2015年考研數(shù)學(三)真題及答案詳解.pdf

2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（三） 試題解析 一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四 個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母 填在答題紙指定位置上. (1)設是數(shù)列,下列命題中不正確的是 ( ) (A) 若,則 (B) 若, 則 (C) 若,則 (D) 若,則 【答案】(D) 【解析】答案為D, 本題考查數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系. 數(shù)列對任意的子列均有,所以A、B、C正確； D 錯(D選項缺少的斂散性),故選D (2) 設函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其2階導函數(shù)的圖形如右圖 所示,則曲線的拐點個數(shù)為 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】根據(jù)拐點的必要條件，拐點可能是 不存在的點或的點處產(chǎn)生.所以有三個點可能是拐 點，根據(jù)拐點的定義，即凹凸性改變的點；二階導函數(shù)符號發(fā)生改 變的點即為拐點.所以從圖可知，拐點個數(shù)為2，故選C. (3) 設 ,函數(shù)在上連續(xù),則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標系下該二重積分要分成兩個積分區(qū) 域 所以 ， 故選B. (4) 下列級數(shù)中發(fā)散的是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】A為正項級數(shù)，因為 Image ，所以根據(jù)正項 級數(shù)的比值判別法收斂；B為正項級數(shù)，因為，根據(jù) 級數(shù)收斂準則，知收斂；C，根 據(jù)萊布尼茨判別法知收斂， 發(fā)散，所以根據(jù)級數(shù)收斂定義 知，發(fā)散；D為正項級數(shù)，因為 Image ，所以根據(jù)正項級數(shù)的比值 判別法收斂，所以選C. (5)設矩陣,.若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】 ， 由，故或，同時或.故選（D） (6) 設二次型在正交變換下的標準形為，其中，若則在正交變換下 的標準形為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】由，故. 且. 又因為 故有 所以.選（A） (7) 若為任意兩個隨機事件,則: ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選 (C) . (8) 設總體為來自該總體的簡單隨機樣本, 為樣本均值,則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】根據(jù)樣本方差的性質(zhì)，而，從而，選(B) . 二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答 題紙指定位置上. (9) 【答案】 【解析】原極限 (10)設函數(shù)連續(xù)，若則 【答案】 【解析】因為連續(xù)，所以可導，所以 ； 因為，所以 又因為，所以 故 (11)若函數(shù)由方程確定，則 【答案】 【解析】當，時帶入，得. 對求微分，得 把，代入上式，得 所以 (12)設函數(shù)是微分方程的解，且在處取得極值3，則 【答案】 【解析】的特征方程為，特征根為， ，所以該齊次微分方程的通解為，因為可導，所 以為駐點，即 ，所以，故 (13)設3階矩陣的特征值為，其中E為3階單位矩陣，則行 列式 【答案】 【解析】的所有特征值為的所有特征值為 所以. (14)設二維隨機變量服從正態(tài)分布，則 【答案】 【解析】由題設知，而且相互獨立，從而 . 三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指 定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (15)(本題滿分10 分) 設函數(shù).若與在時是等價無窮小，求的值. 【答案】 【解析】法一： 因為， 則有， Image ， 可得： Image ，所以， Image 法二： 由已知可得得 Image 由分母，得分子，求 得c； 于是 Image 由分母，得分子 ，求得 ； 進一步，b值代入原式 Image Image ，求得 (16)(本題滿分10 分) 計算二重積分，其中 【答案】 【解析】 (17)(本題滿分10分) 為了實現(xiàn)利潤的最大化，廠商需要對某商品確定其定價模型，設為 該商品的需求量，為價格，MC為邊際成本，為需求彈性. (I) 證明定價模型為； (II) 若該商品的成本函數(shù)為，需求函數(shù)為，試由（I）中的定價模型確定 此商品的價格. 【答案】(I)略(II) . 【解析】(I)由于利潤函數(shù),兩邊對求 導，得 . 當且僅當時，利潤最大，又由于,所以 , 故當Image時，利潤最大. (II)由于,則代入(I)中的定價 模型，得Image,從而解得. (18)(本題滿分10 分) 設函數(shù)在定義域上的導數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點處的切線 與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求表達式. 【答案】 【解析】曲線的切線方程為，切線與 軸的交 點為 故面積為：. 故滿足的方程為,此為可分離變量的微分方程, 解得，又由于，帶入可得，從而 (19)(本題滿分 10分) （I）設函數(shù)可導，利用導數(shù)定義證明 （II）設函數(shù)可導，寫出的求導公式. 【答案】 【解析】（I） （II）由題意得 (20) (本題滿分 11分) 設矩陣，且. (I) 求的值； (II)若矩陣滿足，其中為3階單位矩陣，求. 【答案】 【解析】(I) (II)由題意知 ， (21) (本題滿分11 分) 設矩陣相似于矩陣. (I) 求的值； （II）求可逆矩陣，使為對角矩陣. 【答案】 【解析】(1) 的特征值 時的基礎解系為 時的基礎解系為 A的特征值 令， (22) (本題滿分11 分) 設隨機變量的概率密度為,對進行獨立重復的觀測,直到第2個大于3 的觀測值出現(xiàn)時停止，記為觀測次數(shù) (I)求的概率分布； (II)求. 【答案】(I)， ； (II). 【解析】(I) 記為觀測值大于3的概率，則， 從而， 為的概率分布； (II) 法一:分解法: 將隨機變量分解成兩個過程,其中表示從到次試驗觀測值大 于首次發(fā)生，表示從次到第試驗觀測值大于首次發(fā)生. 則，(注：Ge表示幾何分布) 所以. 法二:直接計算 記，則， ， ， 所以， 從而. (23) (本題滿分11 分) 設總體的概率密度