（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點導學.doc

【南方鳳凰臺】（江蘇專用）2016屆高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點導學要點導學各個擊破正弦定理的直接應用在abc中,已知a=3,b=2,b=2a.(1) 求cosa的值;(2) 求c的值.思維引導(1) 結合已知條件,利用正弦定理構造關系式,解決問題的關鍵在于條件“b=2a”的運用;(2) 求出sina,sinc,結合正弦定理即可求得c.解答(1) 因為a=3,b=2,b=2a,所以在abc中,由正弦定理得=,所以=,故cosa=.(2) 由(1)知cosa=,所以sina=.又因為b=2a,所以cosb=cos2a=2cos2a-1=,所以sinb=.在abc中,sinc=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=.由正弦定理得c=5.精要點評解三角形時,正弦定理是一個重要的工具.在結合正弦定理解三角形時,要注意:其一,什么條件下用;其二,怎么用;其三,如何靈活恰當?shù)剡\用.特別是在邊角關系轉化時對定理的熟練應用.(2014廣東卷)在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.若bcosc+ccosb=2b,則=.答案2解析由正弦定理及bcosc+ccosb=2b,得sinbcosc+sinccosb=2sinb,即sin(b+c)=2sinb.因為sin(b+c)=sina,所以sina=2sinb,利用正弦定理得a=2b,故=2.利用正弦定理判斷三角形的形狀在abc中,已知(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sin c,試判斷abc的形狀.思維引導從條件我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)角c可以寫成-(a+b),另外注意到兩邊都是關于邊的二次齊次式,因此可以利用正弦定理將邊化為角處理.解答由已知(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sinc,得b2sin(a-b)+sin(a+b)=a2sin(a+b)-sin(a-b),即b2sinacosb=a2cosasinb,即sin2bsinacosb=sin2acosasinb,所以sin2b=sin2a.由于a,b是三角形的內(nèi)角,故02a2,02b2,所以2a=2b或2a=-2b,即a=b或a+b=.故abc為等腰三角形或直角三角形.精要點評正弦定理的一個重要作用就是將邊化為角處理,借助三角恒等變換得到問題的解.若acosa=bcosb,試判斷abc的形狀.解答因為acosa=bcosb,所以sinacosa=sinbcosb,所以sin2a=sin2b.又因為a,b(0,),所以2a,2b(0,2),所以2a=2b或2a+2b=,所以a=b或a+b=,所以abc為等腰三角形或直角三角形.正弦定理及面積公式的綜合應用(2014重慶卷改編)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,滿足a+b+c=8,sinacos2+sinbcos2=2sinc,且abc的面積s=sinc,求a和b的值.思維引導利用降冪公式化簡sinacos2+sinbcos2=2sinc,再利用正弦定理將角的關系轉化為邊的關系,最后結合三角形面積公式,即可通過解方程組得出a和b的值.解答由sinacos2+sinbcos2=2sinc,得sina+sinb=2sinc,化簡得sina+sinacosb+sinb+sinbcosa=4sinc.因為sinacosb+cosasinb=sin(a+b)=sinc,所以sina+sinb=3sinc,由正弦定理可知a+b=3c.又a+b+c=8,所以a+b=6.由于s=absinc=sinc,所以ab=9,結合解得a=b=3.精要點評(1) 解決此類問題,要根據(jù)已知條件,靈活運用正弦定理或余弦定理及其推論,求邊角或將邊角互化,同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.(2) 注意降冪公式和升冪公式在化簡過程中的靈活運用.(2014德州模擬)已知a,b,c分別為abc的三個內(nèi)角a,b,c的對邊,向量m=(sina,1),n=(cosa,),且mn.(1) 求角a的大小;(2) 若a=2,b=2,求abc的面積.思維引導(1)由mn,得sina=cosa,即tana=.又a(0,),得到a=.(2)首先由正弦定理可得sinb=,通過討論ab,得到ab,從而b=或.從而進一步確定abc的面積.解答(1) 因為mn,所以sina-cosa=0,即tana=.因為a(0,),所以a=.(2) 由正弦定理可得sinb=,因為ab,所以absinasinb是準確判斷并取舍解的情況的工具.(3) 利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理,這是正弦定理的一種重要作用,正弦定理在此承擔了邊與角之間互化的橋梁作用.在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且滿足ccos b+bcos c=4acos a.(1) 求cos a的值; (2) 若abc的面積是,求的值.規(guī)范答題(1) 利用正弦定理=,得sin ccos b+sin bcos c=4sin acos a,sin(b+c)=4sin acos a,即sin a=4cos asin a,所以cos a=.(7分)(2) 由(1)得sin a=,由題意得sabc=bcsin a=,所以bc=8,所以=bccos a=2.(14分)1. 在abc中,已知b=4,c=8,b=30,那么a=.答案4解析由正弦定理得sin c=1,所以c=90,a=60.又由正弦定理得a=4.2. 在銳角三角形abc中,角a,b所對的邊分別為a,b.若2asinb=b,則a=.答案解析由2asin b=b及正弦定理得sin a=,因為abc是銳角三角形,所以a,所以a=.3. 已知=,那么abc的形狀是.答案等腰直角三角形解析由正弦定理及=得tan b=tan c=1,注意到角a,b,c是abc的內(nèi)角,所以b=c=,從而a=,abc是等腰直角三角形.4. (2014福建卷)在abc中,a=60