甘肅省武威六中高中數(shù)學(xué)論文《排列與組合問題的解題策略》理.doc

排列與組合問題的解題策略排列、組合問題，在高考中通常是以選擇題或填空題的形式考察，它聯(lián)系實(shí)際，題型多樣，解法靈活。備考有效的方法是將題型與解法歸類，識別模型、熟練運(yùn)用。1. 相鄰元素捆綁法所謂“捆綁法”，就是在解決某幾個元素要求相鄰問題時，可整體考慮將視為一個“大元素”.例1. 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須在一起的不同排法共有 種.解析：因甲、乙兩人要排在一起，故甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人全排列共有種排法，但甲、乙兩人之間有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有不同的排法.2. 相離問題插孔法相離問題是指要求某些元素不能相鄰，由其他元素將它隔開，此類問題可以將其他元素排好，再將所指定的不相鄰元素插入到空隙及兩端位置，故稱“插孔法”.例2. 6個男同學(xué)和4個女同學(xué)排成一列照相，任何兩個女同學(xué)不相鄰，問有多少種不同的排法？解析：現(xiàn)將6個男同學(xué)排好，其不同的排法為種，這6個男同學(xué)的空隙及兩端共七個位置中再排4個女同學(xué)共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，任何兩個女同學(xué)不相鄰的排法共有種.3. 定序問題縮倍法在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題，這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便.例3. 信號兵紅旗與白旗掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是 解析：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗分別全排列只能作一次掛法，故共有不同信號的種數(shù)是=10種.4. 定位問題優(yōu)先法所謂“優(yōu)先法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時優(yōu)先考慮.例4. 計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列陳列，要求同一品種的畫必須在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（ ）種a. b. c. d. 解析：先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫受限制應(yīng)優(yōu)先考慮，不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有放法，再考慮油畫與國畫本身各有與種放法，故排列的方法為，故選d.5. 至少（至多）問題間接法含“至少”、“至多”的排列組合問題，是分類問題，可用間接法。例5. (2008年四川高考)從甲、乙等10名同學(xué)中挑選4名參加公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有 （ ） .70種 b.112種c.140種 d.168種解析：甲、乙中至少有1人參加，可看成所有選法種數(shù)減去甲、乙都不參加的種數(shù)，即，故選c.6. 混合問題先取后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，一般解法是先取（組合）后排（排列）.例6.四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法共有 種（用數(shù)字作答）.解析：先從四個小球中取兩個放在一起，有種不同的取法，再把取出的兩個小球與另外兩個小球看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有種不同的放法，據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種不同的放法.7. 多元問題分類法元素多，取出的情況也有多種情形，可按結(jié)果要求，分成互不包容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì).例7.（2009年天津高考）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位、百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的是四位數(shù)共有 個（用數(shù)字作答）解析：分兩種情況：一類：個位、十位、百位上有三個偶數(shù)，有個.二類：個位、十位、百位上有兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，有個.符合條件的四位數(shù)共有90+234=324（個）.8. 部分符合淘汰法在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可在總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例8.四面體的頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，在其中取四個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ）a.150種 b.147種 c.144種 d.141種解析：10個點(diǎn)中取4個點(diǎn)共有種取法，其中每個面內(nèi)的6個點(diǎn)中任取4個必共面，這樣的面有4個，共有種；又一條棱上的三點(diǎn)與其對棱中點(diǎn)在一平面內(nèi)，這樣的平面有6個，各棱中點(diǎn)共6個點(diǎn)中，有四點(diǎn)共面的平面有3個，故符合條件的不共面的平面有：，故選d.9.有序分配逐分法有序分配問題是指元素按要求分成若干組，常采用逐步下量分組法求解.例9.（2009年海南高考）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動，若每天安排3人，則不同的安排方案共有 種（用數(shù)字作答）.解析一：從7人中選6人參加公益活動有種選法，再從6人中選3人在周六參加有種選法，剩余3人在周日參加，因此有（種）不同安排方案.解析二：先從7人中選3人在周六參加有種選法，再從剩下的4人中選3人在周日參加有種選法，因此有（種）不同安排方案.10.標(biāo)號排位分步法把元素排在指定號碼的位置上成為標(biāo)號排位問題，求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例10.（2006年天津高考題）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1 和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的方法有（ ）a.10種 b.20