（通信與信息系統(tǒng)專業(yè)論文）基于小波理論的圖像去噪和增強(qiáng)技術(shù)研究.pdf

武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用 本文研究方向是在其圖像去噪 和圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用 小波分柝是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓 二維小 波分析用于圖像去噪和圖像增強(qiáng)是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面 小波分析用 于圖像去噪和增強(qiáng)具有明顯的優(yōu)點(diǎn) 基于小波分析的瑟像去噪方法有很多 比 較成功的有小波閾值法 空域相關(guān)法 模極大值重構(gòu)法 投影法等 而基于小 波的圖像增強(qiáng)方法也比傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)方法更有效 主要工作包括 本文詳細(xì)闡述了小波基本理論在圖像處理中的應(yīng)用 介紹了連續(xù)小波變換 和離散小波變換 給出離散二進(jìn)小波變換的快速分解與重構(gòu)算法 最后研究了 小波基的函數(shù)及其特性 分析了它們對實(shí)際應(yīng)用的影響和作用 在對目前小波理論 小波圖像去噪的相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上 介紹了 小波交換在圖像去嗓領(lǐng)域的應(yīng)用 其次 對囂前常用的幾類小波去噪方法進(jìn)行 了分別闡述 著重分析了閾值收縮法并分析了其存在的不足 最后 提出了新 的閾值選取方法和閩值函數(shù)改進(jìn)方法 本文采用m a t l a b 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn) 分別對 含噪圖像使用改進(jìn)的闞值 改進(jìn)的閩值函數(shù)進(jìn)行去噪處理 新函數(shù)是現(xiàn)有軟 硬閾值函數(shù)的推廣 通過調(diào)整參數(shù) 克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)有 偏差的缺點(diǎn) 改善了圖像的視覺效果和客觀指標(biāo) 對圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn) 導(dǎo)到了 較好的結(jié)果 研究了基于小波變換的酗像增強(qiáng) 先分析了圖像增強(qiáng)的基本方法 然后將 圖像增強(qiáng)放入小波域中去研究 并提出了 種新的小波變換自適應(yīng)圖像增強(qiáng)算 法 在m a t l a b 環(huán)境中驗(yàn)證了該算法的可行性和優(yōu)越性 本文主要研究了基于小波的圖像去噪與增強(qiáng)技術(shù)的理論基礎(chǔ) 提出了新的 基于小波變換的圖像去噪和增強(qiáng)方法 以m a t l a b 為平臺(tái)實(shí)現(xiàn)圖像去噪和增強(qiáng)算 法過程 并對相應(yīng)的圖像處理結(jié)果進(jìn)行了分析和澆較 驗(yàn)證了其可行性和高效 性 關(guān)鍵詞 小波變換 圖像處理 圖像去噪 圖像增強(qiáng) a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si nt h ei m a g ep r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n sa r ev e r yi m p o r t a n t i n t h i sp a p e r t h ed i r e c t i o no fi t si m a g en o i s er e d u c t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta t e r e s e a r c h e di nt h ea p p l i c a t i o n w a v e l e ta n a l y s i si st h ed e v e l o p m e n to ff o u r i e r a n a l y s i so ft h ew a y o ft h i n k i n ga n de x t e n s i o n t w o d i m e n s i o n a li m a g e so fw a v e l e t a n a l y s i sf o rn o i s er e d u c t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i s i sa ni m p o r t a n ta s p e c t w a v e l e ta n a l y s i sf o rn o i s er e d u c t i o na n de n h a n c e t h ei m a g e h a so b v i o u sa d v a n t a g e s b a s e do nw a v e l e ta n a l y s i so ft h ei m a g em e a n sal o to fn o i s e t h em o r es u c c e s s f u law a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o d a i r t e l a t e dl a w s m o d u l u sm a x i m u m r e c o n s t r u c t i o n p r o j e c t i o na n d5 1 3o n a n dt h ew a v e l e t b a s e di m a g ee n h a n c e m e n t m e t h o d st h a nt h et r a d i t i o n a li m a g ee r d a a n c e m e n tm e t h o d sm o t ee f f e c t i v e t h ef u n d a m e n t f lt h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa r ed i s c u s s e d i nd e t a i l c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dd y a d i cw a v e l e t t r a n s f o r ma t ei n t r o d u c e d t h ef a s ta l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi s g i v e n f i n a l l y a l la n a l y s i si sm a d eo nt h e i n f l u e n c eo ft h ew a v e l e tb a s e so i lp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n sb ys t u d y i n gt h e i rm a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s b a s e do nt h ep r o f o u n dc o m p r e h e n s i o na n dg e n e r a l i z a t i o no fal o to fe x i s t i n g l i t e r a t u r eo nw a v e l e td e n o i s i n g t h ea p p l i c a t i o n s i nt h ei m a g ed e n o i s i n ga t e d e s c r i b e d s e c o n d t h ew a v e l e ti m a g ed e n o i s i n g m e t h o d sa t ec l a s s i f i e da n d i n t r o d u c e d m o t e o v e r t h es h o r t c o m i n g so ft h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o da r es p e c i a l l y a n a l y z e d i n t h ee n d a f t e ra n a l y z i n ga n dc o m p a r i n gt h ec l a s s i c a lt h r e s h o l d d e n o i s i n gm e t h o d s an e wt h r e s h o l ds e l e c t i n gm e t h o da n d an e wt h r e s h o l df u n c t i o n a r ep r o p o s e d s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa t ei m p l e m e n t e db ym a t l a bw a v e l e tt o o lb o x a n de x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o d su s u a l l y o b t a i nb e t t e r p e r f o r m a n c e t h a nc l a s s i c a lt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d s i m a g ee n h a n c e m e n tb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma r es t u d i e di nt h et h e s i s f i r s t l y t h ec o n c e p to fw a v e l e tt r a n s f o r mi sd e s c r i b e d a n dt h ec h a r a c t e r sa f t e rw a v e l e t t r a n s f o r ma r ea n a l y z e d s e c o n d l y a na d a p t i v el o c a lt h r e s h o l ds c h e m ei sp r o p o s e d n a m e l yb yt h r e s h o l do ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m a tl a s t t h ew a yt h a t w a v e l e t c o o p e r a t ew i t hi m a g ee n h a n c e m e n tr e a l i z et h ea r i t h m e t i c w h i c hb a l a n c ed e n o i s i n g l l a n di m a g ee n h a n c e m e n t t h em a t l a bs i m u l a t i o n e x p e r i m e n ti n d i c a t e st h en e w a d a p t i v ei m a g ee n h a n c e m e n ti se f f e c t i v ea n de x c e l l e n t t h i sp a p e re l a b o r a t e do nt h ew a v e l e t b a s e d i m a g en o i s er e d 聰c i o n 建n d e n h a n c e m e n to ft h et h e o r e t i c a lb a s i st om a t l a ba sa p l a t f o r mf o rn o i s er e d u c t i o na n d i m a g ee n h a n c e m e n ta l g o r i t h mt oa c h i e v ep r o c e s sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gi m a g e p r o c e s s i n gr e s u l t sw e r ea n a l y z e da n dc o m p a r e di no r d e rt oa r r i v ea ta c o m p r e h e n s i v e p e r f o 珊鞠c cd i s t i n c l i o n sb a s e do bw a v e l e to ft h en o i s e r e d u c t i o n 粒di m a g e e n h a n c e m e n t a l g o r i t h mp r o g r a m k e y w o r d s w a v e l e lt r a n s f o r m i m a g e p r o c e s s i l l 舀i m a g en o i s er e d l l c t i i 撒a g c e n h a n c e m e n t i i i 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明 所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果 盡我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外 論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 也不包含為獲得武漢理工大學(xué)或其它教育 機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料 與我一同工作的同志對本研究所做的任何 貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 a 口9 羅 jz 12 本人完全了解武漢理工大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 即學(xué)校有權(quán) 保留 送交論文的復(fù)印件 允許論文被查閱和借閱 學(xué)?？梢怨颊撐牡娜?或部分內(nèi)容 可以采用影印 縮印或其他復(fù)制手段保存論文 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定 一迎企 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 課題研究背景 第1 章緒論 小波分櫥是近1 5 年來發(fā)展起來的一種薪的時(shí)頻分析方法 時(shí)頻分析應(yīng)用非 常廣泛 涵蓋了物理學(xué) 王程技術(shù) 生物科學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域 而且在很 多情況下單單分析其時(shí)域絨頻域的性質(zhì)是不夠的 比如在電力監(jiān)測系統(tǒng)中 即 要監(jiān)控穩(wěn)定信號(hào)的成分 又要準(zhǔn)鐫定位敖障信號(hào) 這就需要引入新的時(shí)頻分析 方法 小波分析正是由于這類需求發(fā)展起來的 l l 在傳統(tǒng)的傅立時(shí)分析中 饋號(hào)完全是在頻域展開的 不包含錳何時(shí)頻的信 息 這對于某些應(yīng)用來說是很恰當(dāng)?shù)?因?yàn)樾盘?hào)的頻率的信息對其是非常重要 的 馕其丟棄的時(shí)域信息可能對某些應(yīng)用同樣非常重要 所以入們對傅立時(shí)分 析進(jìn)行了推廣 提出了很多能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法 如短時(shí)傅 立葉變換 g a b o r 變換 時(shí)頻分析 小波變換等f 2 l 小波分析具有多分辨率分析 的特點(diǎn) 在時(shí)域和頻域都有表經(jīng)信號(hào)局部信息的麓力 時(shí)閽窗和頻率窗都可以 根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整 在一般情況下 在低頻部分 信號(hào)較平穩(wěn) 可 以采用較低的時(shí)閉分辨率 麗提高頻率的分辨率 在高頻情況下 頻率變純不 大 可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時(shí)間定位 圖像去噪與增強(qiáng)技術(shù)作為信號(hào)處理和現(xiàn)代通信的重要組成部分 與人們的 關(guān)系剛盞密切 近年來 采用小波變換進(jìn)行圖像去噪處理已表現(xiàn)出良好的工程 應(yīng)用前景 小波變換的低熵性 多分辨率 去相關(guān)性和選基靈活性等特點(diǎn) 為 它成功應(yīng)焉予該領(lǐng)域提供了天然優(yōu)勢 它具有多分辨率的特點(diǎn) 可以方便地從 混有強(qiáng)噪聲的信號(hào)中提取原始信號(hào) 被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡 兩圖像增強(qiáng)技術(shù) 3 5 1 是圖像處理中一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域 囂前已經(jīng)有許 多非常成熟和有效的方法 如直方圖均衡 高通濾波 反掩模銳化法等 但是 這些傳統(tǒng)的圖像增強(qiáng)方法都存在著不足 如噪聲放大 有時(shí)可能引入新的噪聲 結(jié)構(gòu)等 如何解決這些問題一直是圖像增強(qiáng)領(lǐng)域中的一個(gè)難題 藤目前 已經(jīng) 有許多關(guān)于小波變換在圖像增強(qiáng)方面的應(yīng)用研究 取得了非常不錯(cuò)的效果 不 過基予小波變換的圖像增強(qiáng)方法也有著不足的地方 沒有考慮噪聲 只是簡單 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 的增強(qiáng)細(xì)節(jié)信號(hào) 存在著噪聲放大的問題 沒有充分利用小波分析的能力等 l 2 小波分析理論 小波交換的思想是建立在可自動(dòng)調(diào)節(jié)長度的視窗函數(shù)之上的 它起源于2 0 世紀(jì)初的h a a r 的工作 在上個(gè)世紀(jì)的8 0 年代 小波變換的理論 1 9 7 5 年連續(xù)小 波變換 c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m c w t 熬發(fā)現(xiàn) 和公式 1 9 8 2 年c w t 算法 的建立 逐步建立后極大地帶動(dòng)了這一技術(shù)的發(fā)展 到2 0 世紀(jì)9 0 年代 這一種 變換方法才變得十分成熟并且得到廣泛的應(yīng)用 小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)小波變換 在映射到計(jì)算域的時(shí)候存在很多 問題 因?yàn)閮烧叨即嬖谛畔⑷哂?在對信號(hào)采樣以后 需要計(jì)算的信息量還是 相當(dāng)?shù)拇?尤其是連續(xù)小波交換 因?yàn)橐獙葍?nèi)所有的尺度和位移都徽計(jì)算 所以計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇?而二進(jìn)小波變換綴然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移 但是小波之閥沒有正交性 各今分量的信息攙雜在一起 為我們的分折帶來了 不便 真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是m e y e r 在1 9 8 6 年提出的一組小 波 其二進(jìn)鍘伸縮和平移構(gòu)成r f 鼬的標(biāo)準(zhǔn)化正交基1 6 在此結(jié)果基礎(chǔ)上 1 9 8 8 年s m a l l a t i r l 在構(gòu)造正交小波時(shí)提出了多分辨分析的概念 從函數(shù)分析的角度給 出了燕交小波的數(shù)學(xué)解釋 在空閩的概念上形象的說甥了奎波的多分辨率特性 給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法 并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起 來 并用類儆傅立葉分析中的快速傅立時(shí)算法 給寤了小波變換的快速算法 m a l l a t 算法 這樣 在計(jì)算上變得可行以后 小波變換在各個(gè)領(lǐng)域才發(fā)揮 它獨(dú)特的優(yōu)勢 解決了各類問題 為人們提供了更多的關(guān)予時(shí)域分析的信息 形象一點(diǎn)說 多分辨分析就是要構(gòu)造一組遁數(shù)空間 每組空聞的構(gòu)成都有 一個(gè)統(tǒng)一的形式 而所有空間的閉包則逼近r 火 在每個(gè)空間中 所有的函數(shù) 都構(gòu)成該空聞的標(biāo)準(zhǔn)純正交基 麗所有鼴數(shù)空聞的閉龜中的函數(shù)則構(gòu)成 2 定 的 標(biāo)準(zhǔn)化正交基 如果對信號(hào)在這類空間上進(jìn)行分解 就可以得到相互正交的時(shí) 頻特性 而且由于空闖數(shù)舀是無限可數(shù)的 可以很方便地分析我們所關(guān)心的信 號(hào)的某些特性 1 3 圖像去噪技術(shù) 2 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖像去嗓是信號(hào)處理中的一個(gè)經(jīng)典的問題 傳統(tǒng)的去噪方法多采用平均或 線性方法 如w i e n e r 濾波 但去嗓效果不令人滿意 隨著小波理論囂趨完善 它以其自身良好的時(shí)頻特性在圖像信號(hào)去噪領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注 開辟了 用非線性方法去噪的先河 小波變換用于豳像去噪的理論基礎(chǔ)始于s m a l l a t 把數(shù)學(xué)上的l i p s c h i t z 系數(shù) 與小波變換的模極大值聯(lián)系起來 隨后d o n o h o l 8 j 提出了小波m 值萎縮方法并 從漸透意義上證明了其優(yōu)越性 然而在實(shí)際應(yīng)用中卻往往效果不好 存在 過 扼殺 系數(shù)的缺點(diǎn) 以后人們進(jìn)一步研究小波相關(guān)去噪方法 比例萎縮方法等 并且在進(jìn)一步提高辣法的局部適旋性 先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性 邊緣信息的傈留性 等方西取得了巨大的進(jìn)步 具體回顧小波去噪方法可以大致分成以下三個(gè)階段 第 階段 最初的去噪方法主要是利用小波變換去相關(guān)性 在小波分解后 不同層次麴綱節(jié)子帶 采用不同的閾值 代表方法有v i s u s h r i n k 逶用軟閨值去 噪方法 和s u r e s h r i n k 基于s t e i n s 的無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì) 可得出接近最優(yōu)軟閾值 的佶計(jì)量 方法等 這期間硬閡值 軟闕值和半軟閩值等閾值函數(shù)也楣繼提出 第二階段 人們開始根據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立各種先驗(yàn)?zāi)Ｐ?對小波 系數(shù)的萎縮自適應(yīng)變化 也就是每個(gè)小波系數(shù)所采取的閾值都各不相同 小波 系數(shù)模型主要可分為基于尺度內(nèi)相關(guān)性的層內(nèi)模型 基于尺度闐相關(guān)性的層聞 模型和混合模型 最常用小波系數(shù)先驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菑V義高斯分布模型 原圖像小波 系數(shù)的方差估計(jì)采髑局部鄰域估計(jì) 代表方法有數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的爨適應(yīng)b a y e s s h r i n k 方法 l a w m l s h r i n k 方法等 第三階段 這 階段入們主要關(guān)注如何利用小波系數(shù)層聞和層肉的楣關(guān)性 二元或多元的小波萎縮函數(shù)被提出 在去噪的同時(shí)如何盡可能地保留邊緣 紋 理等細(xì)節(jié) 如何使去噪后的圖像更光滑 如何將小波變換去噪與其他方法結(jié)合 等都處于不斷地探索和研究中 代表方法有b i v a s h r i n k 方法 小波的馬爾可夫 方法和復(fù)數(shù)小波去噪方法等 1 4 圖像增強(qiáng)技術(shù) 數(shù)字圖像增強(qiáng)是指按特定的需要突出一幅圖像中的某些信息 同時(shí)削弱或 去除某些不需要的信息的處理方法 其主要目的是使處理后的圖像對某種特定 的應(yīng)用來浼 比原始圖像更適用 因此 這類處理是為了某種應(yīng)用目的兩去改 3 武漢理王大學(xué)碩士學(xué)位論文 善圖像矮量的 處理的結(jié)果鎪圖像更適合于人的視覺特性或機(jī)器的識(shí)別系統(tǒng)i l 別 圖像的增強(qiáng)技術(shù)主要分為兩大類 類是空域類處理法 一類是頻域類處 理法 空域法是指蠱接對圖像孛的像素進(jìn)行處理 基本上是以獲度映射變換為 基礎(chǔ)的 頻域法的基礎(chǔ)是卷積定理 一般情況下采用修改傅立葉變換的方法來 實(shí)現(xiàn)對圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理 健在這里以延伸為其毽的變換翔d c t 變換 w a l s h 變換和小波變換等 小波算法的發(fā)展極大影響了信號(hào)與圖像處理領(lǐng)域的研究 在圖像處理領(lǐng)域 很多算法被痰用到罌像去嗓方面 相對來講在圖像增強(qiáng)這個(gè)領(lǐng)域研究工作做得 稍微少了些 但還是出現(xiàn)了 些很重要的方法 圖像增強(qiáng)中主要問題是噪聲 許多通用 知名方法都存在下列瓣題 幫在增強(qiáng)細(xì)節(jié)信號(hào)豹同時(shí) 也放大了噪 聲 在諸如c c d 這種低對比度 多噪聲圖像中 尤其需要改進(jìn)算法 在增強(qiáng)微 弱細(xì)節(jié)信號(hào)的困時(shí)抑制背景孛的離頻噪聲 傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)方法 如直方腿均衡 高通濾波 反掩模銳化法等 但是 這些傳統(tǒng)的圖像增強(qiáng)方法都存在著不足 如噪聲放大 有時(shí)可能弓l 入新的噪聲 結(jié)擒等 知翁解決這些闖題一直是圖像增強(qiáng)領(lǐng)域孛的 個(gè)難題 小波分析是近 些年來發(fā)展起來的一種新的時(shí)頻分析工具 特別適合于信號(hào)處理領(lǐng)域 如圖像 處理 基于小渡於圖像增強(qiáng)方法瘟運(yùn)麗生 并取褥了薯每零不錯(cuò)的效果 焉這種 方法也有不足之處 特別是存在酋噪聲放大問題 于是圍繞解決該問題研究了 不少新方法 使圖豫增強(qiáng)技術(shù)鷯研究跨入一個(gè)新的領(lǐng)域 1 5 研究內(nèi)容及安排 全文共分為五章 其主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排如下 第1 章 緒論 籬要分紹小波分輯理論熬歷史和研究現(xiàn)狀 數(shù)及圖豫去噪 技術(shù)和圖像增強(qiáng)技術(shù) 最后給出本文的研究內(nèi)容和安排 第2 章 奔紹了小波分聿廳酶基本概念 連續(xù)奪波變換 離散小波交換 多 分辨率分析的思想和m a l l a t 算法 小波基函數(shù)及其性質(zhì) 以及小波理論在圖像 處理中的應(yīng)用 這一章是后續(xù)章節(jié)的理論基礎(chǔ) 第3 章主要研究了小波分析在信號(hào)處理的去噪問題孛的應(yīng)用 先籬要貧紹 了小波分析在信號(hào)去噪算法方面的研究現(xiàn)狀 又給出了小波閩值去噪的原理及 其實(shí)現(xiàn)方法 重點(diǎn)分析了傳統(tǒng)的軟 硬闌值函數(shù)的優(yōu) 缺點(diǎn) 最螽分輯了闋值 4 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 選取的方法 針對小波閾值去噪算法中閩值及閾值函數(shù)的選取問題 提出了一 種新的閩值函數(shù)和一種新閾值的方法 并通過實(shí)驗(yàn) 從不同的角度分析了這種 方法的優(yōu)越性能 第4 章主要研究了基于小波理論的圖像增強(qiáng)技術(shù) 提出了一種基于小波變 換酶魏適應(yīng)增強(qiáng)算法 并通過了m 嬲癆平臺(tái) 對蠶豫增強(qiáng)傳統(tǒng)方法和小波筋自 適應(yīng)圖像增強(qiáng)算法進(jìn)行比較 驗(yàn)證了該算法的可行性和優(yōu)越性 第5 章總結(jié)全文 并展望了未來工作的一些研究方向 5 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 第2 章小波在圖像處理中的應(yīng)用 2 1 從傅立葉變換至l jt j 波變換 小波分析屬于時(shí)頻分析的一種 傳統(tǒng)的信號(hào)分柝是建立在傅立時(shí)變換的基 礎(chǔ)上的 由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換 要么完全在時(shí)域 要么完 全在頻域 因此無法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì) 而這種性質(zhì)恰恰是葛 平穩(wěn)信號(hào) 最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì) 為了分輯和處理菲乎穩(wěn)信號(hào) 人們對傅立葉分析進(jìn)行 了推廣乃至根本性的革命 提出并發(fā)展了一系列新的信號(hào)分析理論 短時(shí)傅立 時(shí)交換 g a b o r 變換 時(shí)頻分析 小波交換 分?jǐn)?shù)階傅立時(shí)變換 線調(diào)頻小波 變換 循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅一調(diào)頻信號(hào)分析等 其中 短時(shí)傅立葉變換和小 波變換也是應(yīng)傳統(tǒng)的傅立時(shí)變換不麓夠滿足信號(hào)處理的要求而產(chǎn)生的 緞時(shí)傅 立葉變換分析的基本思想是 假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)g 的一個(gè)短時(shí)間 間隔內(nèi)是平穩(wěn) 偽平穩(wěn) 的 并移動(dòng)分析窗函數(shù) 使f t g t z l 在不同的有限 時(shí)聞寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào) 從恧計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜 但從本質(zhì)上講 短時(shí)傅立葉變換是 種單一分辨率的信號(hào)分析方法 因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短 時(shí)窗兩數(shù) 因而短時(shí)傅立葉變換在信號(hào)分析上還是存在著不可逾越的缺陷 1 4 1 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間 尺度分析方法 它具有多分辨率分析的特點(diǎn) 而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力 是一種窗口大小固定邊但其 形狀可改變 時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法 即在低頻部 分具有較高的頻率分辨率 在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分 辨率 很適合于探測正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分 所以被譽(yù) 為分析信號(hào)的顯微鏡 利用連續(xù)小波變換進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)故障檢測與診斷具有良 好的效果 2 1 1 傅里時(shí)變換 在信號(hào)處理中熏要方法之一是博立葉變換 它絮起了時(shí)聞?dòng)蚝皖l率域之閩 的橋梁 對很多信號(hào)來說 傅立葉分析非常有用 因?yàn)樗芙o出信號(hào)聚包含的各種 6 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 頻率成分 但是 傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn) 變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信 息 它不能告訴人們在某段時(shí)間里發(fā)生了什么變化 而很多信號(hào)都包含有人們 感興趣的非穩(wěn)態(tài) 或者瞬變 特性 如漂移 趨勢項(xiàng) 突然變化以及信號(hào)的開 始或結(jié)束 這些特性是信號(hào)的最重要部分 因此傅里葉變換不適于分析處理這 類信號(hào) 鼠然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來 能分別從信 號(hào)的時(shí)域和頻域觀察 但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來 這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域 波形中不包含任何頻域信息 而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性 從其表達(dá)式中 也可以看出 它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分 沒有局部化分析信號(hào)的功能 完全不 具備時(shí)域信息 氌就是說 對于傅立時(shí)譜中的某一頻率 不知道這個(gè)頻率是在 什么時(shí)候產(chǎn)生的 這樣在信號(hào)分析中就麗臨一對最基本的矛盾 時(shí)域和頻域的 局部化矛盾矧 在實(shí)際的信號(hào)處理過程中 尤其是對非平穩(wěn)信號(hào)的處理中 信號(hào)在任一時(shí) 刻附近的頻域特征都很重要 如柴油機(jī)缸蓋表面的震動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊 產(chǎn)生的 是一瞬變信號(hào) 僅從時(shí)域或頻域上來分析是不夠的 這就促使去尋找 一種新方法 能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征 構(gòu)成 信號(hào)豹時(shí)頻譜 這就是所謂的時(shí)頻分析法 也稱為時(shí)頻局部他方法 2 1 2 短耐傅里葉變換 由于標(biāo)準(zhǔn)傅立時(shí)變換只在頻域里有局部分析的能力 兩在時(shí)域里不存在這 種能力 d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短時(shí)傅立葉變換 短時(shí)傅立葉變換的基 本思想是 把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)聞聞隔 用傅立時(shí)變換分析每一個(gè)時(shí)聞聞 隔 以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率 1 昏1 7 1 其表達(dá)式為 s 觴f 一f f t g p l e j o a d t 2 一1 氣 其中拳表示復(fù)菸軛 廠0 是進(jìn)入分析的信號(hào) 在這個(gè)變換中 起著頻限 的作用 g 起著時(shí)限的作用 隨著時(shí)間z 的變化 g f 所確定的 時(shí)間窗 在t 軸上移動(dòng) 是 廠 f 逐漸 進(jìn)行分析 因此 g f 往往被稱之為窗e 1 函數(shù) s f 緲 z 大致反映了 廠0 在時(shí)刻了時(shí) 頻率為緲的 信號(hào)成分 的相對含量 這 樣信號(hào)在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在p 一6 r 6 一f s 這一區(qū)域內(nèi) 的狀態(tài) 并把這一區(qū)域稱爻窗爨 6 和艿分別稱藥窗弱的時(shí)寬和頻寬 表示了 7 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 時(shí)頻分析中的分辨率 窗寬越小則分辨率就越高 很顯然 希望6 和 都非常 小 以便有更好的時(shí)頻分析效果 但6 和 是互相制約的 兩者不可毹同時(shí)都 任意 事實(shí)上 纛1 1 2 且僅當(dāng)鬈9 一 1 醞塒 e e 腳4 為高斯函數(shù)對 等號(hào)成立 由此可見 短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉不具有局 部分析麓力的缺陷 僵它也存在著自身不可克服的缺陷 即當(dāng)窗函數(shù)g f 確定 后 矩形窗口的形狀就確定了f 甜只能改變窗口在相平面上的位置 而不能 改變窗口的形狀 可以說短時(shí)傅立時(shí)交換實(shí)質(zhì)上是其有單一分辨率的分析 若 要改變分辨率 則必須重新選擇窗函數(shù)g o 因此 短時(shí)傅立葉變換用來分析 平穩(wěn)信號(hào)猶可 但對非平穩(wěn)信號(hào) 在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻 主頻是高頻 要求有較高的時(shí)聞分辨率 郎6 要小 而波形變化比較平緩的時(shí)刻 主頻是低 頻 則要求有較高的頻率分辨率 即 要小 而短時(shí)傅立葉變換不能兼顧兩者 2 1 3 小波變換 小波變換提出了變化的時(shí)間窗 當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí) 采用長的時(shí)間 窗 當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí) 采用短的時(shí)瓣窗 小波變換用的不是時(shí)間一頻 率域 而是時(shí)間一尺度域 尺度越大 采用越大的時(shí)間窗 尺度越小 采用越 短的時(shí)聞窗 即尺度與頻率成反比 2 2 連續(xù)小波變換 2 2 1 一維連續(xù)小波變換 定義 颯o t e l z r 其傅立時(shí)變換為妒 萬 當(dāng)妒 滿足允許條件 完 全重構(gòu)條件或恒等分辨條件 q 蝌如刪 倍2 時(shí) 我們稱妒o 為一個(gè)基本小波或母小波 將母函數(shù)妒p 經(jīng)伸縮和平移后 得 刪2 南妒等 a b e r a 帶o 泣3 稱其為一個(gè)小波序列 其中a 為伸縮因子 b 為平移因子 對于任意的函 8 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 數(shù)彈 岜乎籩 的連續(xù)小波變換為 吩 口 牡 緲口 一曠1 2fr 一f t 吐 t b clt 2 4 其重構(gòu)公式 逆變換 為 一喪正e 砉町 6 l f 洋脅偽 2 毒i j 砉町 6 l f 呼脅偽 巧 由子基小波妒p 生成的小波妒d j f 在小波變換中對被分析的信號(hào)起著觀測 窗的俸用 所以壚囊 還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件 多 壤 故妒扣 是一個(gè)連續(xù)萌數(shù) 這意味著 原點(diǎn)必須等于0 即 奈6 為了滿足完全重構(gòu)條件式 妒 c o 在 妒樽一f 爹p 者 0 2 7 為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的 處理完全重構(gòu)條件外 還要求 小波妒 f 的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件 a s p 2 甜 2 s b 2 8 式中0 asb 0 0 從穩(wěn)定性條棒 2 8 可以弓 出一個(gè)重要的概念f 1 8 l 定義 對偶小波若小波妒 滿足穩(wěn)定性條件 2 堪 式 則定義一個(gè)對偶小 波爹套 其傅立甘變換痧 妨由下式給毒 爹 國 唑 2 9 眵 2 l 注意 穩(wěn)定性條件 2 8 式實(shí)際上是對 2 9 式分母的約束條件 它的 律用是保證對偶小波豹博立孽變換存在酶穩(wěn)定性 蕊得指窶的是 一個(gè)小波的 對偶小波一般不是唯一的 然而在實(shí)際應(yīng)用中 我們又總是希望它們是唯一對 應(yīng)躲 霞此 尋找其有唯 對偶小波的合適小波也裁成為小波分搟孛最基本的 問題 連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì) 1 線性性 個(gè)多分量信號(hào)的小波交換等于各個(gè)分量的小波變換之和 9 武漢理正大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 平移不變性 若朋 的小波變換為髟始 芻 貝l jf t 7 的小波變換為 町 口 b f 翦小波變換秀野 露 妨 贈(zèng) 群 的小波變換為 孵 c a c b c 0 e 4 c 4 自檑似性 對應(yīng)不溺尺度參數(shù)a 和不同平移參數(shù)b 的連續(xù)小波交換之 闐是自相似麴 5 冗余性 連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度 小波變換的冤余性事實(shí)上也是鑫相似幢酶直接反映 它主要表現(xiàn)在以下兩 個(gè)方面 重 由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)酶重梅分式不是唯一的 也就是謊 信號(hào) f t 的小波變換與小波重構(gòu)不存在 一對應(yīng)關(guān)系 而傅立葉變換與傅立葉反變 換是一一對應(yīng)的 2 奪波變換的核函數(shù)鼯小波邈數(shù)妒 童 存在許多可能的選擇 例如 它 們可以是非正交小波 正交小波 雙正交小波 甚至允許是彼此線性相關(guān)的 奪波變換在不同的 之聞的相關(guān)性增加了分析和解釋套波變換結(jié)果 的困難 因此 小波變換酌冗余度應(yīng)盡可能減小 它是小波分析中的主要問題 之一 2 2 2 高維連續(xù)小波變換 對f t l 2 r 勛 鴦 公式建 p 一土c 丟乃 如 l f 爭姍妒j j a 2 1 0 存在幾種擴(kuò)展的可熊性 一種可能性是選擇小波咫 r 掣 搜其為球?qū)?稱 其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ 妒 回一雄 司 2 一 l 童 并且其相容性條件變?yōu)?q 二 豺 公 7 增2 了d t 2 一1 2 對掰有的f g e l 2 g 1 0 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 f 善 如 6 霞趣 b d b o 2 1 3 這里 野 掰 6 囂 妒口 妒 p 一a 圳氣p q b a 其中a e r a o 且 b e r 8 公式 2 1 3 也可以寫為 一c 一驢 洳r 也礦娃矗r 野 露 辦凈4 始 2 1 4 如果選擇的小波妒不是球?qū)ΨQ的 但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴(kuò)展與平移 例如 在二維盼 可定義 妒蝴國 a 霹 生 2 1 5 勰哪矧2 瞄等 槌容條件鰳 q 勖 公魯f 黟p s o r s 跡疹 1 2 始 1 由于m 可取正也可取負(fù) 所以這個(gè)假定無關(guān)緊要 所以對應(yīng)的離敖 小波函數(shù)吵m f 即可寫作 妒 f 7 和 掣 1 j 1 2 t f 一蛾 2 1 9 吒 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為 q 鼻t f o 妒二p 密斌 2 2 0 其重構(gòu)公式為 即 一c 芝 q 矽弦9 2 2 1 e 是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù) 然面 怎樣選擇 和氏才能夠保證重構(gòu)信號(hào) 的精度昵 顯然 網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密 即口 和 盡可能小 因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn) 越稀疏 使用的小波遁數(shù)矽繕 和離敖小波系數(shù)c 艚裁越少 信號(hào)重構(gòu)的精確 度也就會(huì)越低 實(shí)際計(jì)算中不可能對全部尺度因子蘧和位移參數(shù)值計(jì)算c w t a b 值 加之實(shí) 際的觀測信號(hào)都是離散的 所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換 d w t 大 多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2 的冪次進(jìn)行離散 最有效的計(jì)算方法 是s m a l l a t 予1 9 8 8 年發(fā)展的抉小波算法 又稱塔式算法 對任一信號(hào) 離散 小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分 稱為近似部分 和離散部分 稱 為細(xì)節(jié)部分 近似部分代表了信號(hào)的主要特征 第二步對低頻部分再進(jìn)行相似 運(yùn)算 不過這時(shí)尺度因子已經(jīng)改變 依次進(jìn)行到所需要的尺度 除了連續(xù)小波 嗍 離散小波 d w t 還有小波包 w a v e l e tp a c k e t 和多維小波 2 4 多分辨分析和m a l l a t 算法 2 4 1 多分辨分析 多分辨分析 m u l t i r es o l u t i o na n a l y s i s m r a 是1 9 8 9 年由s m a l l a t 引入 的 他從空闖的概念上形象地說明了小波的多分辨特性 將在此之鰒所有小波 1 2 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 變換理論統(tǒng)一起來 并由此給出了小波的構(gòu)造方法與小波變換快速算法 即著 名的m a l l a t 算法 多分辨分析的一個(gè)最大特點(diǎn)是只對低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步分解 從歷使頻率的分辨率變得越來越離 一般說來 用來梅造正交小波變換的多分 辨分析具有下面的理論框架 舡2 設(shè)w 是集合移磚 露 z 即對每個(gè)驢 是尺度相同為j 不慝位移k 下 的妒請 所構(gòu)成的集合 線性張成的在空間l 2 e 上的閉包 r 俾 中一列閉子 空聞 脖稱為f 犬 的一個(gè)多分辨分析 m r a 如采該序列滿足下列條件 1 單調(diào)性 匕 屹g 匕 磁e z 2 逼近性 n 屹 u 圪一r 犬 泰媾 毯 3 伸縮性 f x e v j 尊f 2 x e v j 1 v 七g z 4 平移不變性 f x c v o 靜f x k e v o v 意 z 5 相加性 k k 岷 可以證明 存在函數(shù)妒 圪使它的整數(shù)平移系 m j 2 妒 膨卅2 t k i k e z 構(gòu)成一的規(guī)范正交基 稱驢 為尺度丞數(shù) 于是函數(shù)妒 毒 一m j 2 q p m t k 七 z 構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基 m r a 本質(zhì)上給邀了人類視覺系統(tǒng)對物體認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)描述 實(shí)際上 如果把 它當(dāng)作某人在某種尺度j 下所觀察到的該物體信息 則當(dāng)尺度增加到j(luò) l 時(shí) 他 所觀察到的信息為礦 l 此時(shí)可以認(rèn)為是他進(jìn)一步靠近目標(biāo)所觀察到的信息 因此匕 所表示的信息該比匕更為豐富 即 c t 總之 尺度越大 距離 目標(biāo)越近 觀察到的信息越豐富 反之 尺度越小 距離越遠(yuǎn) 含有的信息量 越少 1 9 8 9 年 m a l l a t 在他的著名的論文中對此給出了精辟的闡述1 2 2 1 設(shè) 圪 朋毯z 驢 是 個(gè)正交m r a 如果 雄 2 羅妒 荔一妁 2 2 2 7 那么 函數(shù)妒 2 羅 一妒g q 2 t 一毒 的伸縮 平移構(gòu)成r 天 的正交基 對于任意廠 r r f 可以表示為 似 q 肌 2 2 3 1 3 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 而其中的部分和 五 x 一芝q 緲u 暇 2 2 4 因此五 x 構(gòu)成信號(hào)f 在子空間 上的投影 也即信號(hào)f 分解到與頻率k 相關(guān)的局部信息 綜合式 2 2 3 2 2 4 得到信號(hào) 的另一種等價(jià)表示 f a x 芝五 力 2 2 5 j 信號(hào)e x 巧一 七i 一 2 4 2m a l l a t 分解重構(gòu)算法 1 9 8 9 年 m a l l a t 在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中提出 了信號(hào)的塔式多分辨分解與重構(gòu)的著名算法 也稱m a l l a t 算法 一般認(rèn)為 m a l l a t 法在小波分析中的地位類似于f f r 在經(jīng)典f o u r i e r 分柝中的地位瞄j m a l l a t 算法的基本思想可以歸納如下 設(shè)日 廠為能量有限信號(hào)f e r r 在分 辨率2 下的近似 則臀 可以進(jìn)一步分解為 在分辨率2 下躲近儆胃n 通過低通濾波器得到 以及位于分辨率2 一 與2 j 之間的細(xì)節(jié)d 一f 通過 高通濾波器得到 之和 下面討論具體表達(dá)式 設(shè)妒與矽分別為尺度與小波函數(shù) 則信號(hào) 在分辨率2 h 下近似日 廠和 細(xì)節(jié)d 廠分別假設(shè)為 h j m 薈巳一 夠嘶 x q t 廠m 薈嘭 矽 2 粕 式 2 2 6 中q 姒與嘭一 分別為分辨率2 下粗糙系數(shù)與細(xì)節(jié)系數(shù) 而分辨 率2 下信號(hào)f 的近似詹j 可以壹接表示為 h j h j 4 d j 4 f 2 2 7 其中q o 2 量哆童紡 女 x 從 2 2 6 與 2 2 7 不難看出 研究信息 廠 與日 矗f 以及域一 之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為找出系數(shù)與夠 i 與露卜駐以及嘭一 毒的 1 4 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 關(guān)系 為此 從雙尺度方程開始 此時(shí)有 j 1 q j l n x 一2 2 驢 2 l x n 一2 i 巳妒 2 i x 2 川 一芝鋤2 j 驢 2 j x k 一薹 紡毒 菇 怨 危 2 2 8 土式兩端用函數(shù)驢 t 霹o 作內(nèi)積 并利用其標(biāo)準(zhǔn)正交特?zé)嵬?尋 妒 勘 紡滯 一 一魏 2 2 9 另歲 一妒長一 利用方程 2 2 6 又有 妒 一 力 2 了j l 妒 i x i t 1 2 薈蜀驢 2 j x 2 n 2 薹 一 一紡j x 2 3 0 蠢樣可得 緲歹勘 魏一扣g 坩嘲 2 3 1 利用 2 2 6 與 2 2 7 并在 2 2 7 中用函數(shù)妒 卻 x 作內(nèi)積并注意到 2 2 9 與 2 3 1 及正交特性 得到 a j 勘 i 2 3 2 2 n a j k 勘 三靠一 麗用函數(shù)l f j l m x 對 2 2 6 作內(nèi)積時(shí)則得到 嘭 珈一 面n 2 3 3 2 3 0 與 2 3 1 被稱之為信號(hào)的分解 構(gòu)成m a l l a t 著名的塔式分解算 法 另一方面 在 2 2 6 中用函數(shù)碼驢抽o 作內(nèi)積 產(chǎn)生 搿 一2 薈e n z t 栩i t t 薈島 一 t t 量 式 2 3 2 稱之為信號(hào)的重構(gòu) 構(gòu)成m a l l a t 著名的塔式重構(gòu)算法 二維m a l l a t 算法采用了可分離的濾波器設(shè)計(jì) 實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于分別對圖像數(shù) 據(jù)的行和列做一維離散小波變換 此時(shí)二維尺度函數(shù)妒 x j f 似2 可表示為 琵個(gè)一維尺度函數(shù)的乘積 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 驢如y 一驢o 砌 令妒 x 妒 分別為與妒 曲 l f y 相對應(yīng)的一維小波 則在分辨率j 層 二維的二進(jìn)小波可表示為以下3 個(gè)可分離的正交基函數(shù) 妒1 0 y 一妒扛拗 力妒2 0 y 一妒o 凈 力妒3 0 y m 妒 x 妙 2 5 小波基函數(shù)及其性質(zhì) 不同的小波基具有不同的特性 用不同的小波基分析同一個(gè)問題會(huì)產(chǎn)生不 同的結(jié)果 故小波分櫥在應(yīng)用中便存在一個(gè)小波基的選取閥題要根據(jù)小波函數(shù) 的特征和應(yīng)用的需要來選擇合適的小波基 2 5 1 小波基具有的性質(zhì) 為了在小波分析的應(yīng)用中能正確的選擇針對實(shí)際問題的小波基 首先要充 分了解各種小波基的性質(zhì) 小波基的性質(zhì)大致包括五個(gè)方面 正交性 對稱性 消失矩 正則性和緊支性 1 正交性 正交性是小波基的一個(gè)非常優(yōu)良的性質(zhì) 早期研究的小波大多是正交小波 它在理論上是近乎完美的 設(shè)妒 x 為尺度函數(shù) 則函數(shù)系靜囊一是 娩構(gòu)成規(guī)范正交系的充要條件是 驢 x v x 一七 一6 0 毒 正交小波對應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器系數(shù)之間有著直觀的聯(lián)系 即 g 一 一1 魂一 這對芷交小波的構(gòu)造和實(shí)際應(yīng)震都帶來很大的方便 靂正交小波基進(jìn)行多 尺度分解得到的各子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的的子空間中 使各子帶數(shù)據(jù)的 相關(guān)性減小 這有利于數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)壓縮 但是除h a a r 小波井 正交小波不 具有線性相位 能準(zhǔn)確重建的 正交 具有線性相位的有限沖激響應(yīng)濾波器組 是不存在的 這是被理論證明的結(jié)論 為了解決線性相位問題 一般放寬正交 健條 孛兔雙正交 雙正交條件則放棄了對偶濾波器的正交條件 只保留翁兩個(gè) 1 6 武漢理正大學(xué)碩士學(xué)位論文 交叉正交條件 實(shí)際中雙正交小波常具有非常好的性能 2 消失矩特性 為了提高小波的衰減速度 要求所使用的基函數(shù)具有一定的消失矩 消失 矩階數(shù)描述了小波函數(shù)相對于尺度函數(shù)的振蕩性質(zhì) 階數(shù)越高 小波函數(shù)振蕩 越劇烈 并可通過小波變換將該振蕩性質(zhì)傳遞到小波域內(nèi) 磊且小波蚤數(shù)豹消 失矩越高 使得圖像小波分解的高頻細(xì)節(jié)分量中就有越多的系數(shù)為o 或接近于 0 也就是存在很多可以被忽略的奇異點(diǎn) 從而縫量集中特性越好 這對圖像酶 邊緣檢測和壓縮編碼很重要 般來講 如果 個(gè)小波的消失矩r 則它對應(yīng)的濾波器長度不能小予2 r d a u b e c h i e 小波基的消失矩為n 雙正交小波基b i o r n r n d 的消失矩n f 一 1 c o i f l e t s 小波基的消失矩為2 n s y m l e t s 小波基系列的消失矩為n 在信號(hào)檢測的應(yīng)用中 為了畿夠有效的檢測奇異點(diǎn) 小波基的消失矩也必 須具有足夠的階數(shù) 它與l i p s c h i t z 奇異性指數(shù)密切相關(guān) 另外從計(jì)算量的角度 考慮 消失矩的階數(shù)與緊支撐區(qū)聞長度相關(guān) 過高的階數(shù)將增加計(jì)算量 3 緊支性 若函數(shù)妒 x 在區(qū)間 a b 1 外恒為零 則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上緊支 具有 該性質(zhì)的小波稱為緊支撐小波 如果尺度函數(shù)的低透濾波器瓠 是f i r 濾波器 那么尺度函數(shù)和小波函數(shù)只在有限區(qū)間內(nèi)非零 稱為緊支撐小波濾波