江蘇省13大市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題分類匯編 數(shù)學(xué)歸納法與二項(xiàng)式定理 蘇教版.doc

江蘇省13大市2013屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題分類匯編數(shù)學(xué)歸納法與二項(xiàng)式定理1、（常州市2013屆高三期末）空間內(nèi)有個(gè)平面，設(shè)這個(gè)平面最多將空間分成個(gè)部分. （1）求 ；（2）寫出關(guān)于的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解：（1）；（2）.證明如下： 當(dāng)時(shí)顯然成立， 設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，再添上第個(gè)平面，因?yàn)樗颓皞€(gè)平面都相交，所以可得 條互不平行且不共點(diǎn)的交線，且其中任3條直線不共點(diǎn)，這條交線可以把第個(gè)平面劃最多分成個(gè)部分，每個(gè)部分把它所在的原有空間區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域.因此，空間區(qū)域的總數(shù)增加了個(gè)， ，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.綜上，對，.2、（南京市、鹽城市2013屆高三期末）已知, 其中(1)若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為14, 求的值；(2)當(dāng)時(shí), 求證：必可表示成的形式.解: (1)因?yàn)?所以，故項(xiàng)的系數(shù)為，解得5分(2)由二項(xiàng)式定理可知,設(shè)，而若有，則,7分， 令，則必有9分必可表示成的形式，其中 10分注：用數(shù)學(xué)歸納法證明的，證明正確的也給相應(yīng)的分?jǐn)?shù)3、（南通市2013屆高三期末）已知數(shù)列an滿足：（1）若，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若，試證明：對，an是4的倍數(shù)解：(1)當(dāng)時(shí)，令，則因?yàn)槠鏀?shù)，也是奇數(shù)且只能為，所以，即 3分 (2)當(dāng)時(shí)， 4分下面利用數(shù)學(xué)歸納法來證明：an是4的倍數(shù)當(dāng)時(shí)，命題成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，則存在n*，使得，其中，當(dāng)時(shí)，命題成立由數(shù)學(xué)歸納法原理知命題對成立 10分4、（徐州、淮安、宿遷市2013屆高三期末）已知數(shù)列滿足且（1） 計(jì)算的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明；（2） 求證：當(dāng)時(shí)，證明：，猜想：2分當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，由得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為5分原不等式等價(jià)于證明：顯然，當(dāng)時(shí)，等號成立；當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，10分5、（無錫市2013屆高三期末） 已知函數(shù)f（x）= x2+1nx （）求函數(shù)f（x）在區(qū)間1，e上的最大值、最小值； （）設(shè)g（x）=f（x），求證： 6、（揚(yáng)州市2013屆高三期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是展開式的前三項(xiàng)的系數(shù).（）求展開式的中間項(xiàng)；（）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.解：（）依題意，由可得（舍去），或 2分所以展開式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)為：；4分（）由（）知，,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜測：當(dāng)時(shí)， 6分以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：時(shí)，結(jié)論成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，則時(shí)，由可知，即綜合可得，當(dāng)時(shí)， 10分7、（鎮(zhèn)江市2013屆高三期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若數(shù)列滿足，* ，證明解：（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).在區(qū)間上恒成立,2分,又在區(qū)間上是增函數(shù)即實(shí)數(shù)的取值范圍為.3分 （2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí)，成立, 4分假設(shè)時(shí)