淺談數(shù)學(xué)建模在三角函數(shù)應(yīng)用中的運用[文檔資料]

淺談數(shù)學(xué)建模在三角函數(shù)應(yīng)用中的運用 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 一、對數(shù)學(xué)建模的基本理解 （一）數(shù)學(xué)建模的概念 數(shù)學(xué)建模是一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程，也就是把現(xiàn)實世界中的實際問題提煉、抽象，做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后求出模型的解，驗證模型的合理性，并能用該數(shù)學(xué)模型的解來解釋一類現(xiàn)實問題的過程。 數(shù)學(xué)建模的一般步驟為： 分析問題：了解對象的實際背景知識，根據(jù)實 際背景和要求進行 “ 問題分析 ” 。 假設(shè)模型：根據(jù)問題分析和建立數(shù)學(xué)模型的目的做出合理簡化的 “ 模型假設(shè) ” 。 建立模型：在問題分析與模型假設(shè)的基礎(chǔ)上 “ 建立數(shù)學(xué)模型 ” 。 求解模型：選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具 “ 求解數(shù)學(xué)模型 ” 。 分析解決：對模型結(jié)果進行 “ 模型分析 ” ，如果合乎實際要求就用來解決實際問題，如果不合乎實際要求就回到 繼續(xù)。 數(shù)學(xué)建模的特點有： 問題來源于實際， 需要假設(shè)， 需要驗證、討論， 沒有唯一解， 模型逼真可行， 模型可漸進， 模型可轉(zhuǎn)移， 沒有統(tǒng)一固 定方法。 （二）三角函數(shù)的應(yīng)用教材分析 普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）將三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，即 “ 問題情景 建立模型 數(shù)學(xué)結(jié)果 解釋、應(yīng)用與拓展 ” 。標(biāo)準(zhǔn)對三角函數(shù)內(nèi)容的處理，首先提供豐富的實際背景，通過對實際背景（現(xiàn)實原型）的分析、概括與抽象，建立三角函數(shù)模型（引出三角函數(shù)概念），再運用數(shù)學(xué)的方法研究三角函數(shù)模型的性質(zhì)，最后運用三角函數(shù)模型及其性質(zhì)去解決包括現(xiàn)實原型在內(nèi)的更加廣泛的一類實際問題。這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識 的產(chǎn)生、發(fā)展過程，反映了數(shù)學(xué)的 “ 來龍去脈 ” ，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識。 三角函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)要求是會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。 教學(xué)重點是建立三角函數(shù)的模型，進而運用三角函數(shù)的相關(guān)知識與方法解決有關(guān)實際問題；教學(xué)難點是：建立三角函數(shù)的模型。 二、三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容 教材舉了兩個例子：一個是物理學(xué)中的簡諧運動問題，一個是水車問題。 （一）物理學(xué)中的簡諧振動 例 1：如圖 1，點 O 為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為 3cm，周期為 3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時。 （ 1）求物體對平衡位置 的位移 x（ cm）和時間 t（ s）的 函數(shù)關(guān)系； （ 2）求該物體在 t=5s 時的位置。 由于簡諧運動的物體對平衡位置的位移 x（ cm）和時間t（ s）滿足函數(shù)關(guān)系 x=Asin（ tx+ ），所以本題在教學(xué)時采用待定系數(shù)法就可以解決，只是在開始計時時要注意位移的值。 （二）有關(guān)水車圓周運動的問題 例 2：圖 2，一半徑為 3m的 水輪如圖所示，水輪圓心 O 距 離水面 2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn) 動 4 圈，如果當(dāng)水輪上點 P 從水 中浮現(xiàn)時（圖中點 P0）開始計算 時間。 （ 1）將點 P 距離水面的高度 z（ m）表示為時間 t（ s）的函數(shù)； （ 2）點 P 第一次到達(dá)最高點大約要多長時間？ （參考數(shù)據(jù)： sin0.73=23） （三）兩個例子的區(qū)別與聯(lián)系 例 1 是簡諧振動，是動點到某定點的位移問題，例 2圓周運動，是點到某定線的位 移問題；例 2 中點 P 在 y 軸上的射影就轉(zhuǎn)化為動點到某定點的位移問題，也就是例 1 了。 三、教學(xué)實驗方案及課堂實錄 在例 1 中，由于簡諧運動的物體對平衡位置的位移 x（ cm）和時間 t（ s）滿足函數(shù)關(guān)系 x=Asin（ tx+ ），所以本題在教學(xué)時采用待定系數(shù)法就可以解決，只是在開始計時時要注意位移的值。例 2 的處理是個難點，為使本例題的作用最大化，特別制定了如下教學(xué)方案： 【情景展示、布置任務(wù)】 中國自古就是以農(nóng)立國， 與農(nóng)業(yè)相關(guān)的科學(xué)技術(shù)取得 了卓越的成就。水利 作為農(nóng) 業(yè)中最不可缺的一環(huán)，各朝政 府雖致力于興修水利工程，不 論是灌溉渠道或是運河都動員了大量的人力、物力和財力去營建。但是這些渠道大都分布在各大農(nóng)業(yè)區(qū)，至于高地或是離灌溉渠道及水源較遠(yuǎn)之地，顯然是無法顧及。于是中國人善用其智慧，發(fā)明了另一種能引水灌溉的農(nóng)具 水車。 這次的社會實踐（利用假期社會實踐），我們就會看到這種水車（圖 3），請同學(xué)們在現(xiàn)場測量你認(rèn)為用到的數(shù)據(jù)，回到教室后我們再交流，探究。 【問題提出、探究解決】 數(shù)據(jù)收集與整理。 同學(xué)們看到水車，感覺很新奇吧，你們來說說，都測量了哪些數(shù)據(jù)啊？ 生 1：半徑是 2 米差點，就算 2 米吧，池塘水深145cm。 取近似值，估算 生 2：我量的半徑是 2 米。 師：我們知道在測量時是允許存在一定的誤差的，為了我們研究的方面，我們?nèi)〗浦?2 米。還有什么數(shù)據(jù)嗎？ 生 3：我還看到水車上有個地方壞的，木條上少一塊，（同學(xué)們笑），壞的地方轉(zhuǎn)一下要 20秒的時間。 師：哦，你可真仔細(xì)！你能詳細(xì)說下怎么記這 20秒的嗎？ 生 3：我從壞處經(jīng)過我的手開始的，我 把手放在固定的地方。轉(zhuǎn)了三圈用了一分鐘，所以一圈是 20分鐘。 師：有其他的數(shù)據(jù)嗎？ 生 4：我量的是水車轉(zhuǎn)軸的中心距水面是 1 米，水車寬度是 40厘米。 根據(jù)數(shù)據(jù)畫出示意圖。 討論需要探究哪些問題？ 這是本堂課的比較精彩的地方，往往是老師提出問題后讓學(xué)生去思考，這里嘗試讓學(xué)生自我提出需要解決的問題，更能體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。學(xué)生討論不久后就有如下兩個問題： a.水車轉(zhuǎn)動的速度是多少？根據(jù)物理學(xué)知識是研究角速度還是線速度？ b.壞點處的高度問題？ 問題探究。 問題 1：學(xué)生能根據(jù)物理學(xué)知識得到角速度為：3260 （ rad/s） 師：是不是這么多??？ 學(xué)生在小聲地議論，都說是的啊。 老師邊在講臺前來回踱步，邊說：我一分鐘走 20米，你說我行走的速度是多少??？速度是個什么量??？ 生：??！要注意方向，因為速度是矢量！其他學(xué)生立即表示認(rèn)同。 師：很好！能注意到速度的定義，速度和向量一樣，都要大小和方向。 師問生 3：你沒量時水車是按什么方向轉(zhuǎn)的??？ 生 3：按 ，按逆時針方向。 師：那么我們就以逆時針方向為正方向，那角速度就是 3260 （ rad/s）。 問題 2： 師：壞點處的高度，顯然是個相對高度，根據(jù)以往的經(jīng)驗（做題的經(jīng)驗很重要，以往教學(xué)強調(diào)雙基，現(xiàn)在我們強調(diào)的三基：基本知識，基本技能，基本思想方法），這里我們應(yīng)該搭建一個平臺。 生：（異口同聲）建系。 師：哪位同學(xué)說說看？ 生 4：以水面為 x 軸或以水車 中心為坐標(biāo)原點建系。 師：這位同學(xué)提供了兩種方案， 選哪個呢？ 生 5：以水車中心為坐標(biāo)原點建系。 學(xué)生說，老師作圖（圖 4）： 師：好的，下面我們還看看 壞點的相對高度問題。設(shè)壞點 為點 P，那是相對于哪里的高度 問題呢？（圖 5） 生 6：相對于 x 軸。 生 7：相對于水面。 師：其實相對于水面的高度比相對于軸的高度多多少啊？（生： 1 米）哎，對了，我們就選相對于水面吧。那點 P相對于水面的高度是？ 生 8： 1+2sinAOP ，其實就是點 P 的縱坐標(biāo)問題，縱坐標(biāo)為 sin AOP 師：好，現(xiàn)在關(guān)鍵問題是怎么求 sinAOP ？ 生 8：我知道要求角度，但看不出來，怎么求？ 師：這樣，我們各個學(xué)生小組內(nèi)討論下，看看有沒有什么進展。（學(xué)生分組討論，學(xué)生有較充分的獨立思考時間，能培養(yǎng)閱讀與交流能力，小組活動有組織） 生 9：由于點 P 是轉(zhuǎn)過去的，所以跟角速度有關(guān)，只要知道從哪里開始轉(zhuǎn)的，再跟據(jù)時間就可以算出 AOP 的大小了。 師：他指出了要算角的大小就得先知道從哪里開始轉(zhuǎn)的，也就是從哪里開始計時。還記得生 3 是從壞處經(jīng)過手開始計時的。（手放在 固定的地方）。由于各人的手的位置具有不確定性，我們可以以一個固定的參照物為準(zhǔn)來記時。 生 9：可以在點 P 在最低點處時開始，也可以在點 P 從水中浮現(xiàn)時開始計時。 師：好，我們就以點 P 從水中浮現(xiàn)時開始計時。（為什么這樣記時，其實兩種記時方案都可以） 下面思考一個問題：圖 6 中三個角（ AOP0 ， AOP ，P0OP ）的關(guān)系是什么？怎么來表示 AOP ？ 生 9： AOP=P0OP -AOP0+ 2k （ kZ ）。 師：是加還是減??？ 生 10：考慮到角 的正負(fù)就應(yīng) 該是 AOP=P0OP -AOP0+2k （ kZ ）（ AOP0 是負(fù)角）。 師：那么 P0OP 是多大呢？ 生 10：根據(jù)角速度的大小，P0OP=3260t=10t ，其中 t 是轉(zhuǎn)動的時間。進而可以得到點 P 相對于水面的高度為： 2sin（ 10t -6t ） +1，其中 6 是由于 sinAOP0= -12。 師：好，如此一來，我們就得到了點 P 相對于水面的高度 z（ m）與水車轉(zhuǎn)動時間 t（ s）的關(guān)系式 z=2sin（ 10t - 6t） +1，想一下這里面什么量是最重要的？起決定作用的？ 生： 2sin（ 10t -6t ） +1。 師：這里面最重要的又是什么呢？ 學(xué)生思考后有一學(xué)生說：就是點 P 的縱坐標(biāo)。 師：好！這個量是解決這個問題的關(guān)鍵??！不錯！ 【師生小結(jié)】 師生共同小結(jié)下問題 2 的解決方法： 1.閱讀實際問題，理解題意， 明確要求的量，建立坐標(biāo)系（搭建 平臺），通過研究點的坐標(biāo)來研究 線段的長度。 2.在實際問題中凡 涉及旋轉(zhuǎn) 角的問題?？煽紤]用角的知識加以解決，而呈現(xiàn) “ 周期 ” 現(xiàn)象的問題則可考慮用三角函數(shù)加以模擬；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中三角函數(shù)是個工具，如圓與橢圓上點的運動都具有周期性，與此相近的問題借助于三角函數(shù)來求解通常較為方便。 【題后思考】 如圖 7，如果 P0在水面上方，距離水面的高度是 2m，如果從 P0開始計時，其他條件不變，請將點 p 距離水面的高度 z（ m）表示為時間 t（ s）的函數(shù)。 若點 P 距離水面的高度 z（ m）表示為時間 t（ s）的函數(shù)為 z=2sin（ 512 t-6 ） +0.5，請說出題目中的條件。 【作業(yè)布置、延時探究】 1.電視臺的不同欄目播出的