第五屆日本算術(shù)奧林匹克競(jìng)賽預(yù)賽試題.doc

第五屆日本算術(shù)奧林匹克競(jìng)賽預(yù)賽試題 一、雨嘩嘩地不停地下著。如在雨地里放一個(gè)如圖1那樣的長(zhǎng)方體的容器，雨水將它注滿要用1小時(shí)。有下列AE不同的容器（圖2），雨水注滿這些容器各需多長(zhǎng)時(shí)間？二、將一正方形的紙對(duì)折2次后，還是正方形（見(jiàn)圖1）。用同樣的方法，可把某形狀的紙對(duì)折3次后，成為圖2那樣的三角形。已知可把4種形狀的紙對(duì)折3次后，折成那樣的三角形，請(qǐng)畫(huà)出這4種形狀。三、有6個(gè)1克重的球，1個(gè)2克重的球，1個(gè)3克重的球，共有8個(gè)球。把這8個(gè)球從到編上號(hào)，放到天平上稱，就成為圖中所示狀態(tài)。問(wèn)：（1）2克重的球是幾號(hào)球？（2）3克重的球是幾號(hào)球？四、有193個(gè)人坐成一橫排。首先，正中間的一個(gè)人站起來(lái)，然后，按下述方法大家都或坐或站。鄰座的人站起來(lái)，1秒鐘后，自己也站起來(lái)。站起1秒鐘后坐下。如果左右鄰座的人同時(shí)是站著的話，即使過(guò)了1秒鐘，自己仍然坐著。問(wèn)：（1）最初的那個(gè)人站起8秒鐘后，有幾個(gè)人站著？（2）96秒鐘后，有幾個(gè)人站著？五、有一個(gè)如圖那樣的方塊網(wǎng)格，每1個(gè)小方塊里有1個(gè)人，在這些人中間，有人戴著帽子，有人沒(méi)戴。每一個(gè)人都只能看見(jiàn)自己前方，后方和斜方的人的頭，如圖1所示，A方塊里的人能看見(jiàn)8個(gè)人的頭，B方塊里的人能看見(jiàn)5個(gè)人的頭，C方塊里的人能看見(jiàn)3個(gè)人的頭，自己看不見(jiàn)自己的頭。在圖2的方格中，寫(xiě)著不同方塊里的人能看見(jiàn)的帽子的數(shù)量，那么，請(qǐng)?jiān)趫D2中找出有戴帽子的人的方塊，并把它涂成黑色。六、某俱樂(lè)部有11個(gè)成員，他們的名字分別是AK。這些人分為兩派，一派人總說(shuō)實(shí)話，另一派人總說(shuō)謊話。某日，老師問(wèn)：“11個(gè)人里面，總說(shuō)謊話的有幾個(gè)人？”那天，J和K休息，余下的9個(gè)人這樣回答：A說(shuō)：“有10個(gè)人?！盉說(shuō)：“有7個(gè)人?！盋說(shuō)：“有11個(gè)人?！盌說(shuō)：“有3個(gè)人?！盓說(shuō)：“有6個(gè)人?！盕說(shuō)：“有10個(gè)人。”G說(shuō)：“有5個(gè)人?！盚說(shuō)：“有6個(gè)人?！盜說(shuō)：“有4個(gè)人?！蹦敲?，這個(gè)俱樂(lè)部的11個(gè)成員中，總說(shuō)謊話的有幾個(gè)人？七、有50張卡片，每一張都分別寫(xiě)著從1到50的數(shù)字（見(jiàn)圖）?？ㄆ膬擅嬉幻媸羌t色，一面是藍(lán)色，兩面都寫(xiě)著相同的數(shù)字。有一個(gè)班正好有50名學(xué)生，老師把這50張卡片都將藍(lán)色朝上地?cái)[在桌上，對(duì)同學(xué)們說(shuō)：“請(qǐng)你們按學(xué)號(hào)的順序逐個(gè)到前面來(lái)翻卡片，規(guī)則是：只要卡片上的數(shù)字是你自己學(xué)號(hào)的倍數(shù)，你就把它們都翻過(guò)來(lái)，藍(lán)的就翻成紅的，紅的就翻成藍(lán)的?！蹦敲?，到最后，學(xué)號(hào)是50的學(xué)生按老師的要求翻完以后，紅色朝上的卡片有多少?gòu)?？?、如圖所示，把邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形剪成4部分，從三角形頂點(diǎn)往下1cm處，呈30角下剪刀，使中間部分形成一個(gè)小的等邊三角形。問(wèn)：所有斜線部分的面積是中間小等邊三角形的面積的幾倍？九、有同樣大小的立方體27個(gè)，把它們豎3個(gè)，橫3個(gè)，高3個(gè)，緊密地沒(méi)有縫隙地搭成一個(gè)大的立方體（見(jiàn)九題圖）。如果用1根很直的細(xì)鐵絲扎進(jìn)這個(gè)大立方體，最多可以穿透幾個(gè)小立方體？附：第五屆日本算術(shù)奧林匹克競(jìng)賽預(yù)賽試題解析一、解題中“雨嘩嘩地不停地下著”這一條件，也可以理解為雨均勻地下。（這與日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能會(huì)時(shí)大時(shí)小，并不均勻。）雨水從敞口部分垂直落入到容器內(nèi)，我們就可以把“敞開(kāi)面”（即圖中所示的陰影面）叫做“接雨面”。圖中所示的長(zhǎng)方體容器，“接雨面”與底面大小相同，雨水將它下滿需要1小時(shí)，也就是說(shuō)1小時(shí)后該容器內(nèi)雨水的深度是10cm。如果容器的高度不止10cm，而是無(wú)限的，那么2小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度將會(huì)是2cm，以后每過(guò)1小時(shí)雨水的深度就會(huì)增加10cm；如果在長(zhǎng)方體容器中垂直放入一個(gè)很薄的擋板（其厚度忽略不計(jì)），將大容器分成兩個(gè)小容器（如圖所示）。小容器的“接雨面”變小了，但每個(gè)小容器的“接雨面”與底面大小仍然相同。那么1小 時(shí)后，每個(gè)小容器內(nèi)雨水的深度還是10cm。（因?yàn)楹雎粤藫醢宓暮穸龋徽荚瓉?lái)長(zhǎng)方體容器的容積。）通過(guò)上述分析與假設(shè)，我們可得出如下結(jié)論：只要容器的“接雨面”與底面大小相同，1小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度就是10cm。根據(jù)結(jié)論，觀察圖2所示的五種容器。其中A、B、E三種容器的“接雨面”與底面大小相同。A容器高10cm，雨水下滿該容器需要1小時(shí)；B容器高30cm，雨水下滿該容器需要3小時(shí)；E容器高20cm，雨水下滿該容器需要2小時(shí)。剩下C、D兩種容器，它們的“接雨面”與底面大小不同，可先將其轉(zhuǎn)化為“接雨面”與底面大小相同的容器（如圖所示）。此時(shí)，C容器的高變?yōu)?0cm，雨水下滿需3小時(shí)；D容器的高變?yōu)?5cm，雨水下滿需1.5小時(shí)。二、解（見(jiàn)下圖）三、解 由圖1可知：（一式）由圖2可知：（二式）由圖3可知：（三式）觀察三式可得出如下結(jié)論：、中不可能有克重的球，、中必有重量超過(guò)1克的球。觀察二式可得結(jié)論：、兩球重量均為1克，（因?yàn)槿绻渲杏兄?克的，則、重量之和最多與、重量之和相等，圖2將不成立，與已知矛盾。）觀察一式可得結(jié)論：、中沒(méi)有重3克的球。（否則圖1所示狀態(tài)將不成立）綜合上述3條結(jié)論可知：號(hào)球重2克，、的重量均為1克。再次觀察二式可知：號(hào)球重3克。四、解（找規(guī)律）（用表示站，表示坐）上表第1個(gè)方框內(nèi)的2表示第1秒后有2人站著；第2個(gè)方框內(nèi)有兩個(gè)數(shù)，上面2表示第2秒后有2人站著，下面的4表示第3秒后有4人站著。三角內(nèi)的兩個(gè)數(shù)為所求，即：第8秒后有2人站著，第96秒后有4人站著。五、解 答案如下圖所示。分析 站在第一行第五列的人能看見(jiàn)1頂帽子，說(shuō)明他周?chē)?人有2人沒(méi)戴帽子。站在第二行第四列的人能看見(jiàn)7頂帽子，說(shuō)明他周?chē)?人中只有1人沒(méi)戴帽子，綜合結(jié)論可知他本人沒(méi)有戴帽子。站在第二行第五列的人能看到4頂帽子，且他周?chē)?人中已有1人沒(méi)戴帽子，說(shuō)明其余4人均戴帽子，根據(jù)結(jié)論可知他本人沒(méi)戴帽子。利用上下對(duì)稱原理可以分析出：站在第四行、第五行后三列的6個(gè)人中，只有第四行第四列、第五列兩人沒(méi)戴帽子，其他人均戴帽子。站在第四行第二列的人能看到7頂帽子，說(shuō)明他周?chē)?人中只有1人沒(méi)戴帽子。站在第三行第1列的人能看見(jiàn)1頂帽子，說(shuō)明他周?chē)?人中只有1人戴帽子。綜合結(jié)論可知：這1人不可能是第二行第一二列的人，也不可能是第四行第二列的人。所以只能是站在第三行第二列的人或第四行第一列的人。站在第五行第一列的人能看到2頂帽子，說(shuō)明結(jié)論所說(shuō)戴帽子的人站在第四行第一列。站在第二行第二列的人能看到6頂帽子，說(shuō)明站在第一行第一、二列的2人都戴帽子。綜合上述分析，可以看到“思考的順序”是解答本題的關(guān)鍵。六、解因?yàn)?個(gè)人回答出了7種不同的人數(shù)，而且回答相同的最多是兩個(gè)人。所以說(shuō)謊話的不少于7人。若說(shuō)謊話的有7人，則除B外，其它回答問(wèn)題的8人均說(shuō)了謊話，與假設(shè)出現(xiàn)矛盾；若說(shuō)謊話的有8人，則回答問(wèn)題的9人均說(shuō)了謊話，出現(xiàn)矛盾；若說(shuō)謊話的有10人，則只能1人說(shuō)實(shí)話，而A和F都說(shuō)了實(shí)話，出現(xiàn)了矛盾；若說(shuō)謊話的有11人，則沒(méi)有說(shuō)實(shí)話的，而C說(shuō)了實(shí)話，出現(xiàn)矛盾；顯然說(shuō)謊話的有9人，回答問(wèn)題的9人均說(shuō)謊話，休息的兩人說(shuō)實(shí)話。七、解 每張卡片，所寫(xiě)數(shù)字有幾個(gè)約數(shù)就被翻過(guò)幾次。被翻了奇數(shù)次的卡片紅色面朝上，而只有完全平方數(shù)才能有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以本題也就是求寫(xiě)有完全平方數(shù)的卡片有幾張，所以紅色朝上的卡片共有7張。八、解 將大三角形分成邊長(zhǎng)1cm的小等邊三角形即可求解。大三角形中包含36個(gè)小等邊三角形，空白三角形包含3個(gè)小等邊三角形。所以九、解 首先從簡(jiǎn)單的想起，研究鐵絲穿透1個(gè)小立方體時(shí)，應(yīng)從哪面穿入，哪面穿出。然后考慮鐵絲扎進(jìn)8個(gè)小立方體搭成的較大立方體，最多可以穿透幾個(gè)小立方體。最后再考慮扎進(jìn)27個(gè)小立方體搭成的大立方體時(shí)，最多可以穿透幾個(gè)小立方體。（1）鐵絲穿透1個(gè)小立方體可有三種不同情況。（如圖1所示）其中A、B兩種是穿過(guò)相對(duì)兩面，A種平行于棱的方向穿過(guò)，B種斜著穿過(guò)；C種則是穿過(guò)相鄰兩面。再進(jìn)一步分析，若增加7個(gè)小立方體，搭成較大立方體時(shí)，這個(gè)小立方體相對(duì)兩面中只能有一個(gè)面與其它小立方體相鄰，也就是說(shuō)只能考慮鐵絲在一個(gè)方向上繼續(xù)穿透其它小立方體。而這個(gè)小立方體相鄰的兩面可以分別與其它小立方體相鄰，鐵絲可以沿兩個(gè)方向繼續(xù)穿透其它小立方體。因此，C種情況是我們解答本題需要深入考慮的。（為了便于分析，將這個(gè)小立方體編為號(hào)。） （2）考慮鐵絲扎進(jìn)較大立方體時(shí)最多可以穿透幾個(gè)小立方體。如圖2所示，鐵絲沿斜上方向可繼續(xù)穿透號(hào)小立方體，沿斜下方向可繼續(xù)穿透號(hào)、號(hào)小立方體。因此，共可穿透4個(gè)小立方體。（3）考慮鐵絲扎進(jìn)27個(gè)小立方體搭成的大立方體時(shí)，最多可以穿透幾個(gè)小立方體。如圖3所示，鐵絲沿斜上方向可繼續(xù)穿透號(hào)立方體，沿斜下方向可以繼續(xù)穿透號(hào)、號(hào)小立