數(shù)學(xué)物理方法之二階線性偏微分方程的分類.pdf

第十三章第十三章第十三章第十三章 二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程 的分類的分類的分類的分類 本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念 分類方 法和偏微分方程的標準化 本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念 分類方 法和偏微分方程的標準化 特別對于常系數(shù)的二階線性偏 微分方程的化簡方法也進行了詳細討論 這對后面的偏微 分方程求解是十分有用的 特別對于常系數(shù)的二階線性偏 微分方程的化簡方法也進行了詳細討論 這對后面的偏微 分方程求解是十分有用的 13 1 基本概念基本概念 1 偏微分方程偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程 如含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程 如 222 22 0 uuuuu F x yu xyxyx y 其中其中 u x y 是未知多元函數(shù) 而是未知多元函數(shù) 而 x y 是未知變量 是未知變量 uu xy 為為u的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 有時為了書有時為了書 寫方便 通常記寫方便 通常記 2 2 xyxx uuu uuu xyx 2 方程的階方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方 程的 偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方 程的階階 3 方程的次數(shù)方程的次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微 分方程的 偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微 分方程的次數(shù)次數(shù) 4 線性方程線性方程一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)的所 有偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù) 一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)的所 有偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的 就稱為線性方程 高于一次 以上的方程稱為非線性方程 都是一次的 就稱為線性方程 高于一次 以上的方程稱為非線性方程 5 準線性方程準線性方程一個偏微分方程 如果僅對方程中所有最 高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的 則稱方程為準線性方程 一個偏微分方程 如果僅對方程中所有最 高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的 則稱方程為準線性方程 6 自由項自由項在偏微分方程中 不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的 項稱為自由項 在偏微分方程中 不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的 項稱為自由項 例例13 1 2 方程的通解和特解概念 二階線性非齊次偏微分方程 方程的通解和特解概念 二階線性非齊次偏微分方程2 xy uyx 的的通解通解為為 22 1 2 u x yxyx yF xG y 其中其中 F x G y是兩個獨立的任意函數(shù) 因為方程為是兩個獨立的任意函數(shù) 因為方程為 例例13 1 1 偏微分方程的分類 具體見課本 偏微分方程的分類 具體見課本P268 224 1 252sin 2 u x yxyx yxy 稱為方程的稱為方程的特解特解 n 階常微分方程的通解含有階常微分方程的通解含有n個任意常數(shù) 而個任意常數(shù) 而n階偏微分方 程的通解含有 階偏微分方 程的通解含有n個任意函數(shù) 二階的 所以是兩個任意的函數(shù) 若給函數(shù) 個任意函數(shù) 二階的 所以是兩個任意的函數(shù) 若給函數(shù) F x G y指定為 特殊的 指定為 特殊的 4 25 2sinF xxG yy 則得到的解 則得到的解 在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中 我們主要討論了三種類型的 偏微分方程 在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中 我們主要討論了三種類型的 偏微分方程 波動方程 熱傳導(dǎo)方程 穩(wěn)定場方程波動方程 熱傳導(dǎo)方程 穩(wěn)定場方程 這三類方 程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程 后面我們將會看到它們的解 也表現(xiàn)出各自不同的特點 我們在解析幾何中知道對于二次實曲線 這三類方 程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程 后面我們將會看到它們的解 也表現(xiàn)出各自不同的特點 我們在解析幾何中知道對于二次實曲線 22 0axbxycydxeyf 其中其中 a b c d e f為常數(shù) 且設(shè)為常數(shù) 且設(shè) 2 4bac 13 2二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類 上述二次曲線分別為雙 曲線 拋物線和橢圓 受此啟發(fā) 下面我們來對二階線性偏 微分方程進行分類 上述二次曲線分別為雙 曲線 拋物線和橢圓 受此啟發(fā) 下面我們來對二階線性偏 微分方程進行分類 下面主要以含下面主要以含兩個自變量的二階線性偏微分方程兩個自變量的二階線性偏微分方程為例 進行 理論分析 而對于更多個自變量的情形盡管要復(fù)雜一些 但討 論的基本方法是一樣的 兩個自變量 為例 進行 理論分析 而對于更多個自變量的情形盡管要復(fù)雜一些 但討 論的基本方法是一樣的 兩個自變量 x y 的二階線性偏微分方程所具有的的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為普遍形式為 0 0 0 時 從方程時 從方程 13 2 3 可 以求得兩個 可 以求得兩個實函數(shù)解實函數(shù)解 12 x yCx yC 及 也就是說 偏微分方程也就是說 偏微分方程 13 2 1 有有兩條實的特征線兩條實的特征線 于是 令 于是 令 13 2 1雙曲型偏微分方程雙曲型偏微分方程 作變換并代入原方程 原偏微分方程 作變換并代入原方程 原偏微分方程 13 2 1 變?yōu)?變?yōu)?此變換是可逆的此變換是可逆的 x yx y 2 0 uuu u 2 11 11 13 2 4 u DuEu FuG 或表示為 此方程稱為雙曲線偏微分方程的第一種標準形式 偏微分方程偏微分方程 13 2 4 變?yōu)?變?yōu)?11 11 22 22 13 2 5 uu DuEu FuG 22 22 uuuu u 或表示為或表示為 此方程稱為雙曲型偏微分方程的第二種標準形式 2 ttxx ua uf x t 波動方程即為雙曲型偏微分方程波動方程即為雙曲型偏微分方程 或者進一步作變換 22 或或 例例13 2 1 原偏微分方程為原偏微分方程為 板書講解板書講解 解 補充例題 學(xué)生自己先做 再演示答案補充例題 學(xué)生自己先做 再演示答案 22 22 22 yx0 xy uu 試將方程 化為標準方程 當判別式當判別式 2 40BAC 時 方程時 方程 13 2 3 一定有重根 一定有重根 d d2 yB xA 所以特征曲線是 所以特征曲線是一族實函數(shù)曲線一族實函數(shù)曲線 其 其特征方程的解特征方程的解為為 x yc 因此令因此令 x yy 作變換 則原方程變?yōu)樽髯儞Q 則原方程變?yōu)?13 2 2拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程 13 2 6 此方程稱為拋物型偏微分方程的標準形式 2 2222 2 u DuEuFuG 2 2 0 uuu u 熱傳導(dǎo) 擴散 方程就屬于這種類型 熱傳導(dǎo) 擴散 方程就屬于這種類型 ut a2uxx f x t 拋物型方程拋物型方程又可記為 例 又可記為 例13 2 2 原偏微分方程為原偏微分方程為 板書講解板書講解 當判別式當判別式 2 40BAC 時 如上討論 得到 特征方程的解為 偏微分方程 時 如上討論 得到 特征方程的解為 偏微分方程 13 2 1 的的兩條特征線是一對共軛復(fù)函數(shù)族兩條特征線是一對共軛復(fù)函數(shù)族 13 2 3橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程 12 i i x yx ycx yx yc x yx y 若令 作變換 則偏微分方程變?yōu)?上式稱為 若令 作變換 則偏微分方程變?yōu)?上式稱為橢圓型偏微分方程的標準形式橢圓型偏微分方程的標準形式 22 3333 22 uu DuEuFuG 13 2 7 橢圓型方程又可記為如下形式橢圓型方程又可記為如下形式 2 2 0 uuu u 2 2 u 222 222 0 UUU xyz 拉普拉斯拉普拉斯 Laplace 方程 泊松方程 泊松 Poisson 方程等 都屬于這種類型 靜電場的電勢方程 方程等 都屬于這種類型 靜電場的電勢方程 泊松泊松 Poisson 方程 例 方程 例13 2 3 原偏微分方程為原偏微分方程為 板書講解板書講解 13 3 二階線性常系數(shù)偏微分方程的 進一步化簡 二階線性常系數(shù)偏微分方程的 進一步化簡 如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù) 則標準形式的方程還 可以進一步化簡 下面按三種類型分別介紹化簡的方法 如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù) 則標準形式的方程還 可以進一步化簡 下面按三種類型分別介紹化簡的方法 13 3 1雙曲型雙曲型 對于下列含常系數(shù)的第一種標準形式的雙曲型標準方程還 可進一步化簡 對于下列含常系數(shù)的第一種標準形式的雙曲型標準方程還 可進一步化簡 2 1111 uuu def uG 111 d e f 1 G 11 ed ue v 注 上式中用小寫字母代表常系數(shù) 以便與 我們不妨令 大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來 注 上式中用小寫字母代表常系數(shù) 以便與 我們不妨令 大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來 例如 為了化簡 從而有 例如 為了化簡 從而有 2 11 hJ v v 10 4 2 其中其中 11 11 1111 ed hd efJGe 由第二種標準形式的雙曲型偏微分方程 含常系數(shù) 可以進 一步化簡 由第二種標準形式的雙曲型偏微分方程 含常系數(shù) 可以進 一步化簡 22 1111 22 uuuu def u G 10 4 3 式中式中 111 def 均為常系數(shù) 若令均為常系數(shù) 若令 11 ed ue v 則有則有 10 4 4 22 11 22 hJ vv v 10 4 5 其中其中 11 2 2 11111 111 2 ed hfededJGe 對于對于含常系數(shù)的拋物型偏微分標準方程含常系數(shù)的拋物型偏微分標準方程 含常系數(shù) 含常系數(shù) 2 2222 2 uuu def uG 還可以進一步化簡 上式中小寫字母還可以進一步化簡 上式中小寫字母 222 d ef均為常系數(shù) 為了化簡 不妨令 均為常系數(shù) 為了化簡 不妨令 22 ed ue v 從而有從而有 2 22 2 hJ v v 13 3 12拋物型拋物型 13 3 3橢圓型橢圓型 對于下列第一種標準形式的橢圓型標準方程對于下列第一種標準形式的橢圓型標準方程 含常系數(shù)含常系數(shù) 22 3333 22 uuuu def uG 還可以進一步進行化簡 上式中小寫字母的還可以進一步進行化簡 上式中小寫字母的 333 d ef 為常系數(shù) 為常系數(shù) 為了化簡 不妨令為了化簡 不妨令 33 ed ue v 從而有從而有 2 33 hJ v v 其中其中 33 2 333333 ed hfedJGe 含有兩個自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以 寫成下面的形式 含有兩個自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以 寫成下面的形式 L uG x y 其中其中L是二階線性偏微分算符 是二階線性偏微分算符 G是是x y的函數(shù) 線性偏微分算符有以下兩個基本特征 的函數(shù) 線性偏微分算符有以下兩個基本特征 1 1221122 L cucL u L cuc uc L uc L u 13 5 二階線性偏微分方程的特征二階線性偏微分方程的特征 其中其中 12 c c c 均為常數(shù) 進一步有如下結(jié)論 均為常數(shù) 進一步有如下結(jié)論 1 齊次的線性偏微分方程的解有以下特性 齊次的線性偏微分方程的解有以下特性 ucu 為方程的解時 則也為方程的解 為方程的解時 則也為方程的解 1 當 也是方程的解 當 也是方程的解 12 u u 1 122 cuc u 為方程的解 則為方程的解 則 2 若若 3 線性偏微分方程的疊加原理線性偏微分方程的疊加原理 4 線性偏微分方程的積分解線性偏微分方程的積分解 疊加原理是線性偏微分方程具有一個非常重要的特性疊加原理是線性偏微分方程具有一個非常重要的特性 k u 1 2 k L ufk 即若是方程 其中 即若是方程 其中 L 是二階線性偏微分算符 的解是二階線性偏微分算符 的解 如果級數(shù)如果級數(shù) 1 kk k uc u 收斂 且二階偏導(dǎo)數(shù)存在 其中收斂 且二階偏導(dǎo)數(shù)存在 其中 1 2 k c k 為任意常數(shù) 則為任意常數(shù) 則 1 kk k uc u 一定是方程一定是方程 1 kk k L uc f 的解 當然要假定這個方程右端的級數(shù)是收斂的 的解 當然要假定這個方程右端的級數(shù)是收斂的 3 非齊次的線性偏微分方程的解