已知一元二次方程： x2+2x+3=0， x2 2x 3=0下列說法正確的是（ ） A 都有實(shí)數(shù)解 B 無實(shí)數(shù)解， 有實(shí)數(shù)解 C 有實(shí)數(shù)解， 無實(shí)數(shù)解 D 都無實(shí)數(shù)解 考點(diǎn) ： 根的判別式 3481324 分析： 求出 、 的判別式，根據(jù)： 當(dāng) 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根； 當(dāng) =0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根； 當(dāng) 0 時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根 即可得出答案 解答： 解：方程 的判別式 =4 12= 8，則 沒有實(shí)數(shù)解； 方程 的判別式 =4+12=20，則 有兩個(gè)實(shí)數(shù)解 故選 B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是掌握跟的判別式與方程根的關(guān)系 5（ 3 分）（ 2013珠海）如圖， ABCD 的頂點(diǎn) A、 B、 D 在 O 上，頂點(diǎn) C 在 O 的直徑BE 上， ADC=54，連接 AE，則 AEB的度數(shù)為（ ） x k b 1 . c o m A 36 B 46 C 27 D 63 考點(diǎn) ： 圓周角定理；平行四邊形的性質(zhì) 3481324 分析： 根據(jù) BE 是直徑可得 BAE=90，然后在 ABCD 中 ADC=54，可得 B=54，繼而可求得 AEB的度數(shù) 解答： 解： 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ADC=54， B= ADC=54， BE 為 O 的直徑， BAE=90， AEB=90 B=90 54=36 故選 A 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓周角定理及平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 B= ADC 二、填空題（本大題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）請將行李各題的正確答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。 6（ 4 分）（ 2013珠海）使式子 有意義的 x 的取值范圍是 x 考點(diǎn) ： 二次根式有意義的條件 3481324 分析： 二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù) 解答： 解：根據(jù)題意，得 2x+10， 解得， x 故答案是： x 點(diǎn)評(píng)： 考查了二次根式的意義和性質(zhì)概念：式子 （ a0）叫二次根式性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義 7（ 4 分）（ 2013珠海）已知，函數(shù) y=3x 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， y1），點(diǎn) B（ 2， y2），則y1 y2（填 “ ”“ ”或 “=”） 考點(diǎn) ： 一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 3481324 分析： 分別把點(diǎn) A（ 1， y1），點(diǎn) B（ 2， y2）代入函數(shù) y=3x，求出點(diǎn) y1， y2 的值，并比較出其大小即可 解答： 解： 點(diǎn) A（ 1， y1），點(diǎn) B（ 2， y2）是函數(shù) y=3x 上的點(diǎn)， y1= 3， y2= 6， 3 6， y1 y2 故答案為： 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式 8（ 4 分）（ 2013珠海）若圓錐的母線長為 5cm，地面半徑為 3cm，則它的測面展開圖的面積為 15 cm2（結(jié)果保留 ） 考點(diǎn) ： 圓錐的計(jì)算 3481324 專題 ： 計(jì)算題 分析： 先計(jì)算出圓錐底面圓的周長 23，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半 徑等于圓錐的母線長，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可 解答： 解：圓錐的測面展開圖的面積 = 235=15（ cm2） 故答案為 15 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長也考查了扇形的面積公式 9（ 4 分）（ 2013珠海）已知 a、 b 滿足 a+b=3， ab=2，則 a2+b2= 5 考點(diǎn) ： 完全平方公式 3481324 專題 ： 計(jì)算題 分析： 將 a+b=3 兩邊平方，利用完全平方公式化簡，將 ab 的值代 入計(jì)算，即可求出所求式子的值 解答： 解：將 a+b=3 兩邊平方得：（ a+b） 2=a2+2ab+b2=9， 把 ab=2 代入得： a2+4+b2=9， 則 a2+b2=5 故答案為： 5 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵 10（ 4 分）（ 2013珠海）如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，順次連接正方形 ABCD 四邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)正方形 A1B1C1D1，由順次連接正方形 A1B1C1D1 四邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形 A2B2C2D2，以此類推，則第六個(gè)正方形 A6B6C6D6 周長是 考點(diǎn) ： 中點(diǎn)四邊形 3481324 專題 ： 規(guī)律型 分析： 根據(jù)題意，利 用中位線定理可證明順次連接正方形 ABCD 四邊中點(diǎn)得正方形 A1B1C1D1 的面積為正方形 ABCD 面積的一半，根據(jù)面積關(guān)系可得周長關(guān)系，以此類推可得正方形 A6B6C6D6 的周長 解答： 解：順次連接正方形 ABCD 四邊的中點(diǎn)得正方形 A1B1C1D1，則得正方形 A1B1C1D1 的面積為正方形 ABCD 面積的一半，即 ，則周長是原來的 ； 順次連接正方形 A1B1C1D1 中點(diǎn)得正方形 A2B2C2D2，則正方形 A2B2C2D2 的面積為正方形A1B1C1D1 面積的一半，即 ，則周長是原 來的 ； 順次連接正方形 A2B2C2D2 得正方形 A3B3C3D3，則正方形 A3B3C3D3 的面積為正方形A2B2C2D2 面積的一半，即 ，則周長是原來的 ； 順次連接正方形 A3B3C3D3 中點(diǎn)得正方形 A4B4C4D4，則正方形 A4B4C4D4 的面積為正方形A3B3C3D3 面積的一半 ，則周長是原來的 ； 以此類推：第六個(gè)正方形 A6B6C6D6 周長是原來的 ， 正方形 ABCD 的邊長為 1， 周長為 4， 第六個(gè)正方形 A6B6C6D6 周 長是 故答案為： 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了利用了三角形的中位線的性質(zhì)，相似圖形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì)進(jìn)而得到周長關(guān)系 三、解答題（一）（本大題 5 小題，每小題 6 分，共 30 分） 11（ 6 分）（ 2013珠海）計(jì)算： （ ） 0+| | 考點(diǎn) ： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 3481324 專題 ： 計(jì)算題 分析： 根據(jù)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪得到原式 =3 1+ ，然后化為同分母后進(jìn)行加減運(yùn)算 解答： 解：原式 =3 1+ = 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算：先算 乘方或開方，再算乘除，然后進(jìn)行加減運(yùn)算；有括號(hào)先算括號(hào)也考查了零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 12（ 6 分）（ 2013珠海）解方程： 考點(diǎn) ： 解分式方程 3481324 專題 ： 計(jì)算題 分析： 分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解 解答： 解：去分母得： x（ x+2） 1=x2 4， 去括號(hào)得： x2+2x 1=x2 4， 解得： x= ， 經(jīng)檢驗(yàn) x= 是分式方程的解 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “轉(zhuǎn)化思想 ”，把分 式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解解分式方程一定注意要驗(yàn)根 13（ 6 分）（ 2013珠海）某初中學(xué)校對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次 “勤洗手 ”的問卷調(diào)查，學(xué)校七、八、九三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為 600 人、 700 人、 600 人，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理將全校的 “勤洗手 ”調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計(jì)圖 （ 1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算八年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全下列兩幅統(tǒng)計(jì)圖 （ 2）通過計(jì)算說明那個(gè)年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)占本年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例最大？ 考點(diǎn) ： 條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖 3481324 分析： （ 1）由七年級(jí) “勤洗手 ”的人數(shù)除以所占的百 分比，求出全校 “勤洗手 ”的人數(shù)，進(jìn)而求出八年級(jí) “勤洗手 ”的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；求出九年級(jí) “勤洗手 ”人數(shù)所占的百分比，補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖即可； （ 2）求出三個(gè)年級(jí) “勤洗手 ”人數(shù)所占的百分比，比較大小即可 解答： 解：（ 1）根據(jù)題意得： 30025%=1200（人）， 則八年級(jí) “勤洗手 ”人數(shù)為 120035%=420（人）， （ 2）七年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)占本年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例為 100%=50%； 八年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)占本年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例為 100%=60%； 九年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)占本年 級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例為 100%=80%， 則九年級(jí) “勤洗手 ”學(xué)生人數(shù)占本年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例最大 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，以及扇形統(tǒng)計(jì)圖，弄清題意是解本題的關(guān)鍵 14（ 6 分）（ 2013珠海）如圖，已知， EC=AC， BCE= DCA， A= E； 求證： BC=DC 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì) 3481324 專題 ： 證明題 分析： 先求出 ACB= ECD，再利用 “角邊角 ”證明 ABC 和 EDC 全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可 解答： 證明： BCE= DCA， BCE+ ACE= DCA+ ACE， 即 ACB= ECD， 在 ABC 和 EDC 中， ， ABC EDC（ ASA）， BC=DC 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，求出相等的角 ACB= ECD 是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn) 15（ 6 分）（ 2013珠海）某漁船出海捕魚， 2010 年平均每次捕魚量為 10 噸， 2012 年平均每次捕魚量為 8.1 噸，求 2010 年 2012 年每年平均每次捕魚量的年平均下降率 考點(diǎn) ： 一元二次方程的應(yīng)用 3481324 專題 ： 增長率問 題 分析： 解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是： 2010 年平均每次捕魚量 （ 1每次降價(jià)的百分率） 2=2012 年平均每次捕魚量，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可 解答： 解：設(shè) 2010 年 2012 年每年平均每次捕魚量的年平均下降率 x，根據(jù)題意列方程得， 10（ 1 x） 2=8.1， 解得 x1=0.1， x2= 1.9（不合題意，舍去） 答： 2010 年 2012 年每年平均每次捕魚量的年平均下降率為 10% 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的下降的百分率也就是增長率問題，兩年前是 10 噸，下降后現(xiàn)在是 8.1 噸，求每年的下降的百分率， 可列式求解 四、解答題（二）（本大題 4 小題，每小題 7 分，共 28 分） 16（ 7 分）（ 2013珠海）一測量愛好者，在海邊測量位于正東方向的小島高度 AC，如圖所示，他先在點(diǎn) B測得山頂點(diǎn) A的仰角為 30，然后向正東方向前行 62 米，到達(dá) D 點(diǎn)，在測得山頂點(diǎn) A的仰角為 60（ B、 C、 D 三點(diǎn)在同一水平面上，且測量儀的高度忽略不計(jì)）求小島高度 AC（結(jié)果精確的 1 米，參考數(shù)值： ） 考點(diǎn) ： 解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題 3481324 分析： 首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得 BAD 的度數(shù)，得到 AD 的長 度，然后在直角 ADC 中，利用三角函數(shù)即可求解 解答： 解： ADC= B+ BAD， BAD= ADC B=60 30=30， B= BAD， AD=BD=62（米） 在直角 ACD 中， AC=ADsin ADC=62 =31 311.7=52.753（米） 答：小島的高度是 53 米 點(diǎn)評(píng)： 本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形 17（ 7 分）（ 2013珠海）如圖， O 經(jīng)過菱形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) A、 C、 D，且與 AB相切于點(diǎn) A （ 1）求證： BC 為 O 的切線； （ 2）求 B的度數(shù) 考點(diǎn) ： 切線的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì) 3481324 分析： （ 1）連結(jié) OA、 OB、 OC、 BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得 OA AB，即 OAB=90，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得 BA=BC，然后根據(jù) “SSS”可判斷 ABC CBO，則 BOC= OAC=90，于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論； （ 2）由 ABC CBO 得 AOB= COB，則 AOB= COB，由于菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，所以點(diǎn) O 在 BD 上，利用三角形外角性質(zhì)有 BOC= ODC+ OCD， 則 BOC=2 ODC， 由于 CB=CD，則 OBC= ODC，所以 BOC=2 OBC，根據(jù) BOC+ OBC=90可計(jì)算出 OBC=30，然后利用 ABC=2 OBC 計(jì)算即可 解答： （ 1）證明：連結(jié) OA、 OB、 OC、 BD，如圖， AB 與 切于 A點(diǎn)， OA AB，即 OAB=90， 四邊形 ABCD 為菱形， BA=BC， 在 ABC 和 CBO 中 ， ABC CBO， BOC= OAC=90， OC BC， BC 為 O 的切線； （ 2）解： ABC CBO， AOB= COB， 四邊形 ABCD 為菱形， BD 平分 ABC， CB=CD， 點(diǎn) O 在 BD 上， BOC= ODC+ OCD， 而 OD=OC， ODC= OCD， BOC=2 ODC， 而 CB=CD， OBC= ODC， BOC=2 OBC， BOC+ OBC=90， OBC=30， ABC=2 OBC=60 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑也考查了全等三角形相似的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì) 18（ 7 分）（ 2013珠海）把分別標(biāo)有數(shù)字 2、 3、 4、 5 的四個(gè)小球放入 A袋內(nèi)，把 分別標(biāo)有數(shù)字 、 、 、 、 的五個(gè)小球放入 B袋內(nèi)，所有小球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，A、 B兩個(gè)袋子不透明、 （ 1）小明分別從 A、 B兩個(gè)袋子中各摸出一個(gè)小球，求這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率； （ 2）當(dāng) B袋中標(biāo)有 的小球上的數(shù)字變?yōu)?、 、 、 時(shí)（填寫所有結(jié)果），（ 1）中的概率為 考點(diǎn) ： 列表法與樹狀圖法 3481324 分析： （ 1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與這兩個(gè) 小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案； （ 2）由概率為 ，可得這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有 5 種情況，繼而可求得答案 解答： 解：（ 1）畫樹狀圖得： 共有 20 種等可能的結(jié)果，這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有 4 種情況， 這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為： = ； （ 2） 當(dāng) B袋中標(biāo)有 的小球上的數(shù)字變?yōu)?、 、 、 時(shí)（填寫所有結(jié)果）， 這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有 5 種情況， 這兩個(gè)小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為： = 故答案為： 、 、 、 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是 用列表法或畫樹狀圖法求概率列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件注意概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比 19（ 7 分）（ 2013珠海）已知，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A在 x 軸負(fù)半軸上，點(diǎn) B在y 軸正半軸上， OA=OB，函數(shù) y= 的圖象與線段 AB 交于 M 點(diǎn)，且 AM=BM （ 1）求點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 2）求直線 AB 的解析式 考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題 3481324 專題 ： 計(jì)算題 分析： （ 1）過 點(diǎn) M 作 MC x 軸， MD y 軸，根據(jù) M 為 AB 的中點(diǎn)， MC OB， MD OA，利用平行線分線段成比例得到點(diǎn) C 和點(diǎn) D 分別為 OA 與 OB的中點(diǎn)，從而得到 MC=MD，設(shè)出點(diǎn)M 的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出 a 的值即可得到點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 2）根據(jù)（ 1）中求出的點(diǎn) M 的坐標(biāo)得到 MC 與 MD 的長，從而求出 OA 與 OB的長，得到點(diǎn) A與點(diǎn) B的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)的解析式，把點(diǎn) A與點(diǎn) B的坐標(biāo)分別代入解析式中求出 k與 b 的值，確定出直線 AB 的表達(dá)式 解答： 解：（ 1）過點(diǎn) M 作 MC x 軸， MD y 軸， AM=BM， 點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)， MC x 軸， MD y 軸， MC OB， MD OA， 點(diǎn) C 和點(diǎn) D 分別為 OA 與 OB的中點(diǎn)， MC=MD， 則點(diǎn) M 的坐標(biāo)可以表示為（ a， a）， 把 M（ a， a）代入函數(shù) y= 中， 解得 a=2 ， 則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2 ， 2 ）； （ 2） 則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2 ， 2 ）， MC=2 ， MD=2 ， OA=OB=2MC=4 ， A（ 4 ， 0）， B（ 0， 4 ）， 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b， 把點(diǎn) A（ 4 ， 0）和 B（ 0， 4 ）分別代入 y=kx+b 中得 ， 解得： 則直線 AB 的解析式為 y=x+4 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，平行線分線段成比例，以及中位線定理，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法同學(xué) 們要熟練掌握這種方法 五、解答題（三）（本大題 3 小題，每小題 9 分，共 27 分） 20（ 9 分）（ 2013珠海）閱讀下面材料，并解答問題 材料：將分式 拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式 解：由分母為 x2+1，可設(shè) x4 x2+3=（ x2+1）（ x2+a） +b 則 x4 x2+3=（ x2+1）（ x2+a） +b= x4 ax2+x2+a+b= x4（ a 1） x2+（ a+b） 對(duì)應(yīng)任意 x，上述等式均成立， ， a=2， b=1 = =x2+2+ 這樣，分式 被拆分成了一個(gè)整式 x2+2 與一個(gè)分式 的和 解答： （ 1）將分式 拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式 （ 2）試說明 的最小值為 8 考點(diǎn) ： 分式的混合運(yùn)算 3481324 專題 ：閱讀型 xkb1 分析： （ 1）由分母為 x2+1，可設(shè) x4 6x2+8=（ x2+1）（ x2+a） +b，按照題意，求出 a 和 b 的值，即可把分式 拆分成一個(gè)整 式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式； （ 2）對(duì)于 x2+7+ 當(dāng) x=0 時(shí)，這兩個(gè)式 子的和有最小值，最小值為 8，于是求出的最小值 解答： 解：（ 1）由分母為 x2+1，可設(shè) x4 6x2+8=（ x2+1）（ x2+a） +b 則 x4 6x2+8=（ x2+1）（ x2+a） +b= x4 ax2+x2+a+b= x4（ a 1） x2+（ a+b） 對(duì)應(yīng)任意 x，上述等式均成立， ， a=7， b=1， = = =x2+7+ 這樣，分式 被拆分成了一個(gè)整式 x2+7 與一個(gè)分式 的和 （ 2）由 =x2+7+ 知， 對(duì)于 x2+7+ 當(dāng) x=0 時(shí)，這兩個(gè)式子的和有最小值，最小值為 8， 即 的最小值為 8 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查分式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能熟練的理解題意，此題難度不是很大 21（ 9 分）（ 2013珠海）如圖，在 Rt ABC 中， C=90，點(diǎn) P 為 AC 邊上的一點(diǎn)，將線段 AP 繞點(diǎn) A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)點(diǎn) P），當(dāng) AP 旋轉(zhuǎn)至 AP AB 時(shí)，點(diǎn) B、 P、 P恰好在同一直線上，此時(shí)作 PE AC 于點(diǎn) E （ 1）求證： CBP= ABP； （ 2）求證： AE=CP； （ 3）當(dāng) ， BP=5 時(shí)，求線段 AB 的長 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì) 3481324 專題 ： 幾何綜合題 分析： （ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 AP=AP，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得 APP= APP，再根據(jù)等角的余角相等證明即可； （ 2）過點(diǎn) P 作 PD AB 于 D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得 CP=DP，然后求出 PAD= APE，利用 “角角邊 ”證明 APD 和 PAE 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 AE=DP，從而得證； （ 3）設(shè) CP=3k， PE=2k，表示出 AE=CP=3k， AP=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出 PE=4k，再求出 ABP和 EPP相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出 PA= AB，然后在Rt ABP中，利用勾股定理列式求解即可 解答： （ 1）證明： AP是 AP 旋轉(zhuǎn)得到， AP=AP， APP= APP， C=90， AP AB， CBP+ BPC=90， ABP+ APP=90， 又 BPC= APP（對(duì)頂角相等）， CBP= ABP； （ 2）證明：如圖 ，過點(diǎn) P 作 PD AB 于 D， CBP= ABP， C=90， CP=DP， PE AC， EAP+ APE=90， 又 PAD+ EAP=90， PAD= APE， 在 APD 和 PAE 中， ， APD PAE（ AAS）， AE=DP， AE=CP； （ 3）解： = ， 設(shè) CP=3k， PE=2k， 則 AE=CP=3k， AP=AP=3k+2k=5k， 在 Rt AEP中， PE= =4k， C=90， PE AC， CBP+ BPC=90， EPP+ PPE=90， BPC= EPP（對(duì)頂角相等）， CBP= PPE， 又 BAP= PEP=90， ABP EPP， = ， 即 = ， 解得 PA= AB， 在 Rt ABP中， AB2+PA2=BP2， 即 AB2+ AB2=（ 5 ） 2， 解得 AB=10 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（ 2）作輔助線構(gòu)造出過渡線段 DP 并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（ 3）利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出 PA= AB 是解題的關(guān)鍵 22（ 9 分）（ 2013珠海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，矩形 OABC 的邊 OA、 OC 分別在 y 軸