第2章 §2.3鄰域與鄰域系.doc

2.3鄰域與鄰域系本節(jié)重點(diǎn)：掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開(kāi)集與鄰域的證明方法（今后證明開(kāi)集常用定理2.3.1）我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說(shuō)先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性，然后再定義這個(gè)映射本身的連續(xù)性然而對(duì)于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了在定理2.1.4中我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，為此只要有一個(gè)適當(dāng)?shù)姆Q(chēng)之為“鄰域”的概念，而在2.1中定義度量空間的鄰域時(shí)又只用到“開(kāi)集”因此我們先在拓?fù)淇臻g中建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會(huì)使我們感到突然定義2.3.1設(shè)（X，P)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，xX如果U是X的一個(gè)子集，滿足條件：存在一個(gè)開(kāi)集VP使得xVU，則稱(chēng)U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱(chēng)為點(diǎn)x的鄰域系易見(jiàn)，如果U是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)集，那么它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱(chēng)U是點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)鄰域首先注意，當(dāng)我們把一個(gè)度量空間看作拓?fù)淇臻g時(shí)（這時(shí)，空間的拓?fù)涫怯啥攘空T導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)洌?，一個(gè)集合是否是某一個(gè)點(diǎn)的鄰域，無(wú)論是按2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事定理2.3.1拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集U是開(kāi)集的充分必要條件是U是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要xU，U便是x的一個(gè)鄰域證明定理中條件的必要性是明顯的以下證明充分性如果U是空集，當(dāng)然U是一個(gè)開(kāi)集下設(shè)U根據(jù)定理中的條件，使得故U=，根據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個(gè)開(kāi)集定理2.3.2概括了鄰域系的基本性質(zhì)定理2.3.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g記為點(diǎn)xX的鄰域系則：（1）對(duì)于任何xX，；并且如果U，則xU；（2）如果U，V，則UV；（3）如果U并且UV，則V；（4）如果U，則存在V滿足條件：(a)VU和(b)對(duì)于任何yV，有V證明（1）X,XP,X,且由定義,如果U，則xU（2）設(shè)U，V則存在UP和P使得和成立從而我們有,T,UV（3）設(shè)U，并且（4）設(shè)U令VP滿足條件V已經(jīng)滿足條件（a），根據(jù)定理2.3.1，它也滿足條件（b）以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來(lái)建立拓?fù)淇臻g理論，這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不如現(xiàn)在流行的從開(kāi)集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪?lái)得簡(jiǎn)潔定理2.3.3設(shè)X是一個(gè)集合又設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)xX指定了x的一個(gè)子集族，并且它們滿足定理2.3.2中的條件（1）（4）則x有惟一的一個(gè)拓?fù)銽使得對(duì)于每一點(diǎn)xX，子集族恰是點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g（X，P)中的鄰域系(證明略)現(xiàn)在我們來(lái)將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推廣到拓?fù)淇臻g之間的映射中去定義2.3.2設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY，xX如果f（x）Y的每一個(gè)鄰域U的原象（U）是xX的一個(gè)鄰域，則稱(chēng)映射f是一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射，或簡(jiǎn)稱(chēng)映射f在點(diǎn)x處連續(xù)與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性也明顯地是受到了2.1中的定理2.1.4的啟發(fā)并且該定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f: XY是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)映射，它在某一點(diǎn)xX處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然這里我們也有與定理2.2.l類(lèi)似的定理定理2.3.4設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g則（1）恒同映射：XX在每一點(diǎn)xX處連續(xù)；（2）如果f：XY在點(diǎn)xX處連續(xù)，g：YZ在點(diǎn)f（x）處連續(xù)，則gof：XZ在x處連續(xù)證明請(qǐng)讀者自己補(bǔ)上以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間的聯(lián)系定理2.3.5設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f：XY則映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一點(diǎn)xX，映射f在點(diǎn)x處連續(xù)證明必要