數(shù)學方法論與解題研究課件.ppt

數(shù)學方法論與解題研究 韓山師范學院數(shù)學與應用數(shù)學系歐慧謀 數(shù)學方法論主要研究什么 方法論 就是人們認識世界 改造世界的一般方法 是人們用什么樣的方式 方法來觀察事物和處理問題 概括地說 世界觀主要解決世界 是什么 的問題 方法論主要解決 怎么辦 的問題 數(shù)學方法論 主要是研究和討論數(shù)學的發(fā)展規(guī)律 數(shù)學的思想方法以及數(shù)學中的發(fā)現(xiàn) 發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學問 學習數(shù)學方法論有什么意義 1 作為數(shù)學學習者 自覺地用數(shù)學方法論來指導學習 能促進對合理方法的應用的轉(zhuǎn)化 提高數(shù)學學習效果 學知識 學方法 2 作為數(shù)學教師 數(shù)學方法論與數(shù)學教學的有機結合能提高數(shù)學教學質(zhì)量 講活 講懂 講深 數(shù)學方法論涉及哪些內(nèi)容 實驗嘗試 類比聯(lián)想 分析綜合 歸納演繹化歸 抽象 公理化 關系映射反演等 強調(diào)心理學的意義 數(shù)學元認知 數(shù)學直覺等 第二章數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本方法 數(shù)學發(fā)現(xiàn)是以提出問題和解決問題為主要標志的 這方面的能力又是衡量一個人數(shù)學水平的重要標志 提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力 已經(jīng)成為老師教好數(shù)學 學生學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié) 也是研究數(shù)學 運用數(shù)學必不可少的技能 1 觀察法 為什么發(fā)現(xiàn) 萬有引力 的人是牛頓 假如穿越時空 你能發(fā)現(xiàn) 勾股定理 嗎 為什么費馬能提出 費馬大定理 而證明這定理的人是維爾斯 1 觀察法 觀察 即仔細看 在心理學上 觀察被看成是一種有目的 有計劃 有步驟的感知活動 是一種主動的 對思維有積極作用的感知活動 多產(chǎn)的數(shù)學家歐拉 1 觀察法 多產(chǎn)的數(shù)學家歐拉 在被稱為純粹數(shù)學的那部分數(shù)學中 觀察無疑占有極重要的地位 1 觀察法 例子 1 觀察法 例子 1 觀察法 2 聯(lián)想 2 聯(lián)想 聯(lián)想思維的三個主場部分 某種概念 聯(lián)想的方法 接近聯(lián)想 形似聯(lián)想 主要有概念 原來 法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想 它是由命題的已知條件與結構特征 聯(lián)想到相關的定義 定理 公式或圖形等 2 聯(lián)想 聯(lián)想的方法 類比聯(lián)想 對比聯(lián)想 主要根據(jù)問題的具體情況 從具有類似或相似特點的數(shù) 式 圖形以及相近的內(nèi)容和性質(zhì)等進行聯(lián)想 2 聯(lián)想 聯(lián)想的方法 關系聯(lián)想是根據(jù)知識之間的從屬關系 一般關系 因果關系以及其內(nèi)在聯(lián)系進行的一種聯(lián)想 例如 看到一個問題 聯(lián)想到它屬于什么類型和一般用什么方法來求解 有一個一般問題聯(lián)想到特殊情形 有一個題設條件聯(lián)想到它的推論等等 2 聯(lián)想 聯(lián)想的方法 關系聯(lián)想 2 聯(lián)想 4 逆向聯(lián)想逆向聯(lián)想是指從問題的正面想到問題的反面 在解題方法上表現(xiàn)為反面解法 倒推法等間接方法 在證明上表現(xiàn)為反證法 同一法等間接證法 4 逆向聯(lián)想 4 逆向聯(lián)想 5 橫向聯(lián)想 是指數(shù)學各分支之間 乃至數(shù)學與物理 化學等學科之間的聯(lián)想 各種知識之間有著一定的聯(lián)想和相互滲透 這就為橫向聯(lián)想提供了可能條件 5 橫向聯(lián)想 證明 用平面幾何和解析幾何的方法證較繁雜 故考慮用重心原理來證明 三 聯(lián)想能力的培養(yǎng) 1 重視基礎知識 注意知識系統(tǒng)化掌握知識越豐富 理解知識間的縱橫關系越多 聯(lián)想就能在更廣闊的領域中展開 回憶到或搜索到的有關知識就越多 對已經(jīng)學過的概念 定理 公式 法則以及數(shù)學思想方法理解得越透 掌握得越牢固 越系統(tǒng) 解題經(jīng)驗越豐富 聯(lián)想就越暢通 越有效 2 控制聯(lián)想 和 自由聯(lián)想 要雙管齊下控制聯(lián)想 指有目的 有方向且受一定條件限制的聯(lián)想 自由聯(lián)想 指從多方向 多角度 多層次進行的聯(lián)想 有助于提高聯(lián)想的廣度和深度 只有雙管齊下 才能使解題思路開闊 巧法頻生 醞釀出多種不同的解題策略和思路 2019 12 19 27 可編輯 2 控制聯(lián)想 和 自由聯(lián)想 要雙管齊下 3 運用聯(lián)想把問題引申推廣 3 運用聯(lián)想把問題引申推廣 3 運用聯(lián)想把問題引申推廣 3嘗試 嘗試 就是將初步意向付諸實施 試探是否可行 是否有進展 是否可以接近目標 是否能縮小解答所在的范圍等等 通過對數(shù)學問題進行觀察 聯(lián)想 從整體上把握問題 形成初步的策略 解決問題的想法 方向以及解答范圍等 1 從簡單入手 首先考慮符合題意的最簡單情形 嘗試找出這種情形的解法 然后過渡到一般情形 一 簡單化 化難為易 1 從簡單入手 2 將復雜的問題分解成幾個簡單問題 復雜綜合的問題 往往由一些比較簡單的問題巧妙地糅合而成 要善于觀察 分解成幾個小問題 各個擊破后再綜合起來 1 分析特例 尋找啟示 二 特殊化 尋找突破口 2 利用特例奠定基礎 3 使用特例 完善解題 1 變易論題 三 變換角度 選擇主攻方向 2 數(shù)形轉(zhuǎn)換 數(shù)形結合百般好 隔裂分家萬事休 華羅庚 三 變換角度 選擇主攻方向 3 橫向求索 采用那些看來與題目不 相關 的其他數(shù)學分支內(nèi)容進行 旁敲側擊 三 變換角度 選擇主攻方向 相對于縱向追溯而言 按照知識系統(tǒng) 回顧和使用題意所涉及范圍的內(nèi)容 3 橫向求索 3 橫向求索 1 倒推法 問題發(fā)生順序倒置 逆推還原 四 逆反轉(zhuǎn)換 靈活解題 逆反轉(zhuǎn)換 順推不行 考慮逆推 直接解決不易 考慮間接解決 正面困難 考慮反面 例9 歐洲古代數(shù)學趣題 有一籃李子不知其數(shù) 分給甲一半又一個 分給乙剩下的一半又一個 分給丙剩下的一半又三個 李子剛好分完 問原有李子多少個 1 倒推法 例9 歐洲古代數(shù)學趣題 有一籃李子不知其數(shù) 分給甲一半又一個 分給乙剩下的一半又一個 分給丙剩下的一半又3個 李子剛好分完 問原有李子多少個 四 逆反轉(zhuǎn)換 靈活解題 2 反客為主 問題元素主次倒置 4 實驗 實驗 是人們根據(jù)科學研究的目的 運用一定的研究手段 器具 儀器或科研設備 在人為控制 變革或模擬客觀對象的條件下 通過觀察獲得感性經(jīng)驗和科學事實的研究方法 數(shù)學實驗 是為了獲得某種數(shù)學理論 檢驗某個數(shù)學猜想 解決某類數(shù)學問題 實驗者運用一