高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)（2）課件1 新人教A版必修4.ppt

1 2 1任意角的三角函數(shù) 二 1 相關(guān)概念 1 單位圓以原點o為圓心 以單位長度為半徑的圓為單位圓 2 有向線段帶有 規(guī)定了起點和終點 的線段叫做有向線段 規(guī)定 方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值 反之為負值 方向 2 三角函數(shù)線 mp om at 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值 2 三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負 3 若角 的正弦線長度為1 則sin 1 解析 1 錯誤 三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值 2 正確 凡是與x軸或y軸正向同向的為正值 反向的為負值 3 錯誤 沒有指明正弦線的方向 故sin 1 答案 1 2 3 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 如圖的正弦線是 余弦線是 正切線是 2 比較大小 sin1 sin 填 或 3 若sin 0 則 的取值范圍是 解析 1 由三角函數(shù)線的定義知正弦線是mp 余弦線是om 正切線是at 答案 mpomat結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線知答案 3 由sin 0 如圖 利用三角函數(shù)線可得2k 2k k z 答案 2k 2k k z 要點探究 知識點三角函數(shù)線對三角函數(shù)線的四點說明 1 正弦線 余弦線 正切線分別是正弦 余弦 正切函數(shù)的幾何表示 這三種線段都是與單位圓有關(guān)的有向線段 這些特定的有向線段的數(shù)值可以用來表示三角函數(shù)值 2 三角函數(shù)線都是有向線段 因此在用字母表示這些線段時 也要注意它們的方向 分清起點和終點 書寫順序也不能顛倒 為此 我們規(guī)定凡由原點出發(fā)的線段 以原點為起點 不從原點出發(fā)的線段 以三角函數(shù)線與坐標軸的交點為起點 3 三角函數(shù)線的畫法 作正弦線 余弦線時 首先找到角的終邊與單位圓的交點 然后過此交點作x軸的垂線 得到垂足 從而得正弦線和余弦線 作正切線時 應(yīng)從a 1 0 點引x軸的垂線 交 的終邊 為第一或第四象限角 或 終邊的反向延長線 為第二或第三象限角 于點t 即可得到正切線at 4 三角函數(shù)線的主要作用 解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小 是以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ) 微思考 1 三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么 提示 長度等于三角函數(shù)值的絕對值 方向表示三角函數(shù)值的正負 2 三角函數(shù)線的方向有何特點 提示 正弦線由垂足指向 的終邊與單位圓的交點 余弦線由原點指向垂足 正切線由切點 1 0 指向與 終邊的交點 即時練 1 下列說法不正確的是 a 當角 的終邊在x軸上時 角 的正切線是一個點b 當角 的終邊在y軸上時 角 的正切線不存在c 正弦線的始點隨角的終邊位置的變化而變化d 余弦線和正切線的始點都是原點 解析 選d 余弦線始點是原點 正切線的始點是點 1 0 2 已知 是銳角 若sin cos 則角 的取值范圍是 解析 如圖單位圓中 0 mp om 所以答案 題型示范 類型一三角函數(shù)線的概念問題 典例1 1 已知則x的取值集合是 2 在單位圓中畫出滿足的角 的終邊 并作出其正弦線 余弦線和正切線 解題探究 1 題 1 中滿足的角x有多少個 它們之間有什么關(guān)系 2 題 2 中滿足的角是什么 探究提示 1 滿足的角x有無窮多個 它們之間相差180 的整數(shù)倍 2 滿足的角為或 自主解答 1 如圖所示 在0 360 范圍內(nèi) 正切值為的角有兩個 60 和240 滿足tanx 的角x的終邊與60 和240 的終邊重合 則x的取值集合是 x x 60 k 360 或x 240 k 360 k z 即 x x 60 k 180 k z 答案 x x 60 k 180 k z 2 如圖 作直線y 交單位圓于p q 則op oq為角 的終邊 如圖 所示 當 的終邊是op時 角 的正弦線為mp 余弦線為om 正切線為at 當 的終邊為oq時 角 的正弦線為nq 余弦線為on 正切線為at 延伸探究 若將題 2 中 sin 改為 sin 其他條件不變 則角 的終邊落在什么范圍內(nèi) 解析 結(jié)合題 2 解析可知 當sin 時 角的終邊與相交 角 的終邊在內(nèi) 方法技巧 單位圓中求作角的終邊的方法應(yīng)用三角函數(shù)線可以求作滿足形如f m的三角函數(shù)的角的終邊 1 作出直線y m或x m與單位圓的交點 2 將原點與交點連接所得射線即為所求角的終邊 變式訓(xùn)練 試作出角的正弦線 余弦線 正切線 解析 如圖 的正弦線 余弦線 正切線分別為mp om at 補償訓(xùn)練 若 是第一象限角 則sin cos 的值與1的大小關(guān)系是 a sin cos 1b sin cos 1c sin cos 1d 不能確定 解析 選a 如圖 角 的終邊與單位圓交于p點 過p作pm x軸于m點 由三角形兩邊之和大于第三邊可知sin cos 1 類型二利用三角函數(shù)線比較大小 典例2 1 2014 宿州高一檢測 如果那么下列不等式成立的是 a cos sin tan b tan sin cos c sin cos tan d cos tan sin 2 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小 解題探究 1 題 1 中能否從三角函數(shù)線上比較三角函數(shù)值的大小 2 題 2 中當角的終邊在第二象限時如何作出其正切線 探究提示 1 可在同一坐標系內(nèi)分別作出正弦線 余弦線和正切線 通過 形 的直觀來比較大小 2 可通過作角終邊的反向延長線作出正切線 自主解答 1 選a 如圖所示 在單位圓中分別作出 的正弦線mp 余弦線om 正切線at 很容易地觀察出om mp at 即cos sin tan 2 如圖所示 角的終邊與單位圓的交點為p 其反向延長線與單位圓的過點a的切線的交點為t 作pm x軸 垂足為m 則 的終邊與單位圓的交點為p 其反向延長線與單位圓的過點a的切線交點為t 作p m x軸 垂足為m 則由圖可見 mp m p 0 at at 0 所以 方法技巧 三角函數(shù)線比較大小的兩個關(guān)注點 1 三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn) 從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負 其長度是三角函數(shù)值的絕對值 2 比較兩個三角函數(shù)值的大小 不僅要看其長度 還要看其方向 變式訓(xùn)練 比較大小 sin1155 sin 1654 填 解析 sin 3 360 75 sin75 sin 5 360 146 sin146 在單位圓中 分別作出sin75 和sin146 的正弦線m2p2和m1p1 如圖 因為m1p1sin 1654 答案 補償訓(xùn)練 設(shè)則a b c的大小順序為 按從小到大的順序排列 解析 如圖 在單位圓中分別作出的正弦線m1p1 的余弦線om2 正切線at 由知 m1p1 m2p2 又易知om2 m2p2 at 所以故b a c 答案 b a c 類型三利用三角函數(shù)線解三角不等式 典例3 1 2014 濟南高一檢測 函數(shù)的定義域為 2 求下列函數(shù)的定義域 解題探究 1 題 1 中開偶次方根時 對被開方數(shù)有什么要求 2 題 2 中需滿足什么要求 探究提示 1 開偶次方根時要求被開方數(shù)為非負數(shù) 2 中需滿足 中需滿足 自主解答 1 要使有意義 則必須滿足2sinx 1 0即sinx 結(jié)合三角函數(shù)線 如圖所示 知x的取值范圍是答案 2 要使函數(shù)有意義 則所以如圖所示 所以 要使函數(shù)有意義 則所以如圖所示 所以 方法技巧 解形如f m或f m m 1 的三角不等式的方法 1 在直角坐標系及單位圓中 標出滿足f m的兩個角的終邊 若f為sin 則角的終邊是直線y m與單位圓的兩個交點與原點的連線 若f為cos 則角的終邊是直線x m與單位圓的兩個交點與原點的連線 若f為tan 則角的終邊與角的終邊的反向延長線表示的正切值相同 2 根據(jù)三角函數(shù)值的大小 找出 在0 2 內(nèi)的取值 再加上k 2 k z 變式訓(xùn)練 利用三角函數(shù)線 寫出滿足下列條件的角 的集合 解析 1 由圖 知 當sin 時 角 滿足的集合為 2 由圖 知 當cos 時 角 滿足的集合為 3 如圖 作出單位圓 所以角 滿足的集合為 補償訓(xùn)練 若 0 2 且求角 的取值范圍 解析 如圖 om為 0 2 內(nèi)的角和的余弦線 欲使則角 的余弦線大于等于om 當om伸長時 op與oq掃過部分為扇形poq 所以 易錯誤區(qū) 對三角函數(shù)線概念理解不準而致誤 典例 2014 天水高一檢測 已知角 的余弦線是長度為單位長度的有向線段 那么角 的終邊在 a x軸的正半軸上b x軸的負半軸上c x軸上d y軸上 解析 選c 由角 的余弦線是長度為單位長度的有向線段 得cos 1 故角 的終邊在x軸上 常見誤區(qū) 防范措施 正確理解有向線段和三角函數(shù)線有向線段既有長度又有方向 如本例中長度為單位長度