隨機變量函數的分布、卷積公式.ppt

第五節(jié)兩個隨機變量的函數的分布 的分布M max X Y 及N min X Y 的分布課堂練習小結布置作業(yè) 在第二章中 我們討論了一維隨機變量函數的分布 現在我們進一步討論 當隨機變量X Y的聯(lián)合分布已知時 如何求出它們的函數Z g X Y 的分布 例1若X Y獨立 P X k ak k 0 1 2 P Y k bk k 0 1 2 求Z X Y的概率函數 解 a0br a1br 1 arb0 由獨立性 r 0 1 2 一 的分布 解依題意 例2若X和Y相互獨立 它們分別服從參數為的泊松分布 證明Z X Y服從參數為 于是 i 0 1 2 j 0 1 2 的泊松分布 r 0 1 即Z服從參數為的泊松分布 例3設X和Y的聯(lián)合密度為f x y 求Z X Y的概率密度 這里積分區(qū)域D x y x y z 解 Z X Y的分布函數是 它是直線x y z及其左下方的半平面 化成累次積分 得 固定z和y 對方括號內的積分作變量代換 令x u y 得 變量代換 交換積分次序 由概率密度與分布函數的關系 即得Z X Y的概率密度為 由X和Y的對稱性 fZ z 又可寫成 以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式 特別地 當X和Y獨立 設 X Y 關于X Y的邊緣密度分別為fX x fY y 則上述兩式化為 下面我們用卷積公式來求Z X Y的概率密度 卷積公式 為確定積分限 先找出使被積函數不為0的區(qū)域 例4若X和Y獨立 具有共同的概率密度 求Z X Y的概率密度 解由卷積公式 也即 暫時固定 故 當或時 當時 當時 于是 例5若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量 具有相同的分布N 0 1 求Z X Y的概率密度 解由卷積公式 令 得 可見Z X Y服從正態(tài)分布N 0 2 用類似的方法可以證明 若X和Y獨立 結論又如何呢 此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形 請自行寫出結論 若X和Y獨立 具有相同的分布N 0 1 則Z X Y服從正態(tài)分布N 0 2 有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布 更一般地 可以證明 休息片刻再繼續(xù) 二 M max X Y 及N min X Y 的分布 設X Y是兩個相互獨立的隨機變量 它們的分布函數分別為FX x 和FY y 我們來求M max X Y 及N min X Y 的分布函數 FM z P M z P X z Y z 由于X和Y相互獨立 于是得到M max X Y 的分布函數為 1 M max X Y 的分布函數 即有FM z FX z FY z 即有FN z 1 1 FX z 1 FY z 1 P X z Y z FN z P N z 1 P N z 2 N min X Y 的分布函數 由于X和Y相互獨立 于是得到N min X Y 的分布函數為 設X1 Xn是n個相互獨立的隨機變量 它們的分布函數分別為 我們來求M max X1 Xn 和N min X1 Xn 的分布函數 i 1 n 用與二維時完全類似的方法 可得 N min X1 Xn 的分布函數是 M max X1 Xn 的分布函數為 特別地 當X1 Xn相互獨立且具有相同分布函數F x 時 有 例6設系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)連接而成 連接的方式分別為 i 串聯(lián) ii 并聯(lián) iii 備用 當系統(tǒng)損壞時 系統(tǒng)開始工作 如下圖所示 設的壽命分別為已知它們的概率密度分別為 其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度 解 i 串聯(lián)的情況 由于當系統(tǒng)中有一個損壞時 系統(tǒng)L就停止工作 所以此時L的壽命為 因為X的概率密度為 所以X的分布函數為 當x 0時 當x0時 故 類似地 可求得Y的分布函數為 于是的分布函數為 1 1 FX z 1 FY z 的概率密度為 ii 并聯(lián)的情況 由于當且僅當系統(tǒng)都損壞時 系統(tǒng)L才停止工作 所以此時L的壽命為 故的分布函數為 于是的概率密度為 iii 備用的情況 因此整個系統(tǒng)L的壽命為 由于當系統(tǒng)損壞時 系統(tǒng)才開始工作 當z0時 當z 0時 當且僅當 即時 上述積分的被積函數不等于零 故 于是的概率密度為 需要指出的是 當X1 Xn相互獨立且具有相同分布函數F x 時 常稱 M max X1 Xn N min X1 Xn 為極值 由于一些災害性的自然現象 如地震 洪水等等都是極值 研究極值分布具有重要的意義和實用價值