基于MATLAB的數(shù)字濾波器設(shè)計.doc

大連交通大學(xué)2012屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）第一章 緒論1.1引言隨著信息時代與數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字信號處理己逐漸發(fā)展成為當(dāng)今極其重要的學(xué)科與技術(shù)領(lǐng)域之一。數(shù)字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號處理的基本方法中，通常會涉及到變換、濾波、頻譜分析、調(diào)制解調(diào)和編碼解碼等處理。其中，濾波是應(yīng)用非常廣泛的一個環(huán)節(jié)，數(shù)字濾波器的相關(guān)理論也一直都是人們研究的重點(diǎn)之一。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)，在對信號的濾波、檢測及參數(shù)的估計等信號應(yīng)用中，數(shù)字濾波器是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。數(shù)字濾波器根據(jù)其單位沖擊響應(yīng)函數(shù)的時域特性可分為兩類：無限沖擊響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限沖擊響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。與IIR數(shù)字濾波器相比,FIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)是非遞歸的，穩(wěn)定性好，精度高；更重要的是FIR數(shù)字濾波器在滿足幅度響應(yīng)要求的同時，可以獲得嚴(yán)格的線性相位。因此，它在高保真的信號處理中，如數(shù)字音頻、圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。1.2數(shù)字濾波器的研究背景與意義濾波在通信、圖像編碼、語音編碼、雷達(dá)等許多領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用。目前，數(shù)字信號濾波器的設(shè)計在圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面的應(yīng)用取得了令人矚目的進(jìn)展和成就。它是數(shù)字信號處理理論的一部分。數(shù)字信號處理主要是研究用數(shù)字或符號的序列來表示信號波形，并用數(shù)字的方式去處理這些序列，以便估計信號的特征參量，或削弱信號中的多余分量和增強(qiáng)信號中的有用分量。具體來說，凡是用數(shù)字方式對信號進(jìn)行濾波、變換、調(diào)制、解調(diào)、均衡、增強(qiáng)、壓縮、固定、識別、產(chǎn)生等加工處理，都可納入數(shù)字信號處理領(lǐng)域。數(shù)字信號處理學(xué)科的一項(xiàng)重大進(jìn)展是關(guān)于數(shù)字濾波器設(shè)計方法的研究。關(guān)于數(shù)字濾波器，50年代已有人討論過數(shù)字濾波器，但直到60年代中期，才開始形成關(guān)于數(shù)字濾波器的一整套完整的正規(guī)理論。在這一時期，提出了各種各樣的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，有的以運(yùn)算誤差最小為特點(diǎn)，有的則以運(yùn)算速度高見長，而有的則二者兼而有之。出現(xiàn)了數(shù)字濾波器的各種實(shí)現(xiàn)方法，對遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面的比較，統(tǒng)一了數(shù)字濾波器的基本概念和理論。數(shù)字濾波器與模擬濾波器相比，具有精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法進(jìn)行的特殊濾波等優(yōu)點(diǎn)。1.3 Matlab軟件介紹MATLAB 是美國 Math Works 公司推出的一套用于工程計算的可視化高性能語言與軟件環(huán)境。MATLAB為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。它以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計算、可視化、程序設(shè)計融合到了一個交互式的工作環(huán)境中。MATLAB 推出的工具箱使各個領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究、工程應(yīng)用，其中的信號處理(signal processing)、圖像處理 (image processing)、小波(wavelet)等工具箱為數(shù)字濾波研究的蓬勃發(fā)展提供了有力的工具。其特點(diǎn)歸納如下：1、簡單易學(xué)：MATLAB不僅是一個開發(fā)軟件，也是一門編程語言。其語法規(guī)則與結(jié)構(gòu)化高級編程語言(如 C 語言等)大同小異，而且使用更為簡便。2、計算功能強(qiáng)大：MATLAB 擁有龐大的數(shù)學(xué)、統(tǒng)計及工程函數(shù)，可使用戶立刻實(shí)現(xiàn)所需的強(qiáng)大數(shù)學(xué)計算功能。由各領(lǐng)域的專家學(xué)者們開發(fā)的數(shù)值計算程序，使用了安全、成熟、可靠的算法，從而保證了最快的運(yùn)算速度和可靠的結(jié)果。此外，MATLAB 還有數(shù)十個工具箱，可解決應(yīng)用中的大多數(shù)數(shù)學(xué)、工程問題。3、先進(jìn)的可視化工具：MATLAB 提供功能強(qiáng)大的、交互式的二維和三維繪圖功能，可使用戶創(chuàng)建富有表現(xiàn)力的彩色圖形?？梢暬ぞ甙ㄇ驿秩?、線框圖、偽彩圖、光源、圖像顯示、動畫等。 4、開放性、可擴(kuò)展性強(qiáng)：M 文件是可見的MATLAB 程序，所以用戶可以查看源代碼。開放的系統(tǒng)設(shè)計使用戶能夠檢查算法的正確性，修改已存在的函數(shù)，或者加入自己的新部件。5、特殊應(yīng)用工具箱：MATLAB的工具箱加強(qiáng)了對工程及科學(xué)中特殊應(yīng)用的支持。工具箱也和MATLAB一樣是完全用戶化的，可擴(kuò)展性強(qiáng)。將某個或幾個工具箱與MATLAB聯(lián)合使用，可以得到一個功能強(qiáng)大的計算組合包，滿足用戶的特殊要求。MATLAB數(shù)字信號處理工具箱和濾波器設(shè)計工具箱專門應(yīng)用于信號處理領(lǐng)域。工具箱提供了豐富而簡便的設(shè)計，使原來繁瑣的程序設(shè)計簡化成函數(shù)的調(diào)用。只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用相應(yīng)的濾波器設(shè)計程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設(shè)計結(jié)果，使用非常方便。1.4 Matlab軟件的國內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩rMATLAB軟件發(fā)展?fàn)顩r： MATLAB是美國 MathWorks公司自20世紀(jì)80年代中期推出的數(shù)學(xué)軟件，它優(yōu)秀的數(shù)值計算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其很快在數(shù)學(xué)軟件中脫穎而出。到目前為止，其最高版本R2011b版已經(jīng)推出。隨著版本的不斷升級，它在數(shù)值計算及符號計算功能上得到了進(jìn)一步完善。MATLAB已經(jīng)發(fā)展成為多學(xué)科、多種工作平臺的功能強(qiáng)大的大型軟件。在歐美等高校，MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動控制理論、概率論及數(shù)理統(tǒng)計、 數(shù)字信號處理、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學(xué)工具，是攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的基本技能。MATLAB的主要特點(diǎn)是：有高性能數(shù)值計算的高級算法，特別適合矩陣代數(shù)領(lǐng)域；有大量事先定義的數(shù)學(xué)函數(shù)，并且有很強(qiáng)的用戶自定義函數(shù)的能力；有強(qiáng)大的繪圖功能以及具有教育、科學(xué)和藝術(shù)學(xué)的圖解和可視化的二維、三維圖；基于HTML的完整的幫助功能；適合個人應(yīng)用的強(qiáng)有力的面向矩陣(向量)的高級程序設(shè)計語言；與其它語言編寫的程序結(jié)合和輸入輸出格式化數(shù)據(jù)的能力；有在多個應(yīng)用領(lǐng)域解決難題的工具箱。MATLAB作為一個數(shù)值運(yùn)算軟件和仿真工具正在越來越多的領(lǐng)域中得到不同程度的應(yīng)用。其主要應(yīng)用領(lǐng)域包括：工程運(yùn)算、控制系統(tǒng)設(shè)計、DSP 系統(tǒng)和通訊系統(tǒng)設(shè)計、測量與測試、圖形處理、金融建模與分析應(yīng)用等。 1.5論文的結(jié)構(gòu)安排論文各章的內(nèi)容安排如下:第一章概括數(shù)字濾波器的意義，Matlab仿真軟件的概況及其在數(shù)字濾波器領(lǐng)域內(nèi)的研究現(xiàn)狀和今后的研究趨勢，并簡介本論文的主要研究內(nèi)容。第二章主要介紹了數(shù)字濾波器的概念、分類以及特點(diǎn)。第三章詳細(xì)介紹了窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計數(shù)字濾波器，以及兩個方法的比較。第四章介紹了基于MATLAB的數(shù)字濾波器仿真實(shí)現(xiàn)。第二章 數(shù)字濾波器2.1數(shù)字濾波器的概念所謂數(shù)字濾波器，是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運(yùn)算關(guān)系，改變輸入信號中所含頻率成分的相對比例，或則濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器具有穩(wěn)定性高，精度高，靈活性大等突出優(yōu)點(diǎn)，對于數(shù)字濾波器而言，若系統(tǒng)函數(shù)為H（z），其沖脈響應(yīng)為h(n)，輸入時間序列為x(n),則他們在時頻內(nèi)的關(guān)系式如下： （2-1）在Z域內(nèi)，輸入和輸出存在如下關(guān)系： （2-2）式中，X(z)，Y(z)分別為x(n)和y(n)的Z變換。在頻域內(nèi)，輸入和輸出則存在后述關(guān)系式：；式中，是數(shù)字濾波器的頻率特性，分別為x(n)和y(n)的頻譜，而為數(shù)字角頻率。2.2數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器可以有很多種分類方法，但總體上可分為兩大類。一類稱為經(jīng)典濾波器，即一般的濾波器，其特點(diǎn)是輸入信號中的有用成分和希望濾除的成分占用不同的頻帶，通過合適的選頻濾波器可以實(shí)現(xiàn)濾波。例如，若輸入信號中有干擾，信號和干擾的頻帶互不重疊，則可濾出信號中的干擾得到純信號。但是，如果輸入信號中信號和干擾的頻帶相互重疊，則干擾就不能被有效的濾除。另一類稱為現(xiàn)代濾波器，如維納濾波器、卡爾曼濾波器等，其輸入信號中有用信號和希望濾除的頻帶成分重疊。對于經(jīng)典濾波器，從頻域上也可以分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。從時域特性上看，數(shù)字濾波器還可以分為有限脈沖響應(yīng)（FIR，finite impulse response）數(shù)字濾波器和無限脈沖響應(yīng)（IIR, infinite impulse response）數(shù)字濾波器。對于有限脈沖響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器，其輸出y(n)只取決于有限個過去和現(xiàn)在的輸入，x(n),x(n-1),x(n-m),濾波器的輸入輸出關(guān)系可表示為 （2-3）對于無限脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器，它的輸出不僅取決于過去和現(xiàn)在的輸入，而且還取決于過去的輸出，其差分方程為 (2-4)該差分方程的單位沖激響應(yīng)是無限延續(xù)的。2.3數(shù)字濾波器的設(shè)計原理數(shù)字濾波器根據(jù)其脈沖響應(yīng)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)（IIR）濾波器和有限長沖激響應(yīng)（FIR）濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應(yīng)。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)。因而有時也稱之為遞歸濾波器；FIR濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時間，在工程實(shí)際中可以采用遞歸的方法實(shí)現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有很多，如雙線性變換法，窗函數(shù)設(shè)計法，插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計算機(jī)輔助設(shè)計有了可能，而且還可以使設(shè)計到達(dá)最優(yōu)化。數(shù)字濾波器設(shè)計的基本步驟如下：（1）確定指標(biāo)在設(shè)計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作。因此，指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標(biāo)，它提供對幅度函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于FIR濾波器的設(shè)計。第二種指標(biāo)是相對指標(biāo)。它以分貝值的形式給出要求。在工程實(shí)際中，這種指標(biāo)最受歡迎。對于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。（2）逼近 確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設(shè)計方法，設(shè)計出一個實(shí)際濾波器模型來逼近給定的目標(biāo)。（3）性能分析和計算機(jī)仿真 上兩步的結(jié)果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應(yīng)描述的濾波器。根據(jù)這個描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗(yàn)證設(shè)計結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求；或者利用計算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)設(shè)計的濾波器，再分析濾波器結(jié)果來判斷。2.4數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)用下式表示： (2-5)式中，H(e)為幅頻特性，為相頻特性。幅頻特性表示信號通過濾波器后各頻率成分的衰減情況，相頻特性則反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。通常，選頻濾波器的指標(biāo)要求都以幅頻特性給出，對相頻特性不作要求，如果需要對輸出波形有嚴(yán)格要求，如語音合成、波形傳輸?shù)龋瑒t要求設(shè)計線性相位數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的參數(shù)指標(biāo)是、和。和分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。通帶和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示，和分別定義為： dB (2-6） dB (2-7)式中均假定已被歸一化為1。2.5數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)作為線性時不變系統(tǒng)的數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示，而實(shí)現(xiàn)一個系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式所表示的系統(tǒng)可以用兩種方法：一種方法是采用計算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)；另一種方法是用加法器，乘法器和延遲器等元件設(shè)計出專用的數(shù)字硬件系統(tǒng)，即硬件實(shí)現(xiàn)。不論軟件實(shí)現(xiàn)好事硬件實(shí)現(xiàn)，在濾波器設(shè)計過程中，由同一系統(tǒng)函數(shù)可以過程很多不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。對于無限精度的系數(shù)和變量，不同結(jié)構(gòu)可能是等效的，與其輸入和輸出特性無關(guān)；但是在系數(shù)和變量精度是有限的情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的性能就又很大的差異。因此，有必要對離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有一基本認(rèn)識。2.5.1 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)有以下幾種：直接型、級聯(lián)型、線性相位型、頻率采樣型。1.直接型：設(shè)FIR濾波器的單位沖擊響應(yīng)h(n)為一個長度為N的序列，則濾波器系統(tǒng)函數(shù)為： （2-8）表示這一系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的差分方程為 (2-9)直接由差分方程可得出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2-1所示：圖2-1 FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu) 直接型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀，乘法運(yùn)算量較少。缺點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)較難。2級聯(lián)型當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時，可將H(z)分解為實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式： (2-10) 式中，為的變換，為實(shí)數(shù)。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖2-2所示：圖2-2 FIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)該結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)比直接型方便。缺點(diǎn)：中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。當(dāng)?shù)碾A次高時，也不易分解。3.線性相位型結(jié)構(gòu)FIR濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)有偶對稱和奇對稱，不論為偶對稱還是奇對稱都有：當(dāng)N為偶數(shù)時，系統(tǒng)函數(shù)為： (2-11)當(dāng)N為奇數(shù)時，系統(tǒng)函數(shù)為： (2-12)對這兩種情況，都可以用FIR直接型實(shí)現(xiàn)，這種結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上是直接型，但乘法次數(shù)比直接型省了一半。其信號流圖如圖2-3所示。(a) N為偶數(shù)(b) N為奇數(shù)圖2-3 線性相位型結(jié)構(gòu)2.5.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)IIR濾波器常用的典型結(jié)構(gòu)有直接II型、級聯(lián)型和并聯(lián)型，分別介紹如下：1.直接II型（也稱為正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)）IIR濾波器的傳輸函數(shù)為 (2-13)其中已假設(shè)(2-11)式中的，對于其它情況，則可令相應(yīng)的某些系數(shù)為零。令，則有； （2-14）由此可以得到相應(yīng)的時域中激勵與響應(yīng)之間的關(guān)系為： （2-15)直接II型結(jié)構(gòu)具有簡單直觀的典型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式，在計算機(jī)上很容易實(shí)現(xiàn)。但是它對系數(shù)的量值變化比較敏感，直接確定了系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置，從而影響到系統(tǒng)的性能。尤其當(dāng)階數(shù)N較高時，系統(tǒng)對系數(shù)的字長效應(yīng)很敏感，產(chǎn)生的誤差也較大。圖2-4 IIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)由于當(dāng)直接II型結(jié)構(gòu)傳輸函數(shù)階數(shù)增加時，系數(shù)量化引起的誤差影響到濾波器的性能，因此要采用其它形式的結(jié)構(gòu)。 （2-16)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是對濾波器性能的調(diào)整比較方便，調(diào)整系數(shù)，只單獨(dú)涉及到第k級零、極點(diǎn)，而不會影響到其它任一級的零、極點(diǎn)，因而可以獨(dú)立地控制濾波器的各零、極點(diǎn)的分布。 圖2-5 IIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)3.并聯(lián)型結(jié)構(gòu)這種結(jié)構(gòu)將傳輸函數(shù)展開為部分分式，即表示為若干一階和二階基本節(jié)網(wǎng)絡(luò)與一個常數(shù)之和。 (2-17)其中，同樣也可以統(tǒng)一表示為二階基本節(jié)的形式。 (2-18)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)信號流如圖2-6所示，其中二階基本節(jié)網(wǎng)絡(luò)可以用直接II型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，程序設(shè)計也可參考直接型II結(jié)構(gòu)的方法。并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置，但卻不能像級聯(lián)型結(jié)構(gòu)那樣直接控制零點(diǎn)的分布。因?yàn)椴⒙?lián)型結(jié)構(gòu)各二階基本節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)。 圖2-6 并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 2.5 FIR濾波器和IIR濾波器的分析比較為了能在實(shí)際工作中恰當(dāng)?shù)剡x用合適的濾波器，現(xiàn)將兩種濾波器特點(diǎn)比較分析如下：（1）選擇數(shù)字濾波器是必須考慮的經(jīng)濟(jì)問題，通常將硬件的復(fù)雜性，芯片的面積或計算速度等作為衡量經(jīng)濟(jì)問題的因素。在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，由于IIR數(shù)字濾波器存在輸入輸出的反饋，因此可以用較少的階數(shù)來滿足要求，所用的存儲單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。（2）在很多情況下，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。對于IIR濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴(yán)重。如果要是IIR濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。就這一點(diǎn)來看，F(xiàn)IR濾波器優(yōu)于IIR濾波器。（3）FIR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而無論是理論上還是實(shí)際的有限精度運(yùn)算中它都是穩(wěn)定的，有限精度運(yùn)算誤差也較小。IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)必須在Z平面單位圓內(nèi)才穩(wěn)定。對于這種結(jié)構(gòu)，運(yùn)算中的舍入處理有時會引起寄生振蕩。（4）對于FIR濾波器，由于脈沖響應(yīng)是有限長的，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運(yùn)算速度可以快得多。IIR濾波器不能進(jìn)行這樣的運(yùn)算。（5）從設(shè)計上看，IIR濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計的現(xiàn)成的閉合公式，數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設(shè)計公式來設(shè)計各種選頻濾波器。FIR濾波器則一般沒有現(xiàn)成的設(shè)計公式。窗函數(shù)法只能給出了窗函數(shù)的計算公式，但計算通常和阻帶衰減仍無顯式表達(dá)式。一般FIR濾波器實(shí)際僅有計算機(jī)程序利用，因而要借助計算機(jī)。（6）IIR濾波器主要是設(shè)計規(guī)格化，頻率特性為分段常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)低通，高通，帶通和帶阻濾波器。FIR濾波器則靈活很多，例如：頻率采樣法可適應(yīng)各種幅度特性和相位特性的要求，因此FIR濾波器可設(shè)計出理想正交變換器，理想微分器，線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡(luò)，適應(yīng)性很廣，而且，目前已經(jīng)有很多FIR濾波器的計算機(jī)程序可供使用。表2-1 兩種濾波器特點(diǎn)比較分析FIR濾波器IIR濾波器設(shè)計方法一般無解析的設(shè)計公式，要借助計算機(jī)程序完成利用AF的成果，可簡單，有效地完成設(shè)計設(shè)計結(jié)果可得到幅頻特性和線性相位（最大優(yōu)點(diǎn)）只能得到幅頻特性，相頻特性未知，如有需要線性相位，需用全通網(wǎng)絡(luò)校準(zhǔn)，但增加濾波器階數(shù)和復(fù)雜性穩(wěn)定性極點(diǎn)全部在原點(diǎn)，永遠(yuǎn)穩(wěn)定有穩(wěn)定性問題階數(shù)高低運(yùn)算誤差非遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)一般無反饋，運(yùn)算誤差小又反饋，由于運(yùn)算中的四舍五入會產(chǎn)生極限環(huán)第三章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的方法通常有三種：窗函數(shù)法，頻率采樣法，還有simulink仿真法。下面我們分別討論著三種設(shè)計方法。3.1窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計法以理想數(shù)字濾波器的設(shè)計為基礎(chǔ)，從時域單位脈沖響應(yīng)h(n)出發(fā)設(shè)計數(shù)字濾波器。應(yīng)用窗函數(shù)法可以設(shè)計經(jīng)典低通，高通，帶通，帶阻濾波器。3.1.1 窗函數(shù)法的設(shè)計思路如果我們設(shè)所要設(shè)計的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是(e),(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此 （3-1） （3-2)根據(jù)公式3-1,3-2可知，只要我們可以得出，那么經(jīng)過Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。一般來說數(shù)字濾波是通過離散時間系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)的，一個離散時間系統(tǒng)可以用差分方程來描述，也可以用系統(tǒng)的函數(shù)來描述，即 （3-3）將Z變換運(yùn)用到3-3式中，兩邊得 （3-4）則系統(tǒng)函數(shù)就是兩個多項(xiàng)式系數(shù)之比，即 （3-5）我們知道有限長序列的z變換應(yīng)在整個有限z平面|z|0上收斂，因此對于FIR系統(tǒng)，不能在有限z平面上有極點(diǎn)，也即在以上表達(dá)式中，如果分子，分母都沒有公共可約的因子，那么全部系數(shù)必須為0，即 （3-6）當(dāng)時，z變換與DTFT變換相等，也就是說，采樣序列單位圓上的z變換就是等于該采樣序列的DTFT。即 （3-7）把3-7式傅里葉逆變換，并且把等效換成，即 （3-8）窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)序列w(n)來修正式(3-8)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應(yīng)序列，即 （3-9）w(n)是有限長序列，當(dāng)nN-1時，w(n)=0。轉(zhuǎn)換過程如下：通過頻域卷積過程看的幅度函數(shù)H(w)的起伏現(xiàn)象，可知，加窗處理后，對理想矩形的頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響：（1） 使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)外邊沿加寬，形成一個過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度。（2） 在截止頻率的兩邊即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏震蕩，其震蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而震蕩的多少，取決于旁瓣的多少。（3） 改變N，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變W的坐標(biāo)比例以及其絕對值的大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。（4） 對窗函數(shù)的要求：a. 窗譜主瓣盡量窄，以獲取較陡的過渡帶；b. 盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度；旁瓣相對值盡可能小，以使得通帶波紋小，并且阻帶衰減大。3.1.2幾種常用的窗函數(shù)的介紹1.矩形窗(Rectangle Window) （3-10）其頻率函數(shù)為： （3-11）2.三角形窗(Bartlett Window) （3-12）其頻率函數(shù)為： （3-13)3.漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗 （3-14）利用傅里葉變換得到頻率函數(shù)為： （3-15）當(dāng)時，所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為 (3-16)4.漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗 （3-17）其幅度函數(shù)為： （3-18）5.布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗 （3-19)其幅度函數(shù)為： (3-20）6.凱塞(Kaiser)窗 （3-21）其中：是一個可自由選擇的參數(shù)，I0( x)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。一般取49，當(dāng)=5.44 接近漢明；當(dāng)=8.5 接近布萊克曼；當(dāng)=0 為矩形3.1.3幾種窗函數(shù)的比較 圖3-1 各種窗函數(shù)的幅頻特性可見，矩形窗設(shè)計的過渡帶最窄，但阻帶最小衰減也最差，僅 -21dB；布萊克曼窗設(shè)計的阻帶最小衰減最好，達(dá) -74dB,但過渡帶最寬，約為矩形窗設(shè)計的三倍。幾種窗口函數(shù)的具體性能比較見下表。表3-1 窗函數(shù)的性能比較窗函數(shù)旁瓣峰值幅度/db過渡帶寬阻帶最小衰減/db矩形窗-134/N-21三角形窗-268/N-25漢寧窗-318/N-44漢明窗-408/N-53布萊克曼窗-5712/N-74凱澤窗-5710/N-80 3.1.4窗函數(shù)法設(shè)計濾波器的步驟1）根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)。2）根據(jù)對過渡帶和阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。3）計算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)： （3-21)式中,是前面所選擇好的窗函數(shù)。4）檢驗(yàn)技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。根據(jù)下式計算： (3-22)如果不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)步驟(2)(3)(4)步，直到滿足要求為止。3.1.5在計算中窗函數(shù)的選擇可以根據(jù)數(shù)字濾波器的最大阻帶衰減要求選擇窗函數(shù)數(shù)的類型。由下表所知，阻帶衰減僅與窗函數(shù)類型相關(guān)。加窗長度由過渡帶的寬度決定。根據(jù)下表得知，選擇N時必須保證小于實(shí)際濾波器的過渡帶寬度。選擇窗函數(shù)類型必須保證。表3-2 加窗頻譜參數(shù)與窗函數(shù)的關(guān)系 名稱窗函數(shù)通帶/阻帶紋波通帶/阻帶峰值間隔最大旁瓣衰減過渡帶寬度矩形窗0.08972-21.70.92漢寧窗0.00634-443.21海明窗0.00224-533.47布萊克曼窗6-75.35.71 下面舉例說明一下在計算中如何選擇窗函數(shù)：例1：試設(shè)計一個數(shù)字濾波器半帶低通濾波器，要求通帶邊界頻率8kHz,通帶最大衰減1dB,阻帶邊界頻率16kHz,阻帶最小衰減50dB，試選出所用的窗函數(shù)和窗函數(shù)的長度。解：（1）采樣頻率的確定半帶數(shù)字濾波器要求截止頻率，由于由可知采樣頻率應(yīng)等于48kHz。（2）窗函數(shù)類型和參數(shù)的選擇根據(jù)3.1.5中阻帶衰減的要求，參照表3-2，可選擇海明窗，布萊克曼窗或者參數(shù)可調(diào)的凱澤窗。如果選擇海明窗，由表3-2可知窗函數(shù)長度必須滿足 代入?yún)?shù)，得N=21。3.1.6窗函數(shù)的使用場合隨著信號分析技術(shù)的改進(jìn)和提高，窗函數(shù)的應(yīng)用也有很大的發(fā)展。在信號處理分析和分析的過程中，需要考慮信號中的信息量的分析，增強(qiáng)信號中所需要的信息部分，抑制信號中不需要的信息部分，以人們感興趣的有效信息與窗函數(shù)作用后的綜合效果為依據(jù)來選用窗函數(shù)，使得處理結(jié)果又足夠的頻譜檢測能力和頻譜幅值估計精度。窗函數(shù)的選擇需根據(jù)信號的性質(zhì)和研究目的，如對于頻率分辨率要求高，對于譜估計幅值精度要求高的信號，處理時可以選擇矩形窗。3.2 頻率采樣法設(shè)計數(shù)字濾波器窗函數(shù)設(shè)計法理想數(shù)字濾波器為基礎(chǔ)，從時域單位脈沖響應(yīng)h(n)出發(fā)設(shè)計濾波器，設(shè)計過程簡單，但不能設(shè)計具有頻率響應(yīng)特性的數(shù)字濾波器。頻率采樣法直接從頻域出發(fā)，可方便設(shè)計具有任意頻率響應(yīng)的數(shù)字濾波器。3.2.1頻率采樣法的基本原理一個有限長序列，可以通過其頻譜的相同長度的等間隔采樣值準(zhǔn)確地恢復(fù)原有的序列，頻率采樣法便是從頻域出發(fā)，對理想的頻率響應(yīng)加以等間隔采樣即 (3-23)然后，以此作為實(shí)際FIR濾波器的頻率特性的離散樣本,即 （3-24）由通過IDFT可求出有限序列為 （3-25）利用N個頻域的離散樣本同樣可求出FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)及頻域響應(yīng)，對于3-25式中求z變換得 （3-26） 令，則 （3-27）對于單位圓上的頻響，采樣序列單位圓上的z變換就是等于該采樣序列的DTFT。則3-27式可以表達(dá)為 （3-28）在3-28式中 （3-29） 令，則 （3-30）由3-30式子很容易看出3-28式的頻響，在采樣點(diǎn)上就等于，而采樣點(diǎn)之間的值，則由各采樣值的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀。3.2.2 線性相位條件如果設(shè)計的事線性相位的FIR數(shù)字濾波器，則其采樣值的幅值和相位一定要滿足某種關(guān)系這些條件已歸納在表3-3和3-4中。表3-3 線性相位濾波器的濾波特性類型奇偶性N奇偶性關(guān)于 奇偶性適合設(shè)計濾波器類型偶奇偶低通，高通，帶通，帶阻偶偶奇低通，帶通奇奇奇帶通奇偶偶高通，帶通表3-4 線性相位濾波器幅度相位約束關(guān)系下面舉例說明一下頻率采樣法在計算中的運(yùn)用例2：利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性為 采樣點(diǎn)N=33解：根據(jù)指標(biāo)，由于N為奇數(shù)，偶對稱于，截止頻率，滿足，故得 將代入3-28式中，可得考慮到8k25時，故 3.2.3頻率采樣法的設(shè)計步驟1）確定， 2)計算 3）計算 第四章 基于Matlab的數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)4.1依據(jù)窗函數(shù)設(shè)計步驟編寫程序MATLAB工具箱已經(jīng)提供了各種窗函數(shù)的構(gòu)造函數(shù)，因而窗函數(shù)的構(gòu)造十分方便，下面給出幾種常用窗函數(shù)的構(gòu)造方法：1. 矩形窗：利用w=boxcar(n)的形式得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，它的元素由窗函數(shù)的值組成。2. 漢寧窗：利用w=hanning(n)的形式得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，包含了窗函數(shù)的n個系數(shù)。3. 布萊克曼窗：利用w=blackman(n)得到窗函數(shù)，其中n為窗函數(shù)的長度，而返回值w為一個n階的向量，包含了窗函數(shù)的n個系統(tǒng)，它的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的3倍。4. 凱塞窗：利用w=kaiser(n,beta)的形式得到窗函數(shù)。此種方法不依賴于MATLAB中的濾波器設(shè)計函數(shù)，而是根據(jù)FIR濾波器的設(shè)計步驟要求自己求解理想濾波器的沖擊響應(yīng)，然后用窗函數(shù)對沖擊響應(yīng)進(jìn)行截短，從而得到FIR濾波器。由于低通濾波器設(shè)計較為簡單，所以一下我們就以低通濾波器為例。首先得到理想的脈沖響應(yīng)，再通過窗函數(shù)對其截短，從而得到實(shí)際可行的FIR濾波器。這里分別以漢明窗，布萊克曼窗和凱塞窗進(jìn)行截短實(shí)現(xiàn)低通FIR濾波器。低通濾波器的指標(biāo)如下：通帶頻率wp=0.3*pi，阻帶頻率wc=0.4*pi,衰減不超過5dB,阻帶衰減不超過50dB。根據(jù)第三章提出的選擇窗函數(shù)的條件，只有漢明窗，布萊克曼窗以及凱塞窗合適。（1） 基于漢明窗的FIR低通濾波器圖4-1 漢明窗運(yùn)行結(jié)果圖（2）基于布萊克曼窗的FIR濾波器圖4-2 布萊克曼窗運(yùn)行結(jié)果圖（3）基于凱賽窗的FIR濾波器圖4-3 凱塞窗運(yùn)行結(jié)果圖4.2 依據(jù)頻率采樣法設(shè)計步驟編寫程序仿真流程：頻率采樣法技術(shù)是基于頻率采樣理論的一種設(shè)計方法，一個任意長的序列，對它的頻譜進(jìn)行N等分間隔抽樣，利用離散傅里葉變換，可以得到一個N點(diǎn)有限長序列，這個有限長序列是原序列以N為周期的周期序列的主值序列，它是原序列的近似，因而它的頻率特性也將逼近原序列所對應(yīng)的頻率特性。為了便于比較，采用與以上窗函數(shù)設(shè)計法相同的階數(shù)N=67。對于截止頻率為的理想低通濾波器進(jìn)行采樣，采樣點(diǎn)為奇數(shù)，選擇第一個抽樣點(diǎn)在處，在從0到之間抽取67個點(diǎn)。用MATLAB來實(shí)現(xiàn)一下，得出下面的仿真圖像。（1）基于頻率采樣法的FIR濾波器 圖4-4 頻率采樣法運(yùn)行結(jié)果圖 4.3 窗函數(shù)法和頻率采樣法的區(qū)別下面我們以圖4-1海明窗和圖4-4頻率采樣法來說明一下兩者的區(qū)別：圖4-1的橫坐標(biāo)的值乘以即為數(shù)字角頻率。由于理想低通濾波器的幅頻特性關(guān)于對稱，所以只畫出在0之間的圖像。由圖可以看出，海明窗設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器能滿足要求。經(jīng)過計算，階數(shù)N=67。圖4-5 改善后的運(yùn)行結(jié)果圖由圖4-4的幅度響應(yīng)可以看出設(shè)計的濾波器在阻帶的衰減顯然沒有超過50dB，不能滿足要求。比較實(shí)際振幅響應(yīng)，頻率采樣法在通帶和阻帶的幅度特性比窗函數(shù)設(shè)計法都有差。但這并不代表頻率采樣法在同樣的階數(shù)下，設(shè)計出的FIR數(shù)字濾波器沒有一點(diǎn)優(yōu)勢。其實(shí)，頻率采樣法可以通過在通帶和阻帶邊界增加一個或者幾個不等于零也不等于1的抽樣值來改善頻率特性。在通帶邊界增加兩個過渡采樣點(diǎn)和。階數(shù)仍然取N=67。這樣改善后的仿真圖如圖4-5所示。顯然，經(jīng)過改善的頻率采樣法設(shè)計出的濾波器性能上有了較明顯的改觀。有分貝圖看出在阻帶的衰減超過了50dB。已經(jīng)能滿足設(shè)計要求，但和海明窗設(shè)計的濾波器相比，阻帶的衰減程度還是窗口法設(shè)計的衰減更大些。另外，由實(shí)際的振幅響應(yīng)圖看出，頻率采樣法在通帶截止頻率出有一個較明顯的波動，而窗函數(shù)法則波動很小。頻率采樣法明顯在阻帶截止頻率之前就達(dá)到了衰減50dB的要求。這表明階次可以降低，而窗函數(shù)法在剛好在時才打到衰減50dB的要求，階次已經(jīng)不能再低了。這一點(diǎn)說明，達(dá)到衰減50dB這一指標(biāo)，頻率采樣法的階次可以比窗函數(shù)設(shè)計法低。 通過以上的分析比較，可見，窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計的數(shù)字濾波器在通帶和阻帶的性能優(yōu)于頻率采樣法，而在要求不是太高的情況下，頻率采樣法采用較低的階數(shù)就可以達(dá)到要求。這可以作為設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時選用設(shè)計方法的一個參考。4.4 依據(jù)Simulink仿真來設(shè)計數(shù)字濾波器Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn)Simulink已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于Simulink。4.4.1 Simulink的簡介Simulink提高圖形用戶界面，用戶可以用鼠標(biāo)操作，從模塊庫中調(diào)用標(biāo)準(zhǔn)模塊，將它們適當(dāng)?shù)剡B接起來以構(gòu)成動態(tài)系統(tǒng)模型，并且用各模塊的參數(shù)對話框?yàn)橄到y(tǒng)中各模塊設(shè)置參數(shù)，當(dāng)各模塊的參數(shù)設(shè)置完成之后，即建立起該系統(tǒng)的模型，如果對某一模塊沒有設(shè)置參數(shù)，那就意味著使用Simulink預(yù)先為該模塊設(shè)置的默認(rèn)參數(shù)值作為該模塊的參數(shù)。Simulink模塊庫內(nèi)容十分豐富，除了包括信號源模塊庫，輸出模塊庫，連續(xù)系統(tǒng)模塊庫，離散系統(tǒng)模塊庫等許多標(biāo)準(zhǔn)模塊外，用戶還可以定制和創(chuàng)建模塊。系統(tǒng)的模型建立之后，選擇仿真參數(shù)和數(shù)值算法，便可以啟動仿真程序?qū)υ撓到y(tǒng)進(jìn)行仿真，這種操作可以用Simulink菜單，也可以用MATLAB命令實(shí)現(xiàn)，菜單方式對于交互式運(yùn)行特別方便，而命令方式對于運(yùn)行一批仿真時很有用。4.4.2 Simulink系統(tǒng)仿真模型 1.首先在MATLAB的命令窗口輸入Simulink或者單擊MATLAB主窗口工具欄上的Simulink命令按鈕均可以啟動Simulink。Simulink啟動后會顯示如圖4-6所示的Simulink模塊庫瀏覽器窗口。 圖4-6 Simulink模塊庫瀏覽器 圖4-7 模塊編輯窗口2在啟動Simulink模塊庫瀏覽器后在單擊其工具欄中的New model命令按鈕，會彈出名字為untutled的模型編輯窗口，如圖7所示。3按照要求添加模塊，選取模塊，連接模塊，然后進(jìn)行模塊的參數(shù)設(shè)置，保存文件，進(jìn)行仿真。下面以漢明窗為例，說明Simulink的仿真過程。4.4.3 運(yùn)用Simulink系統(tǒng)仿真窗函數(shù)按照上述所說的過程，構(gòu)造以基波為主的原始信號x（t）=sin(100)+sin(400),通過Simulink環(huán)境下的Digital Filter Design (數(shù)