特征線理論及應用課件.ppt

第二章特征線理論及應用 氣體動力學中 有大量問題是用雙曲型偏微分方程來描述的 很難得到解析結果 在這種情況下 有兩種數(shù)值解法 1 特征線數(shù)值解法 求解域用特征線網格進行離散 求各網格結點上的解 氣體動力學中 有大量流動問題是用雙曲型偏微分方程來描述的 宜于用特征線方法求解 2 有限差分法 求解域的有限差分網格一般是正交的 根據(jù)由偏微分方程構造的差分格式來求各網格結點上的解 2 1特征線理論 特征線的數(shù)學定義 考慮一個一般的一階雙曲型偏微分方程 x y是兩個自變量 u x y 是因變量 系數(shù)A1 A2及非齊次項F1可以是x y u的函數(shù) 1 將偏微分方程改寫為 設未知函數(shù)u x y 連續(xù) u的一階導數(shù)可以寫作 注 u的一階導數(shù)可以不連續(xù) 偏微分方程的特征線定義為 xy平面內具有斜率為的曲線 2 3 沿著特征線 或 偏微分方程可化簡為 代入式 4 得到偏微分方程的相容方程 是平面上這樣一族曲線 沿著此族中任一曲線 a 可以把待求物理量的一階偏微分控制方程變換成等價的常微分控制方程 b 稱為原偏微分方程或偏微分方程組的相容方程 特征線的第一個數(shù)學意義 a b 特征線的第二個數(shù)學意義 上兩式表明 沿著特征線 分母和分子均為零 即沿著特征線 表明 1 沿特征線因變量的一階導數(shù)具有不定值 可以是不連續(xù)的 在這種情況下 特征線是弱間斷 第一類間斷線 2 在氣體動力學中 特征線可以是弱擾動波傳播的跡線 或者說弱擾動傳播的跡線就是特征線 因此 因變量的一階導數(shù)只允許有弱間斷 如果在物理平面上有激波出現(xiàn) 在強間斷面上便無法建立因變量的全微分式 也就不能用特征線方法求解 例 一階偏微分方程 的初始條件是 2 沿此特征線的相容方程 3 u 2 4 的值 用特征線法確定 1 通過點 2 4 的特征線 解 1 對照一般形式的雙曲型偏微分方程 該方程對應的系數(shù) A1 1 A2 2x F1 3x2 則特征線方程為 積分得 為確定過點 2 4 的特征線 將x 2 y 4 代入上式得 所以 所求的特征線方程是 對上式積分 得 2 偏微分方程的相容方程為 如何確定C2 初始條件u 0 y 5y 10 及特征線方程 u 0 0 10 因此相容方程為 2 2一維等熵流動的特征線數(shù)值解法 基本方程與黎曼不變量 連續(xù)方程 動量方程 以一維等直截面管為例 基本方程 等熵流動中只有一個狀態(tài)參量獨立 將基本方程中的用代替 得 基本方程可化為 定義 則 基本方程化為以v G為新的未知函數(shù)的偏微分方程 基本方程 偏微分方程 特征線 相容方程 在x t平面上 把dx dt v c曲線稱為偏微分方程的特征線 C C x t C 表示第一族特征線 C 表示第二族特征線 解相容方程 對多方氣體 其相容方程的解為 由 聲速 沿著特征線 沿著特征線 結論 特征線的基本性質 1 一維非定常流動中 平面x t上任一點 都有兩條不同族的特征線 沿各特征線有各自不同的黎曼不變量 2 特征線上參量v c p 的一階導數(shù)可以不連續(xù) 但這些參量本身是連續(xù)的 稱因變量的一階導數(shù)不連續(xù)的點叫做弱間斷 如果初始某一點有弱間斷 那么這個弱間斷必定會沿著過該點的特征線向外傳播 3 兩個相鄰的 不同類型流動區(qū)域的分界線 必定是特征線 三類流態(tài)中的特征線 定常均勻流動 相容關系描述的狀態(tài)特征線 特征線 不代表波的傳播跡線 v c0 c c0 簡單波流動 特征線 相容關系描述的狀態(tài)特征線 活塞運動跡線 復合波流動 特征線 相容關系描述的狀態(tài)特征線 x t c c1 v c1 C C 7 6 5 2 3 4 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依賴區(qū)和影響區(qū) 由于沿著兩族特征線 分別有 可以把J 和J 看作是兩個新的函數(shù) 則 利用J 和J 表示的特征線方程為 第I族特征線斜率僅由J 決定 第II族特征線斜率僅由J 決定 x t D A B D點的依賴區(qū) M C C C C 在平面運動中 沿著特征線黎曼不變量保持不變 這一重要性質清楚地揭示出流體動力學中的一些依賴關系 設t 0時各量沿x軸的分布為v0 x c0 x 于是可知黎曼不變量的相應分布為 則 x t 平面上任意一點D x t 上的狀態(tài) 將直接由x軸上點A xA 0 B xB 0 兩點上的狀態(tài)決定 所以 點所處的狀態(tài)將完全由且只由線段AB上的值決定 線段AB就稱為點D的依賴區(qū) 同樣 能夠受到AB線段間某點M的初始值影響的區(qū)域 是由發(fā)自M點的與發(fā)自M點的所包圍的區(qū)域 而這個區(qū)域之外的地方 都不受M點的影響 這個區(qū)域稱為M點的影響區(qū) P Q 例 已知初始時刻v x 0 c x 0 求D點的v x t c x t C C 解 在D x3 t 點 有 根據(jù) 得 由 2 3兩個偏微分方程的特征線法 考慮下面兩個偏微分方程組成的方程組 x y是自變量 u x y 和v x y 是兩個因變量 系數(shù)A B及非齊次項F可以是x y u和v的函數(shù) 方程組是準線性的 以上兩個方程進行線性組合 假設待求函數(shù)u x y 和v x y 在x y平面上是連續(xù)的 則連續(xù)函數(shù)的全微分為 上式作對比 可以發(fā)現(xiàn) 若存在一條斜率為下式的平面曲線 沿著該曲線 偏微分方程就化為全微分方程 1 特征線方程 式可化為 為使得關于 1 2的方程組有非零解 系數(shù)行列式為零 即 化簡行列式得 其中 對應于橢圓型方程 沒有實數(shù)解 對應于拋物型方程 過每一點有一條特征線 對應于雙曲型方程 過每一點有兩條特征線 物理特征線方程 對于一個一階的偏微分方程總是可以用特征線法求解 但是對于兩個一階的偏微分方程組來說 只有雙曲型方程才能利用兩條特征線求出兩個因變量的數(shù)值解 2 相容方程 由 解出 代入全微分方程 求得相容方程 2 4初值 Cauchy 問題 兩個偏微分方程的特征線數(shù)值解法 p xp yp C C F G MN是物理平面上一條不是特征線的曲線 沿著該線各點的x y和u v都是已知的 求此曲線鄰域內的解 1 先確定F點的位置 由C 和C 的特征線方程 求得F點的位置 2 求F點處的因變量值 上式中包含的 3 由F點處的因變量值 將代入特征線方程 重新計算特征線方程中的系數(shù) 重復1 2 過程 重新計算過M點的C 和過N點的C 兩特征線的坐標 反復迭代 一直計算到滿足精度為止 上述過程重復進行 從而得到一條新的初值線 再沿著新初值線重復下一輪運算過程 一直可以計算到初值線的AB與K包圍的區(qū)域 A N y x C C F G M B K G H 當已知函數(shù)的初值線 則可以沿著x y平面上M點的特征線的方向 用常微分方程組求解u v兩個曲面的函數(shù)值 而不是沿任意方向用偏微分方程組求解u v兩個曲面 由于在每條特征線上各有自己的相容性方程 而每個相容性方程中又有du dv兩個函數(shù)的微分 所以單個相容性方程無法求解 但任意點p xp yp 上有兩條特征線到達 其上的函數(shù)全微分du du dv dv 雖然沿著不同的特征線發(fā)展 其終值up vp卻是同一個 因此經過P點的兩條特征線上的各一個相容方程可以聯(lián)立求解 總結 A M N A點的依賴區(qū) B B點的影響區(qū) x y y x 初值線 初值線 D 平面二維的依賴區(qū)和影響區(qū) 1 擾動 當流場中的一個區(qū)域 由于物體運動 物面轉折或炸藥爆炸等原因使氣流參數(shù)發(fā)生變化 破壞了原來的平衡狀態(tài)時 即為氣體受到了擾動 2 波 氣體的擾動都是以波的形式向流場各處傳播的 在超聲速流場中 在某處使氣體膨脹或者壓縮的任何擾動都是通過等熵波 連續(xù)波 或激波 間斷波 傳播到流場一定范圍內 2 5二維定常超音速無旋流動的特征線解法 3 弱擾動波 壓縮擾動 p 0 膨脹擾動 p 0 2 5 1弱擾動波的一維傳播 定常問題 非定常問題 參考坐標系 選取與弱擾動波一起運動的坐標系 音速 非定常流動 定常流動 弱擾動波相對于波前氣體的傳播速度為音速 x正方向 控制體 擾動區(qū) 未擾動區(qū) 連續(xù)方程 1 動量方程 2 由 1 和 2 得 證明 弱擾動的傳播過程為等熵過程 由于弱擾動的傳播過程很快 可以認為是絕熱過程 由絕熱可壓流體的能量方程 有 去掉髙階小量 得 根據(jù)由比熱焓表示的熱力學第一定律 得 由 2 式 得 因此 弱擾動的傳播過程是等熵過程 由完全氣體的等熵方程 得到 對T 288K的空氣 流體中的音速是氣體介質狀態(tài)參數(shù)的函數(shù) 在相同的溫度下 不同介質有不同的音速 在同一氣體中 音速隨著氣體溫度升高而升高 并與氣體的熱力學溫度的平方根成比例 音速是弱擾動波相對于波前氣體的傳播速度 音速的特性 馬赫數(shù) 氣體在某點的流速與當?shù)匾羲僦?M1超音速流 弱擾動波傳播的絕對速度 v 0 兩道弱擾動波向上游和下游傳播速度均為c vc 兩道弱擾動波均向下游傳播 馬赫數(shù) 流體力學中表征流體壓縮性影響的相似準數(shù) 為紀念E 馬赫而命名 馬赫數(shù)表示作用于流體微團的慣性力與彈性力之比 在不可壓縮流動中 流體密度不變 聲速為無限大 馬赫數(shù)為零 在可壓縮流動中 馬赫數(shù)越大 流體的密度變化越大 即流體表現(xiàn)出的可壓縮性越大 通常 按不同的馬赫數(shù)范圍 工程上常把流動劃分為低速流動 M 0 3 亞聲速流動 0 3 M 0 8 跨聲速流動 0 8 M 1 2 超聲速流動 1 2 Ma 5 和高超聲速流動 M 5 等 馬赫數(shù)的性質 2 5 2微擾動在空間的傳播特征 擾動源靜止 氣流速度對擾動傳播特性的影響 擾動波波形 擾動中心 ct ct 擾動不能超越擾動源向前傳播 擾動波集中在線的一側 超音速氣流中擾動集中在馬赫錐內 馬赫角 vt 馬赫錐半頂角 馬赫角 當擾動源和氣體間的相對速度不同時 波面的傳播有以下四種情況 1 無相對運動 v 0 擾動源靜止 即擾動源運動速度v 0 波面為一系列的同心球面 球心就是擾動波源所在的位置 一定時間后 將傳播到整個空間 2 擾動源以亞音速 vc 運動 擾動源始終處于其發(fā)出的擾動波陣面之前 傳播范圍為一圓錐形空間 馬赫錐 馬赫錐頂角之半為馬赫角 錐面即為馬赫波 1 二維定常等熵流動基本方程 連續(xù)方程 2 5 3特征線法求解二維定常超音速無旋流動 動量方程 能量方程 等熵狀態(tài)方程 連續(xù)方程中的兩項可化簡為 動量方程 動量方程 兩式相加 以及無旋流條件 整理得 與標準線性偏微分方程進行比較 有 則得 2 特征線方程 當 即 所以特征線方法能用于解超音速條件下的平面二維定常無旋流動 特征線存在 可用特征線方法求解 3 相容方程 4 速度平面上的特征線 超音速定常無旋流動 設速度為V 氣流方向角為 則速度分量為 表示速度和x軸正方向的夾角 則特征線方程為 2020 1 30 77 可編輯 則相容方程為 沿C 特征線 沿C 特征線 3 4變截面等熵管流 2 5 4氣流速度與通道截面的關系 1 基本方程 微分形式的連續(xù)方程 微分形式的動量方程 微分形式的氣體狀態(tài)方程 積分形式的能量方程 2 截面變化造成的影響 由動量方程 得 結合連續(xù)方程 得 截面變化與速度變化的關系 3 三種流動情況 a 亞音速流動 M 1 dv和dA的符號相反 截面積縮小 速度增加 截面積擴大 速度減小 c 等音速流動 M 1 無論何種類型的流動 M 1處的截面積具有極小值 該截面為臨界截面 臨界截面一定是管道的最小截面 但最小截面不一定是臨界截面 b 超音速流動 M 1 dv和dA的符號相同 截面積擴大 速度增加 截面積減小 速度減小 截面積變化對流動參數(shù)的影響 2 5 5超音速氣流遇壁面外折引起膨脹馬赫波 B 是極微小的角度 則O點相當于一個弱擾動源 擾動的傳播范圍是在由O點發(fā)出的馬赫波OL的下游 擾動的影響是使氣流外折 OL與原始氣流夾角是馬赫角 原始氣流到了OL處感受到壁面外折的影響 方向折轉角 沿著OB壁面的方向流動 相當于放寬氣流的通道 dA 0 經過膨脹波以后 氣流參數(shù)的變化趨勢怎么樣 首先 流速V是不斷增大的 即 由微分形式動量方程 由絕能流的能量方程 由狀態(tài)方程 1 d 1 M1 1 L1 3 4 2 L2 L4 L3 在點處 氣流受到O1L1的擾動 氣流折轉角度為 速度變?yōu)?氣流在處受外折微小角度以后 又在和繼續(xù)外折角度和 在點處 氣流受到O1L1的擾動 氣流折轉角度為 速度變?yōu)?由于 在點處 氣流受到O1L1的擾動 氣流折轉角度為 速度變?yōu)?所以 后產生的膨脹波相對于原始氣流的傾斜角都比前一道的小 膨脹波不可能彼此相交 因而形成一個連續(xù)的膨脹區(qū)域 根據(jù)極限的概念 曲線可以看作是無數(shù)條微元折線的極限 因而 超聲速氣流繞外凸曲壁膨脹加速的情況與上面分析完全一樣 只是單個的膨脹波連成連續(xù)的膨脹波了 也稱作 膨脹馬赫波 壁面從連續(xù)外折到點 經過無限多次折轉角后 總折角為 1 2 3 4 5 x y 為壁面和水平方向的夾角 1為馬赫波與壁面的夾角 注意 正負號 M1 M3 M4 M2 M5 左伸膨脹馬赫波 超音速氣流沿連續(xù)下彎壁面的流動 正負號規(guī)定 由x正方向逆時針旋轉為正 順時針旋轉為負 波線方程 外凸的壁面上方 形成膨脹波 即 M1 M2 M3 M4 M5 隨著流線折轉 連續(xù)膨脹馬赫波是發(fā)散的 x y 1 2 3 4 超音速氣流沿連續(xù)上彎壁面的流動 右伸膨脹馬赫波 波線方程 左伸馬赫波 波線方程為 跨波線 特征線 波線方程為 右伸馬赫波 跨波線 特征線 Prandtl Meyer 普朗陀 邁耶 流動 如果壁面彎曲段縮成一個點 氣流流過如圖所示的外凸壁時 可以看作由一系列折轉無限小的外凸壁的流動 氣流每折轉一個角度 就產生一道膨脹波 而氣流每經過一道膨脹波 馬赫數(shù)增大 馬赫角減小 因此 這些膨脹波發(fā)散 如果壁面的幾個折轉點都無限接近于點O1 就形成了普朗特 邁耶流動 普朗陀 邁耶流動的形成 O1 2 6簡單波 1 齊次可約方程組 當上面偏微分方程組中的 稱方程組為齊次方程組 當齊次方程組的系數(shù)都只依賴于u v 則方程組稱為是可約方程組 齊次可約方程組的相容方程為 由于右端各項均與x y無關 只與u v有關 上式可以獨立積分 從而得到方程組的特解 2 簡單波解的一般形式 為了更好地了解簡單波的性質 我們需要求簡單波的一般形式的解 由一維等熵流的基本方程組 對于 基本方程組中的第二個方程自動滿足 第一個方程化為 的簡單波流動 由偏微分方程形式 猜想 因變量可能為兩個自變量某組合形式的函數(shù) 且 發(fā)現(xiàn)方程左邊為 0 猜想正確 表明因變量v可看做X的函數(shù) 則得通解為 是自變量 的任意函數(shù) 由問題的邊界條件決定 或 對于 的簡單波流動 其通解為 或 以上解表明 簡單波就是向一個方向傳播的波 或者說簡單波是單向行波 沿著特征線 前面由特征線方法求解曾得到 C 族特征線 沿著特征線 C 族特征線 由簡單波通解得到 當 跡線與C 族特征線重合 或 C 族特征線是跡線 時 由簡單波通解得到 當 跡線與C 族特征線重合 或 C 族特征線是質點跡線 I 中心簡單波 當邊界條件使得時 得到的解為 或 中心簡單波 為特征線的共同起點 稱為中心點 II 向前 右傳 和向后 左傳 簡單波 由于簡單波時單向行波 按傳播方向分為向前和向后簡單波 若波的傳播速度大于質點速度 則流體質點將從右側進入波動區(qū) 這種簡單波稱為向前 右傳 簡單波 反之 稱為向后 左傳 簡單波 的波是向前 右傳 簡單波 的波是向后 左傳 簡單波 傳播速度為 傳播速度為 III 壓縮波和稀疏波 穿過簡單波后 若流體的密度和壓強增大 稱這波為壓縮簡單波 簡稱壓縮波 若流體的密度和壓強減小 則稱為稀疏波 活塞背離氣體移動 例1 設一無限長管道的左半段充滿高壓氣體 右半段是真空 兩段間用一薄膜相隔 高壓氣體是完全氣體 初始狀態(tài)為 求拆除薄膜后氣體的運動 0 解 將氣體與真空的交界面初始位置取為坐標原點x 0 當t 0時拆除薄膜的一瞬間 氣體界面將被加速到某一個速度向右運動 同時 向高壓氣體內傳入一個向后稀疏波 則波的傳播跡線方程與族特征線重合 其方程為 結合初始條件 上式積分為 沿特征線 滿足 1 2 3 聯(lián)立兩式 得波內的流場分布 界面氣體質點的飛散速度 4 5 界面與真空相毗鄰的是一個自由面 該自由面上滿足 由 得 將上式代入 中 得界面的飛散速度為 6 7 例2 稀疏波的解 由充滿氣體的管道中抽離活塞產生的管內氣體運動 是稀疏波的一個典型例子 t 0時刻向左抽動活塞 活塞速度為w t at 設活塞運動到A點處時 速度達到uA時 活塞不再加速 而是以常速uA繼續(xù)向左運動 分析 圖中 0 區(qū)域是尚未受擾動的常態(tài)區(qū) 區(qū)域 I 是簡單波區(qū) 在活塞軌跡上A點之后活塞速度為常數(shù) 該段的特征線是一族平行線 出現(xiàn)對應的一個區(qū)域 II 它與區(qū)域 I 的分界線是發(fā)自A點的一條特征線 1 區(qū)域 I 內的解 對完全氣體 沿著x軸 1 根據(jù)什么 根據(jù)什么 有 如何求 思考 2 聯(lián)立 邊界條件 根據(jù)活塞的邊界條件確定任意函數(shù) 活塞的軌跡為 在氣體邊界上滿足 緊靠活塞的氣體其位置和速度與活塞相同 即 3 4 將邊界條件以及代入 2 式 5 的函數(shù)形式 將 代入 2 式 得 經整理 得 6 7 1 由于在波頭x c0t上氣體的速度應v 0 所以取了根號前為 號的根 2 區(qū)域I中的坐標x c0t 因此v 0 即波內氣體都隨活塞向同一方向運動 求解關于的二次代數(shù)方程 解得 8 區(qū)域 I 中的C 族特征線是一族直線 其方程為 對上式求積分 積分的起點在活塞上 9 10 由初始條件 代入 11 式 于是得到對應于初始時刻的的方程為 11 當活塞在到達A點 速度達到 注 指右活塞開始加速運動時為起點發(fā)出的第一條特征線 指右活塞開始勻速運動時發(fā)出的一條特征線 是II區(qū)和I區(qū)的交界線 2 區(qū)域 II 內的解 區(qū)域II中的族特征線來自區(qū)域0 故整個區(qū)域II內有 12 上式在活塞軌跡線上也成立 II區(qū)活塞軌跡線上有 則得活塞軌跡線上氣流聲速為 13 則沿活塞軌跡線上的黎曼不變量為 則整個區(qū)域II中的黎曼不變量相等 則聯(lián)立兩式可得 14 15 從而解出區(qū)域II中的解 16 為活塞勻速運動的速度 17 區(qū)域II的族特征線即為區(qū)域I中的特征線的平行線 3 逃逸速度 活塞跡線 氣體微團跡線 亞音速流動區(qū) 超音速流動區(qū) 當活塞由靜止連續(xù)地向左加速 產生一族向右稀疏波 跨過右傳波 滿足 在活塞和氣體不分離的條件下 與活塞毗鄰的氣體速度等于活塞運動速度 與活塞毗鄰的氣體音速 18 19 隨著活塞向左的速度增加 音速增大還是減小 族特征線 波線 方程為 當 即從活塞上會產生一道平行于t軸的駐波 20 21 在駐波上當?shù)貧饬魉俣?絕對值 等于當?shù)匾羲?記做 駐波將簡單稀疏波區(qū)分成兩個區(qū)域 亞音速流動區(qū)和超音速流動區(qū) 繼續(xù)增大活塞速度 22 使音速降到零值 對應的活塞速度為 與之毗鄰的氣體速度為 23 逃逸速度是氣體通過稀疏波膨脹所能達到的最大極限速度 之后即使繼續(xù)加大活塞速度 氣體不可能繼續(xù)加速 因為氣體與活塞從此分離 它們之間形成真空 實際上逃逸速度不可能達到 例3 無限長管道內高壓氣體推動剛體運動的解 設在截面積為A管道內x 0截面處有一剛體 其質量為M0 剛體右側是真空 左側充滿高壓氣體 其初始狀態(tài)為 剛體在高壓氣體的推動下在時開始向右運動 求剛體松開后的運動軌跡 解 剛體松開后 在高壓氣體的作用下向右運動 從而有一左傳稀疏波 使得剛體上的壓力隨時間發(fā)生變