巖石物理學(xué) 講義.pdf

1 巖石物理學(xué) 講義 賀振華編 成都理工大學(xué) 2009 年 2 目錄 1 1 1 1 巖石物理學(xué)概論巖石物理學(xué)概論 4 4 學(xué)時學(xué)時 1 1 巖石物理學(xué)的內(nèi)容與特點 1 2 巖石物理學(xué)的研究方法 2 2 巖石與巖石的變形巖石與巖石的變形 6 6 學(xué)時學(xué)時 2 1 地球上的巖石和礦物 2 2 應(yīng)力與應(yīng)變 2 3 巖石的本構(gòu)關(guān)系 2 4 巖石物理實驗 3 3 巖石中波的傳播與衰減巖石中波的傳播與衰減 10 10 學(xué)時學(xué)時 3 1 巖石中的波 3 2 巖石中波速的測量與應(yīng)用 3 3 巖石中波的衰減 3 4巖石模型 4 4 巖石的彈性巖石的彈性 12 12 學(xué)時學(xué)時 4 1 二相體的彈性 4 2 流體靜壓力下巖石裂紋對彈性的影響 4 3 流體靜壓力下巖石孔洞對彈性的影響 4 4 巖石中孔隙流體對彈性的影響 4 5 彈性波在雙相體巖石中的傳播 5 5 巖石的輸運特性巖石的輸運特性 2 2 學(xué)時學(xué)時 5 1 達西 Darcy 定律和巖石的滲透率 5 2 滲透率的測量 5 3 巖石的輸運模型 6 6 巖石物理應(yīng)用巖石物理應(yīng)用 4 4 學(xué)時學(xué)時 6 1 Biot Gassmann 方程與流體替換 6 2 裂縫儲層巖石物理 復(fù)習與考試 2 2 學(xué)時學(xué)時 3 1巖石物理學(xué)概巖石物理學(xué)概論論 1 1巖石物理的內(nèi)容與特點 巖石物理學(xué)是以研究巖石物理性質(zhì)的相互關(guān)系及應(yīng)用為主的學(xué)科 重點研 究 在地球內(nèi)部特殊環(huán)境下巖石的行為及其物理性質(zhì) 研究那些與地球內(nèi)部構(gòu)造運動 能源和資源勘察與開發(fā) 地質(zhì)災(zāi)害的成因與 減災(zāi) 環(huán)境保護與監(jiān)測等密切相關(guān)的問題 對油氣勘探 資源 環(huán)境等問題 R E Sheriff 對巖石物理學(xué)的定義為 1 巖石物理學(xué)研究巖石物理性質(zhì)之間的相互關(guān)系 具體地說 研究孔隙度 滲透率等是如何同地震波速度 電阻率 溫度等參數(shù)相關(guān)聯(lián)的 巖石物理學(xué)與地質(zhì)學(xué) 地球物理學(xué) 地球化學(xué) 力學(xué) 流體力學(xué) 材料力 學(xué) 地熱學(xué) 環(huán)境科學(xué) 工程學(xué)等眾多學(xué)科密切相關(guān) 是一個高度的交叉 邊 緣學(xué)科 基礎(chǔ)性 應(yīng)用性都很強 一般情況下 人們把巖石物理學(xué)歸屬于地學(xué) 學(xué)科 對油氣資源的勘探開發(fā)而言 巖石物理是聯(lián)系地質(zhì) 地球物理 石油工 程三個學(xué)科領(lǐng)域的共同基礎(chǔ)和橋梁 見圖 1 1 石油工程石油工程石油工程石油工程地球物理地球物理地球物理地球物理 地質(zhì)結(jié)構(gòu)地質(zhì)結(jié)構(gòu)地質(zhì)結(jié)構(gòu)地質(zhì)結(jié)構(gòu) 巖石物理巖石物理巖石物理巖石物理 4 圖 1 1巖石物理是地質(zhì) 地球物理 石油工程的共同基礎(chǔ)和橋梁 1 2巖石物理學(xué)的研究方法 1 2 1研究巖石的多尺度性研究巖石的多尺度性研究巖石的多尺度性研究巖石的多尺度性 巖石是不同礦物 膠結(jié)物和孔隙及孔隙物質(zhì)組成的復(fù)合體 研究巖石的尺度可分為 1 礦物顆粒 grain 尺度 或微觀尺度 micro scale 與礦物顆粒大 小有關(guān) 一般為 10 7 10 1m 2 巖石尺度 又叫宏觀尺度 macro scale 10 1 10 2m 3 巖體尺度 mega scale 包括巖體的節(jié)理 層面 100 103m 4 地質(zhì)尺度 giga scale 是礦物 巖石 巖體 構(gòu)造運動的總體尺度 101 104m 也可把 1 稱為微觀尺度 把 2 稱為中觀和細觀尺度 把 3 4 稱為 宏觀尺度 巖石物理性質(zhì)隨研究的尺度不同而不同 例如用巖石尺度看礦物 礦物性 質(zhì)是均勻的 用礦物尺度看礦物 礦物是非均勻的 當?shù)卣鸩ㄩL 小小于研究 對象的大小d時 即 d d是不均勻的 要用射線理論研究 此時可應(yīng)用 Shell 定理和 Fermat 原理 d 要用繞射 散射原理 d時 d是均勻的 1 2 2巖石物理的實驗方法 實驗是巖石物理的基本研究方法 主要步驟為 采樣 制樣 測試 分析 結(jié)論與認識 主要物理性質(zhì)和測量方法列表如下 物理方法巖石物理性質(zhì) 磁法磁化率 磁導(dǎo)率 重力密度 電法電阻 導(dǎo) 率 介電常數(shù) 地震波速 衰減 各向異性 地熱熱導(dǎo)率 比熱 熱擴散系數(shù) 5 核法放射性 成都理工大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室 地質(zhì)災(zāi)害防治 與工程地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室 以及其他部門的實驗室均有相應(yīng)的條件 和實驗設(shè)備 如 MTS 巖石物性測試系統(tǒng) ARS 300TM巖石電阻率測試系統(tǒng) 巖 石聲發(fā)射測試系統(tǒng) 放射性測量等設(shè)備 1 2 31 2 31 2 31 2 3巖石物理實驗要注意的問題巖石物理實驗要注意的問題巖石物理實驗要注意的問題巖石物理實驗要注意的問題 1 微觀特性的宏觀應(yīng)用問題 主要考慮微觀實驗得到的結(jié)論如何推廣到宏觀條件下去應(yīng)用 由于受樣品大小 測試環(huán)境和條件等的限制 在實驗室測得的巖石樣品的 微觀特性如果不顧條件和環(huán)境 將其推廣到實際的宏觀問題中去應(yīng)用 可能要 出現(xiàn)較大誤差 應(yīng)建立適當?shù)哪M理論和方法 使得物理模型 或巖樣 測試 數(shù)值模擬和實際的地質(zhì)模型在遵守一定的條件和規(guī)則情況下相互統(tǒng)一 2 地下原位條件和環(huán)境的模擬 地下的巖石常常處于較高的溫度和較高的壓力條件下 我們稱其為原位條 件 原位地層條件下的巖石物性與常溫常壓下有很大的差別 測試方法與測試 結(jié)果的分析必須注意這些差異 3 建立定比觀測的理論與方法 實驗室中的小尺度模型和巖樣如何與地下實際的大尺度研究目標相匹配是 巖石物理的一個關(guān)鍵問題 現(xiàn)以超聲波模型實驗為例進行說明 超聲波物理模型實驗是用頻率較高的超聲波測試尺度比較小的巖樣和模 型 研究較大尺度實際巖石介質(zhì)的低頻地震波特性 設(shè)實驗所用的頻率為 u f 巖樣或模型的尺寸大小為 u L 波速為 u V 實際地震勘探所用頻率為 r f 觀測目 標大小為 r L 波速為 r V 則存在關(guān)系式 fLV RRR g 1 1 式中 1 uuu LurVf rtrr Vf RLL RR VRf 1 2 上式 1 1 和 1 2 為定比測量的基本公式 公式的應(yīng)用前提是 不同頻率 的波 超聲波和地震波等 均遵循相同的波動方程式 取三維聲波方程 6 2222 22222 1PPPP xyzVt 1 3 式中 波場 PP x y z tP L t z y x vv LL x y z 為向量 則 1 3 變?yōu)?22 222 1 P L tP L t LVt 1 4 通過傅氏變換將上式變換到頻率波數(shù)域 則有 2 2 2 LLL i iKP KP K V 1 5 式中 1 L K L 1 22f T 整理后得 2 2 2 L K V 1 6 在實際和模型介質(zhì)中 波遵循相同的波動方程式 得 2 2 2 r Lr r K V 1 7 2 2 u Lu u K V 2 1 8 取 1 7 1 8 得 LrLururuur KKVVLL 1 9 考慮公式 1 2 且tT 為波的主周期 則有 1 tvL R RR g 或 fLV RRR g 1 式得證 因為巖石樣品的波速度與實際波速不會有很大差異 設(shè) 1 V R 則有 1 fL RR g 1 10 即 ruur ffLL 在一維情況下 取25Hz r f 1MHz u f 0 1m u L 則4000m r L 若令1 m u L 其它情況相同 則0 04m r L 其它依此類推 7 2巖石與巖石的變形巖石與巖石的變形 2 1地球上的巖石和礦物 學(xué)生自學(xué)為主 礦物 天然生成的無機成分的均勻固體 homogeneity 均勻 各向同性Isotropy heterogeneity 非均勻 各向異性anisotropy 礦物是均勻的 但可以是各向異性的 位置 強調(diào)方向 礦物顆粒的大小相差懸殊 grain m cm 尺度的都有 地球礦物元素有 3300 多種 常見的有 20 多種 O Si Al Fe Ca 等元素最多 巖石 由一種以上造巖礦物按一定方式結(jié)合而成的礦物的天然集合體 巖石是多孔的 Pore Porosity Pore shape permeability Texture Compaction Cementation 膠結(jié) bulk density 成巖過程 火成的 igneous process 沉積的 sedimentary process 變質(zhì)的 metamorphic 三大巖類 火成巖侵入巖 intrusive rocks 噴發(fā)巖 extrusive rocks 占地殼總體積的 95 是良好的建筑裝飾材料 沉積巖 沉積作用形成的 在地表分布最廣 覆蓋了大陸面積的 75 主要類別 8 砂巖 sandstone 占沉積巖總量的25 顆粒 grain 大小范圍 1 16mm 2mm 經(jīng)濟性 油 氣 水的儲集體 建筑材料 頁巖或泥巖 shale 占沉積巖 總量的 50 礦物顆粒大小范圍 1 16mm 是油 氣 水的蓋層 遮檔層 建 筑材料 碳酸鹽巖 limestone 占沉積總量的 20 世界油氣探明儲量的 50 以上 在碳酸鹽巖儲層中 礦物成分以方解石 白云石為主 grain 小 其中的裂隙很 重要 是油氣賦存和運移通道 溶蝕白云巖孔隙比較發(fā)育 一般為良好儲層 變質(zhì)巖高溫 高壓環(huán)境下可形成變質(zhì)巖 火成巖 沉積巖都可形成變質(zhì) 巖 有重結(jié)晶作用 結(jié)構(gòu)更復(fù)雜 不利于找油氣 但可以是油氣水的儲集體 是優(yōu)質(zhì)建筑與裝飾材料 如大理石等 成巖旋回 rock cycle 圖 2 1 成巖旋回示意圖 變質(zhì)巖火成巖 沉積巖 沉積物 巖 漿 進入地幔 溶化 冷凝 結(jié)晶 固化 風化 剝蝕 搬運 高溫高壓 變質(zhì) 膠結(jié) 壓實 風化搬運 風化 搬運 高溫 高壓 9 2 2巖石的變形 應(yīng)力和應(yīng)變 Stress and strain F s 注意 應(yīng)力不是力 是單位面積上的力 協(xié)強 應(yīng)力單位 應(yīng)變 包括體積形變和形狀形變 有線應(yīng)變 體應(yīng)變 角形變等名詞 應(yīng)變率 d dt 2 3巖石的本構(gòu)關(guān)系 描述巖石應(yīng)變 或應(yīng)變率 同應(yīng)力 溫度T 時間t等因素 變量 的 函數(shù)關(guān)系稱為巖石的本構(gòu)關(guān)系 fT t L 在彈性力學(xué)中 本構(gòu)關(guān)系描述了彈性體的應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系 比較單 一 而在巖石力學(xué)中 自然界的巖石 處于較大的溫度 壓力條件下 而且受 力變形的時間很長 地質(zhì)年代 這是其特殊性 與一般的彈性體不同 但對人 工地震而言 地震波作用時間很短 彈性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系仍然適用 典型的單向應(yīng)力下的應(yīng)力 壓應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系曲線 22 21 23 12 32 11x 31 13 31 y z 10 OA 段 隨壓應(yīng)力 增加 應(yīng)變 增加的速度趨緩 好像巖石變硬了 又稱 OA 段 為 作功硬化 階段 原因 巖石中的裂隙在壓應(yīng)力作用下 逐漸閉合 AB 段 彈性階段 和 呈線性關(guān)系 BC 段 出現(xiàn)巖石的膨脹 dilatancy 隨 增加 增加似乎巖石變軟了 稱為 作 功軟化 階段 原因 垂向裂縫產(chǎn)生 并增加 有一種各向異性介質(zhì)稱為 EDA 介質(zhì) Extensive dilatancy anisotropy 它表示裂縫的垂直定向排列 擴容性裂縫 各向異性 O A B C D E A O O 11 C 點形變達到極大值 臨界破裂狀態(tài) CD 段 巖石發(fā)生強烈破壞 應(yīng)力能量大量釋放 斷裂 巖體失 穩(wěn) 地震產(chǎn)生等 破碎后形變局部化 很難測量評價 CD 段的變化關(guān) 系 DE 段 破裂已經(jīng)完成 形變表現(xiàn)為巖石 體 沿斷面或破裂而滑動 2 4巖石裂隙的多尺度性及定比觀測 12 3巖石中波的傳播和衰減 3 1巖石中的波 3 1 1波的類型多 復(fù)雜 目前應(yīng)用較多的有縱波 橫波和轉(zhuǎn)換波 縱波又稱 P 波 其質(zhì)點運動方向與波傳播方向一致 以疏 密帶形式傳播 如下圖 傳播方向 橫波又稱剪切波或 S 波 其傳播方向與質(zhì)點運動方向垂直 與傳播方向垂 直的質(zhì)點又有兩個運動方向 一沿垂直剖面運動 稱 SV 波 另一與垂直平面 垂直 稱 SH 波 在均勻各向同性介質(zhì)中 傳播速度 ps VV與彈性參數(shù) 的關(guān)系如下 2 P V 3 1 S V 3 2 式中 為巖石密度 若泊松比 為 0 25 此時 于是 3 PS VV 3 3 傳播方向 13 3 1 2當波垂直入射到分界面時 反射系數(shù)反射系數(shù)反射系數(shù)反射系數(shù) R R R R 為 221 1 1 122 VV R VV 或 1 122 1 122 VV R VV 3 4 透射系數(shù)透射系數(shù)為 1 1 1 122 2V T VV 3 5 顯然1TR 或 1 TR 3 6 3 1 3波動方程 波傳播過程中所遵循的方程類型很多 有弦和桿的方程 聲學(xué)方程 彈性 方程 粘彈性方程 還分一維 二維和三維方程 這些方程都和一定的物理模 型有關(guān) 注意簡化條件 應(yīng)用條件 3 2巖石中波速的測量與應(yīng)用 3 2 1波速的測量 國際巖石力學(xué)協(xié)會 ISRM 推薦的波速測量方法 Interation Society for Rock Mechanics 1978 圖 3 1ISRM 推薦的波速測量系統(tǒng) 脈沖發(fā)生器時標發(fā)生器 巖樣前置放大器 示波器 或 記錄 系統(tǒng) 電子計數(shù)器 延 時 器 發(fā)射探頭接收探頭 14 2 成都理工大學(xué)巖石物性測試系統(tǒng) MTS Mechanic Test System 的巖石 波速測量方法 特點 a 測試原理與 ISRM 推薦的方法基本一致 b 功能更強 可同時測 P 波 S1波 S2波的波速 c 處理方法能力較強 除放大器之外 還有 Butterworth 帶通濾波 有振幅增益控制 記錄顯示也比較先進 數(shù)字與模擬均有 可形成電子文檔 波的速度直接 自動計算出來 d 可在高溫高壓下直接測試 有的發(fā) 收換能器 transduser 不 能承受較高的溫壓 3 地震 測井等使用了很多波速測量與分析方法 圖 3 2 成都理工大學(xué)巖石物性測試系統(tǒng) MTS 照片 15 圖 3 3 成都理工大學(xué)巖石物性測試系統(tǒng) MTS 線路圖 和巖樣與探頭 上 圖 3 4 成都理工大學(xué)巖石物性測試系統(tǒng) MTS 的測試記錄 下 16 3 2 2波速分析與應(yīng)用波速分析與應(yīng)用波速分析與應(yīng)用波速分析與應(yīng)用 一 波速分析的主要內(nèi)容 1 波速 P V S V和密度 是巖石總體 或平均 彈性性質(zhì)的反映 已知 P V S V和 可求出 拉梅常數(shù) K 體積模型量 泊松比 E 楊氏模量 壓縮系數(shù) 等彈性參數(shù)見表 3 1 表 3 1 彈性參數(shù)換算表 KE 2 p 2 s 2 3 32 2 2 9 3 K K K 3K 3 2 K 9 3 K K 2 3 K 32 2 3 K K 4 3 K 3 3 E E 2 3 E E 1 2 E 4 3 E E 3 3 9 KE K KE 3 6 KE K 3 3 9 KE K KE 3 9 KE KE 1 3 1 12 1 12 2 2 1 3 12 2 1 2 12 22 12 3 12 K 3 1 K 1 3 1 K 12 3 22 K 3 12 E 1 12 E 1 1 12 E 22 E 22 4 3 ps 22 2 2 2 9 31 sR R 22 2 ps 見注釋 的 表達式 注注 222 312 222 123 2 31 232 2 13131 RRR RRR 表中 K 體積模量 E 楊氏模量 剪切模量 壓縮系數(shù)1K 拉梅常數(shù) 泊松比 密度 1PS R 22 2 S RK 22 3 P RK 17 2 利用所測得的巖石總體彈性參數(shù) 反演或反推巖石的微觀特性 礦物 成分 孔隙度 滲透率 流體飽和度 裂縫 裂紋 孔隙充填物性質(zhì) 和巖石 所處的熱力學(xué)狀態(tài) 溫度 壓力 異常壓力 異常溫度 這種分析很重要 是巖石物理研究的核心內(nèi)容 但是難度大 是目前的前 沿性研究課題 3 尋求合理的科學(xué)的研究方法 由巖石總體性質(zhì)反演巖石的微觀結(jié)構(gòu)與所處溫壓條件 與反演的一般性問 題一樣 存在著解的適定性問題適定性問題 即解是否存在 是否唯一 是否穩(wěn)定 為此 需要有合理的方法 a 利用大量觀測數(shù)據(jù) 建立巖石波速與組合巖石的礦物成分 孔隙 裂 隙及充填物性質(zhì)的統(tǒng)計關(guān)系和經(jīng)驗方程 b 建立巖石波速與溫度 壓力 含埋藏深度 的統(tǒng)計關(guān)系 c 利用多種彈性參數(shù) PSPS VVVV 或泊松比 波阻抗等 進行反演 d 利用多種屬性 P V S V 波的振幅 頻率 吸收衰減 相位 極性 多元信息 地質(zhì) 鉆井 測井 開發(fā)動態(tài)數(shù)據(jù)等 進行綜合解釋與反演 含標 定與聯(lián)合反演 以及正 反演結(jié)合等方法 e 增加測量結(jié)果的精度和可靠性 去噪 提高分辯率等 這類方法很多 可在教科書 P46 P54 陳颙 黃庭芳 2001 和許多參考文獻中查找 二 波速的主要應(yīng)用 波速測量的主要應(yīng)用領(lǐng)域包括 1 大陸動力學(xué)與地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)與變動 2 地震孕育與地震預(yù)報 預(yù)測 3 工程與環(huán)境問題 巖石強度 穩(wěn)定性分析 流體污染與流動 4 資源勘查 油氣 水資源 固體礦產(chǎn)等 3 2 3波速分析的有關(guān)理論與經(jīng)驗公式 1 波速和密度的關(guān)系 密度 的測量相對容易 有了經(jīng)驗關(guān)系式 可 由密度推波速 反之亦然 a Gardner 公式 1974 主要適用于沉積巖中的碎屑巖 V 其中0 25 0 310 單位 v m s g cm 3 3 7 18 b Birch 公式 1961 適用于火成巖 變質(zhì)巖 2 760 98 P V 3 8 后來Volarovich和Gebrande還進一步給出了在不同壓力情況下 P V 關(guān)系 式和 P V S V 關(guān)系式 見教材書 P48 陳颙 黃庭芳 2001 c simmons 1964 公式 總結(jié)波速和巖石組分的關(guān)系式 1 m Aii i Vabc me c gg 3 9 式中 i c是第i種礦物的重量百分比 A m是巖石組分的平均原子量 i a b c e是 通過試驗得到的常數(shù) 2 Han 的公式 描述波速與砂巖孔隙度 和粘土礦物含量的關(guān)系 012 VAAA c 3 10 其中 012 AA A為常數(shù) 為孔隙度 c為粘土含量 或AtB g t 為聲波時差 A B為常數(shù) 3 波速與孔隙度和裂縫 fissure 的關(guān)系 a Wyllie 公式 1956 時間平均方程 1 11 Pmf VVV 3 11 為孔隙度 有時也用 表示 m V為巖石骨架部分的P波波速 1f V為巖 石孔隙流體的P波速度 b 與 Wyllie 公式相近的有 1980 Raymer 提出的公式 2 1 1 Pmf VVV 3 12 c 巖石的破裂指標 Foumaintraux 1976 年 提出的 很有實際意義 這一問題的研究比較前 沿 他設(shè)巖石的無破裂指標無破裂指標為 IQ 又設(shè)巖石僅由不同礦物組成 不含裂紋不含裂紋 則巖石的縱波速度V 是各礦物波 速 i V及其體積百分比 i c的加權(quán)平均 1 1 n i i i c VV 3 13 19 設(shè)實測的波速為V 則 IQ 為 100 IQV V 3 14 假定巖石中有球形孔隙 設(shè)其孔隙率為 P 則其 IQ 的計算為 100 1 6 P IQ 3 15 例如10 P 則84 IQ 若30 P 則52 IQ 這時認為巖 石的裂縫體積很小 但它與巖石孔隙度有密切關(guān)系 且裂縫愈多 巖體的強度 就愈低 按實測 IQ 和 P 可繪圖 如下圖所示 據(jù)此可將巖石分為五類 503015100 100 80 75 50 20 IQ 圖 3 5巖石的 IQ 分類 沒有裂縫 少量裂縫 中等量裂縫 很多裂縫 到處是裂縫 d Hudsou 圍體 包體的速度和孔縫關(guān)系式 POSOOpfsff VfVVVV 3 16 式中V可為 P V或 S V f為函數(shù)關(guān)系符號 為地震測線與裂縫方位的夾角 為波的入射角 PO V SO V O 為巖石基質(zhì)或圍體的縱 橫波波速和密度 pf V sf V f 為裂縫充填物的縱橫波速度和密度 為裂縫密度 此式較為復(fù)雜 見 2003 No 2 勘探地球物理進展 賀振華 文曉濤等人 的文章 4 波速與溫度和壓力的關(guān)系 20 波速隨溫度和壓力的變化關(guān)系一般說來是非線性 在定溫情況下 隨壓力 增大波速增高 而定壓情況下 隨溫度升高 波速降低 如下圖所示 土 在地層條件下 波速隨深度的增加比較復(fù)雜 是壓力和溫度綜合影響的結(jié) 果 TP dVVPVT dzPzTz 3 17 其形態(tài)如上圖所示 對沉積巖而言 P Vz 的關(guān)系也是非線性的 1957 年 Faust 總結(jié)了 500 塊砂 巖和頁巖的實驗資料 提出了如下的經(jīng)驗公式 1 6 P VL A z gg 3 18 式中L為巖石參數(shù) A是巖石形成的地質(zhì)年齡 一般情況下L 46 6 P V以 m s 為單位 PS VV也是一個有用的參數(shù) 3 3巖石中波的衰減 研究衰減的重要性 a 衰減隨巖石物性參數(shù)的變化而變化的程度比波速的相應(yīng)變化要靈敏得 600M 100M花 崗 600M600M 650 600 550 500 450 0 Vp m T C 圖3 7花崗巖中縱波速度VP隨溫 度的變化 Kern 1990 圖 3 6 火成巖波速隨壓力變化情 況 simmons 1965 Vp Vs P 10 2 MP 高壓 低壓 21 多 包括振幅 頻率 吸收等特性 均比波速 時差的變化要敏感 b 衰減直接反映巖石的微觀特性 而波速直接反映巖石的宏觀 總體的 平均的 特性 間接反映微觀特性 而我們感興趣的 或有意義的 正是巖石 的微觀特性 孔隙度 滲透率 流體飽和度 裂縫分布 充填物等 c 衰減跟滲透率有密切的關(guān)系 這是當前正在研究的前沿課題 3 3 1衰減系數(shù) 和品質(zhì)因子Q 1 波在巖石中傳播的衰減機理 巖石一般為多相介質(zhì) 固體 液體 氣體 波在流體中傳播因摩擦 粘滯 性 熱傳導(dǎo) 要損耗能量 固體質(zhì)點運動也要損耗能量 統(tǒng)稱內(nèi)摩擦或內(nèi)耗 內(nèi)摩擦與應(yīng)力循環(huán)有關(guān) 比如縱橫波有周期性 應(yīng)力變化也有周期性 在縱波 的疏密帶中 密帶為壓應(yīng)力 則疏帶就表現(xiàn)為張應(yīng)力 如果單 元體積內(nèi)含有流體 且有縫隙與外界溝通 則會發(fā)生流體在壓應(yīng)力和張應(yīng)力的 交替作用下 出現(xiàn)流體向單元外排出和向單元體內(nèi)流進的現(xiàn)象 顯然要消耗 損失能量 2 波的衰減有周期性 設(shè)w 為一個周期內(nèi)損耗的能量 w為該周期內(nèi)巖石應(yīng)變達到極大時所貯 存的能量 則 w w 定義為巖石能量的 損耗比 w w 可通過較緩慢的加載 和卸載實驗測得 3 損耗比反映了巖石的非彈性性質(zhì) 設(shè) 為吸收系數(shù) Q為品質(zhì)因子 則有如下關(guān)系式 圖 3 8由循環(huán)加載實驗確定巖石的內(nèi)摩擦 w w 位移u W W F 加載 卸載 22 24 2 2 42 wV wQ w Q wV w VwVQ 3 19 式中V為波速 為圓頻率 2f 4 強迫振動與Q值 在外力作用下 強迫振動F 可將單元體積內(nèi)的巖石視為一個彈性系統(tǒng) 系統(tǒng)的質(zhì)點發(fā)生運動 并產(chǎn)生位移 會出現(xiàn)三種力 慣性力 2 2 m d u fmamum dt 牛頓第二定律 粘滯摩擦力 du fVu dt 彈性內(nèi)力 e fEu E為楊氏模量 系統(tǒng)的運動平衡方程式為 2 2 d udu FmEu dtdt 3 20 對 3 20 的 F tu t做付氏變換 得 2 FEumuiu FE miu zu 3 21 z為復(fù)阻抗 22 E zm 222 E zm 3 22 令 0 i ti t FF euAe 可得 0 AFz 3 23 23 當z 達到最小時 A 為最大 令 0 z 得 2 222 0 2 2 r E mm 為衰減系數(shù) 3 24 而 A 的極大值為 00 max 0 rr FF A z BB 3 25 式中 0 E m 且略去了 2 2 4m 通過機電類比 mL 感抗 R 電阻 1 E c 容抗 則 2 0 1 LC 為固有振動頻率 見有關(guān)的電路分析 電路分析基礎(chǔ)上冊 李瀚蓀編 人民教 育出版社 1980 P316 令 21 則 1 r Q 3 26 5 衰減系數(shù) 內(nèi)摩擦的另一種體現(xiàn)是彈性波的衰減 從零點為 0 A的波 傳播x距離后 其振幅 0 x A xA e 3 27 式中 為衰減系數(shù) 顯然 0 1 1 ln A xdA x xAA xdx 3 28 另設(shè)有厚度為x 的一塊介質(zhì) 其垂直于波傳播方向的截面積為S 介質(zhì)中 的能量密度為 2 式中 為S面上的平均應(yīng)力 為應(yīng)變 2 為單位面上的能量密度 能 量流V g 考慮到E E為楊氏模量 則 E 且V 2 EV 于是有 24 能量流 2 2VV g 設(shè)單位時間內(nèi)流 該塊材料的能量為 22 0 2 xx x A e V 流出的能量為 22 0 2 xx xx A e V 則在周期t內(nèi)的能量變化w 為 2 2 0 2 xxx xxx x wt f Ax e V 3 29 上面近似式的獲得過程中 運用了近似式1e 貯存在該塊材料的總能量w 為能量密度乘x 22 0 2 2 x A e wxx V 3 30 422wVV wQf 3 31 122 22 VVV QffVQ 的單位為奈培 米或Np m 也可用分貝表示 0 20 dB m log A x xA 且 dB m 8 686 Np m Np m 0 115 dB m 在平面波的描述中常設(shè) 0 i kxt A x tA e 若設(shè)波在傳播過程中有衰減 則常令K為復(fù)數(shù) 即 r KKi 式中 為 衰減系數(shù) 則上式變?yōu)?25 0 0 2 r r i K xtx i K xt A x tA ee A ee VQ 3 32 在考慮波的吸收衰減的正演模擬中 常用此式 3 3 2衰減與巖石結(jié)構(gòu)及環(huán)境條件的關(guān)系 1 衰減與頻率的關(guān)系 在 3 32 式中我們假定波數(shù) r KKi 可否再假設(shè) r i 或者 再假定相速度 r VVir K 如果是這樣 則 均是不同意義的衰減常數(shù) 則 3 32 式可重 寫為 0 rr i K xtxt A x tA eee 3 33 3 33 式說明波隨距離x和時間t的增大都是要衰減的 這與實際情況是 相符的 與速度的色散也是相符的 一般情況下 認為波的衰減 或 與 頻率成正比 即低頻波傳得遠 時間長 高頻波傳不遠 時間短 衰減與頻率的關(guān)系有兩種 2 ff 3 34 后者適用于較疏松的巖石或土壤 但也有矛盾的地方 實驗實測Q值與頻率無關(guān) 而Q與 是成反比的 于 是得出 與頻率也無關(guān)的推論 這可能與Q的定義有關(guān) 因為Q值的測定是在一個周期內(nèi)波的衰減 本身 就與頻率和周期無關(guān) 而 是波的動態(tài)傳播特征 故與頻率有關(guān) Q代表材料 和介質(zhì)的性質(zhì) 代表波的傳播特征 一個靜態(tài) Q 一個是動態(tài) 這就是 和Q的不同之處 2 衰減和礦物成分 孔 洞 縫的關(guān)系 波在巖石中的衰減比在礦物中的衰減大 因為巖石 巖體 中有孔 洞 縫的結(jié)構(gòu)面 大量的實驗證明 孔隙 裂隙 孔洞對波衰減很大 由于不同巖 26 類的致密程度不同 對波的衰減也不同 巖石越致密Q值愈大 衰減系數(shù)小 巖石愈疏松 Q值愈小 愈大 方解石 礦物 的Q 1900 而石灰?guī)r 巖石 的Q 200 相差近 10 倍 不同巖石的 值最大可相差 107倍 如下表所示 表 3 2 在 50 100Hz 情況下 不同種類巖石衰減性 的變化范圍 巖石隨孔隙度 裂縫 溶洞的增加而衰減的研究很重要 公布的材料 成 果比較多 在此不一一列舉 3 衰減與溫度 壓力的關(guān)系 隨溫度升高 衰減加大 隨壓力升高 衰減減小 壓力的影響大于溫度的影響 4 衰減的測量 衰減的測量比較復(fù)雜 困難 因為衰減與巖石本身的性質(zhì)有關(guān) 還與傳播 距離 球面擴散等因素有關(guān) 要得到與巖石性質(zhì)有關(guān)的衰減值 或品質(zhì)因子 比較實用的是 譜比法 現(xiàn)在重點介紹該方法的測試原理 設(shè)平面波的振幅譜為 2 f xift kx A fG x ee 3 35 式中f為頻率 x為巖石樣品的長度 G x為幾何擴散因子 含球面擴散 無 真正意義的平面波 反射和散射等 f 為與頻率成正比的吸收系數(shù) 設(shè) rf 其中r為常數(shù) 由 3 19 得Q V 式中V為波速 為消除 G x的影響 要選擇一個在幾何形狀 長度等方面與待測樣品一樣 的參考樣 測量超聲波分別穿透測樣和參考樣 標樣 的振幅譜 得參考樣和 測樣的振幅譜為 1 10 5 10 2 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 巖石種類 火成巖和變質(zhì)巖 固化的 沉積巖 頁巖 未固化的 沉積巖 27 11 2 11 f xiftK x A fG x ee 3 36 22 2 22 f xiftK x AfG x ee 3 37 如果參考樣和測樣的波速近似相等 則波數(shù) 12 kk 兩式相除得 12 11 22 fx A fG x e AfG x 3 38 上式兩邊取對數(shù)得 11 21 22 ln ln A fG x fx AfG x 3 39 21 AfxB 3 40 先定測試頻率f 可通過最小二乘擬合 求得直線斜率 21 由于標樣的Q 值為已知 或無窮大 對鋁樣而言Q 150000 可視為無限大 則 1 0 于 是可求得待測巖石樣品的 值 2 3 4巖石模型 3 4 1問題的提出 應(yīng)用實際測量的波在巖石中傳播的速度和衰減屬性如何解釋和反演巖石中 的礦物組成 比例 幾何結(jié)構(gòu) 若已知巖石的礦物組成 比例 結(jié)構(gòu)形態(tài) 如何求出巖石的等效特性 彈 性參數(shù) 波速 衰減等 由于巖石的組分和結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜 直接解決上述正 反兩個問題均存在很 大的難度 這就需要建立一定意義下的等效模型并通過所建立的模型求解正 反問題 這是人們認識 掌握自然規(guī)律的一種普遍的 科學(xué)的方法 如脈沖星的發(fā)現(xiàn)與脈沖星模型的建立直接相關(guān)聯(lián) 3 4 2計算波速的空間平均巖石模型 考慮以下彈性參數(shù) 28 21 PS dP VVKV dV 3 41 其中 P V S V 是我們最熟悉的參數(shù) K為巖石的體積模量 它 表示壓力增量P 和體積變化率 V V 之比 V Kp V V K V 因此K 又稱不可壓縮系數(shù) 其倒數(shù) 稱為壓縮系數(shù) 對空氣而言 的值為 100 Mpa 1 多數(shù)巖石的 值為 1 Mpa 1 由于水的不可壓縮性較巖石大 因此常說水是不可壓縮的 下圖 a 和 b 分別為Voigt 沃伊特 和 Ruess 羅伊斯 提出的等應(yīng)變模 型和等應(yīng)力模型 圖 3 9 模量的巖石模型 a Voigt 模型 1910 b Ruess 模型 1921 設(shè)N種礦物并行排列 第 1 2 i iN L種礦物的體積模型為 i K 剪切模量 為 i 所占巖石體積的百分比為 i V 則 Voigt 的空間平均 多相等效體 體積 模量 V K和剪切模量 V 分別為 11 NN ViiVii ii KK VV gg 3 42 此模型假定每種礦物的應(yīng)變相同 則每種礦物承受的應(yīng)力不同 V K相當于 串聯(lián)電阻的總阻抗 1929 年 Ruess 提出了等應(yīng)力模型 如圖 b 所示 每種礦物承受的壓力相 同 因礦物性質(zhì)各異 每種礦物的應(yīng)變顯然不一樣 其模量 R K和 R 分別為 29 1111 11 NN RiiRii ii KKVV gg 3 43 R K反映了并聯(lián)電路的總阻抗 顯然 V K為不可壓縮性的上限值 而 R K為下限值 串聯(lián)阻抗大于并聯(lián)阻抗 實際巖石參數(shù)的彈性模量應(yīng)介于這兩個極限情況之 間 Hill 提出將這兩種模型的結(jié)果取算術(shù)平均 并稱為VRH值 即Voigt Ruess Hill 三人的字頭 則 11 22 VrhVrVrhrV KKK 3 44 Kumazawa 1969 仿照 Hill 的做法 取幾何平均值 得 圖 3 10 兩種礦物組成的巖石模型 其平均巖性參數(shù)用不同方法計算時 得到的K隨第 2 種礦物體積百分比 2 V 的變化曲線 1 Voigt 模型 2 Ruess 模型 3 Hill 模型 4 幾何平均模型 1 2 geom RV KKK g 1 2 geom RV g 3 45 30 假定巖石由兩種礦物組成 且 12 1 0 2KK 于是用上述四種方法計算的KV 曲線如下圖所示 從該圖可知 Voigt 模型給出了估計值的上限 Ruess 模型給出了估計值的 下限 而算術(shù)平均和幾何平均值則位于上 下限值的中間 大量的實驗測試表 明 在高壓狀態(tài)下 計算值 Vrh K和 geom K與測試值符合得較好 如下表所示 表 3 3實測K值和計算的 Vrh K值比較 壓力為 1Gpa 巖石種類實際測量的K值計算的 VRH K值誤差 花崗巖49 149 0 1 花崗巖54 652 34 花崗二長巖60 457 35 輝長巖81 584 34 輝巖94 884 2 1 已知K 可求出 P V S V 等其它各種彈性參數(shù) 3 4 3計算巖石波速的時間平均模型 依照空間平均模型的基本思路 Wyllie 1956 提出了計算巖石速度的時間 平均模型 Wyllie 假定單位立方體中巖石的孔隙全部集中成為一層 其厚度與 巖石孔隙度相等 為 0 設(shè)波穿過該巖石單位厚度的時間為t 則穿過基質(zhì)和孔 隙的時間分別為 m t 和 f t 于是有 1 mf mf ttt VV 或 11 mf VVV 3 46 式中V為該單位巖石的等效平均速度 這就是前面提到的 Wyllie 的求平均速度 的經(jīng)驗公式 3 11 由于此式比較簡單 應(yīng)用更為廣泛 當孔隙度 偏低 壓 力較大時 精度比較高 3 4 4計算巖石波速的裂隙模型 Schon 1996 提出了一個計算等效速度的含裂隙介質(zhì)模型 有幾個假定 31 設(shè)單位體積內(nèi)的裂隙體積為D D很小 以致無裂隙和有裂隙巖石的密度近似相等 即 mf 裂隙一般細而長 縱橫比很小 在壓力增加時將產(chǎn)生閉合 D隨壓力減 小 減小量與D成正比 即 dDdD DD dPdP 或 為比例因子 設(shè)平面波模量 Plane wave modulus M的定義 white 1983 為 2 P M MV 在干燥巖石情況下 又設(shè) 1 m MMD 式中 m M為無裂隙的巖石模量 M是含裂隙的巖石模量 在以上假設(shè)基礎(chǔ)上可得 1 22 2 1 1 1 m PmPm MMD VVDVVD 考慮到 dD D dP 用分離變量法求解此微分方程式 得 0 0 0 00 ln DP D P P P d D d P D d D d P D D P D DD eD e 以上各式中 P為參考壓力 0 D為0P 時的裂隙密度 m V為無裂隙巖石的波速 P V為巖石含裂隙的波速 于是有 32 1 2 0 1 P P Pm VVD e 3 47 3 4 5球堆模型 Gassmann 關(guān)系式 1881 年 G Hertz 提出了著名的點接觸球的物理問題 假定巖石由球狀礦物 組成且球的半徑相同 球狀礦物按晶格結(jié)構(gòu)排列 受壓時 礦物之間的接觸由 點變?yōu)槊?接觸面隨壓力增加而增大 Gassmann 1951 年發(fā)表了球堆模型 Model of Package of spheres 的經(jīng)典文章 他 證明 不論礦物球按立方排列 還是按 六方體排列 由于巖石非線性的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 巖石波速隨壓力P 隨埋深 Z的變化均存在如下關(guān)系式 1 61 6 VPVZ 3 48 3 4 6衰減模型 應(yīng)該說目前尚無一個被大家所 接受的衰減模型 可能的原因在于 衰減問題過于復(fù)雜 用一個模型 不能完全概括 根據(jù) Toksoz 和 Johnson 1981 提出的觀點 描述巖石中波衰減和能量耗散的幾種解釋可用右 圖表示 1992 年 Arts 得到了波的衰減系數(shù) 與 2 f成正比的結(jié)論 前面還提到 與f成正比 巖石中波的衰減和能量的耗散 宏觀解釋微觀解釋 廣 義或非線 性 的彈性波方程 流變方程 復(fù)雜 彈性模量 衰減機理 固體 部分的非彈性 孔 隙中 的非 線 性幾何影響 圖 3 11 巖石的衰減模型 33 4 4 4 4巖石的彈性巖石的彈性 巖石的彈性性質(zhì)一方面受礦物的彈性性質(zhì)控制 還要受巖石內(nèi)部的孔隙和 孔隙流體決定 如果把由固體骨架和孔隙流體組成的巖石稱為二相體 則本章 主要研究二相體的彈性性質(zhì) 4 1二相體的彈性 4 1 14 1 14 1 14 1 1彈性參數(shù)的一般概念彈性參數(shù)的一般概念彈性參數(shù)的一般概念彈性參數(shù)的一般概念 4 1 24 1 24 1 24 1 2巖石中的孔隙巖石中的孔隙巖石中的孔隙巖石中的孔隙 裂紋和孔洞裂紋和孔洞裂紋和孔洞裂紋和孔洞 設(shè)巖石的孔隙度為 定義 為 V V 4 10 式中V 為體積V的巖石中的孔隙體積 火山噴發(fā)巖和砂巖的孔隙度較大 有時可達 20 40 而對多數(shù)的結(jié)晶巖 泥巖 致密碳酸鹽巖 以及致密砂巖 其孔隙度可小到 0 1 1 0 除了孔隙度的大小外 其形狀也很重要 縱橫比 接近 1 的球形孔隙 常稱為孔洞 pore 縱橫比很小 小小于 1 的孔隙稱為裂 紋 crack 分別用 p 和 c 來表示它們的孔隙度 則 PC PC VV VV 4 11 式中 P V和 C V分別為孔洞體積和裂紋體積 一般的巖石中這兩種形狀的孔隙都 有 則總孔隙為二者之和 PC 4 12 例如對 Westerly 花崗巖 0 014 0 002 0 012 PC 巖石中裂紋所 占體積雖然不大 但對巖石的彈性模量影響很大 對花崗巖而言 當0 01 C 時 有裂紋巖石的彈性模量與無裂紋的相比相差 5 倍以上 為描述二相巖石的彈性 性質(zhì) 常引用等效體和等效參數(shù)的概念 34 4 1 34 1 34 1 34 1 3巖石 礦物和孔隙流體的彈性參數(shù)巖石 礦物和孔隙流體的彈性參數(shù)巖石 礦物和孔隙流體的彈性參數(shù)巖石 礦物和孔隙流體的彈性參數(shù) 礦物 巖石 孔隙流體的彈性參數(shù) 已有許多人進行過研究測試 陳顒的 講義 P73頁分別列出了若干常見礦物 巖石和孔隙流體的彈性常數(shù) 值得在實 踐和研究中對比參照 4 1 44 1 44 1 44 1 4有效彈性模量概念有效彈性模量概念有效彈性模量概念有效彈性模量概念 彈性參數(shù)很多 對均勻各向同性介質(zhì) 已知兩個彈性參數(shù) 可換算出其它 的彈性參數(shù) 見表 3 1 在討論體積形變和含孔隙的二相介質(zhì)時 常用壓縮系 數(shù) 來描述 其定義為 1 V ddV dPV dP 4 13 式中 V 是巖石體積應(yīng)變 V V 按巖石力學(xué)的規(guī)定 體積減小時 體應(yīng)變?yōu)檎?dV是原始體積為V的巖石受到流體靜壓力變化 dP 時所產(chǎn)生的體積變化 是體積模量K的倒數(shù) 13 12 KE 4 14 的單位通常為兆巴 1 Mpa 1 空氣的 為無窮大 水的 值均為 100Mpa 1 壓縮性小 巖石的 一般為 1Mpa 1 運用等效體概念 有效壓縮系數(shù)也可按 Ruess 和 Voigt 公式求出 Ruess 公式 1 N Rii i V 4 15 Voigt 公式 1 11 N i i Vi V 4 16 4 2流體靜壓下巖石裂紋對彈性的影響 孔隙和孔隙充填物 流體 軟性物質(zhì) 的存在對巖石的彈性有重要影響 本節(jié)主要討論這一重要影響 4 2 14 2 14 2 14 2 1干燥巖石下的干燥巖石下的干燥巖石下的干燥巖石下的 walshwalshwalshwalsh 公式公式公式公式 設(shè)孔隙中是干燥的 僅充氣 這時巖石的等效彈性性質(zhì)與雙相介質(zhì)的性質(zhì) 35 相似 設(shè)含裂隙單位體積巖石的壓縮系數(shù)為 eff 巖石骨架的壓縮系數(shù)為 s 則 Walsh 1965 給出了下列關(guān)系式 effs d dP 4 17 這就是著名的 walsh 沃什 公式 它表明巖石的有效彈性性質(zhì)與孔隙度的 壓力微商有關(guān) 而不是直接與孔隙度有關(guān) 可以形式上證明如下 設(shè)巖石的體積為V 其中包括的孔隙體積為 C V 則骨架體積為 C VV 按 4 13 式有 11 CC s C effeff d VVdVdV VdPV dPV dP d VVd dPdP 4 18 式中規(guī)定 c dvd dpvdp 即孔隙度 隨壓力增加而減小時 符號為負 與公式 4 17 一致 4 18 式中的V 嚴格說來應(yīng)為 C VV 當 C V較小 或 較小 時 可用V近似 C VV 嚴格的證明需要用互易定理 chree 1892 孔隙隨壓力的變化項 d dP 的值與孔隙形狀有關(guān) 要獲得 d dP 的具體形式 需 要對孔隙形狀和孔隙密度作進一步的假設(shè) 下面以實例進行說明 4 2 1 14 2 1 14 2 1 14 2 1 1硬幣形 硬幣形 pennypennypennypenny shapeshapeshapeshape 橢圓裂紋的有效彈性性質(zhì) 橢圓裂紋的有效彈性性質(zhì) 首先把巖石分成大小相等的N個小單元 小單元的體積為 0 則總體積為 0 VN 設(shè)每個小單元只包含一條裂紋 其半長度為 橢圓形 i a 又設(shè)各 單元邊界上的應(yīng)力分布是均勻的 由裂紋的非對稱性 邊界上各單元的位移可 能是不連續(xù)的 另一方面 如果假定邊界上各單元的應(yīng)變是均勻的 則單元內(nèi) 應(yīng)力分布將不均勻 有可能與運動平衡方程式矛盾 討論裂紋對壓縮系數(shù)影響 的最好方法是利用能量分析 先從 Walsh 公式出發(fā) C effS dV VdP 可改寫為 36 effSC pdPpdVpdP 對每一個小單元 0 V 存在 00 effSC V pdPPdVV pdP 上式右邊第一項是沒有裂縫時的體積單元 0 的應(yīng)變能 第二項是由于裂紋 存在而增加的應(yīng)變能 C dW C V是裂縫的體積 薩克 sack 1948 證明 對于 硬幣形橢圓裂紋 第i個小單元增加的應(yīng)變能 i C dW為 2 3 16 1 9 12 i S Csi S dWa pdp 4 19 于是 由N個小單元構(gòu)成的總的應(yīng)變能增量為 2 3 11 16 1 9 12 NN i S CCSi ii S dWdWa pdp 式中 S 為基質(zhì)壓縮系數(shù) S 為基質(zhì)的泊松比 其中 CC dWpdV 4 20 則有 23 16 1 1 9 12 S effS S Na V 4 21 式中 33 1 N i i Naa 4 22 a是裂紋體積的平均長度 4 21 式給出了硬幣形橢圓裂紋對巖石的有效壓縮系數(shù) 該影響以 3 Na的形 式出現(xiàn) 由 4 21 可知 eff 與裂紋體積有關(guān) 而該體積又和壓力有關(guān) 因此 eff 與壓力也有關(guān) 由于 3 3 1 N i i aaN 則對壓縮系數(shù)影響作用最大的是那些 i a比較長的裂紋 i a愈小 影響愈小 4 2 1 24 2 1 24 2 1 24 2 1 2球形孔隙介質(zhì)的彈性性質(zhì)球形孔隙介質(zhì)的彈性性質(zhì) 設(shè)巖體V中每個小體積單元包含一個球形空腔 C V 孔隙空間之間的距離足 夠大 則施加在區(qū)域空間上的力等于施加在小空腔 C V邊界上的力 此力使 C V發(fā) 生形變 根據(jù)厚壁球形空腔的 Lame 解 可求出孔洞邊界上的切向應(yīng)力 31 2 1 C P VV g 4 23 37 而切向應(yīng)變?yōu)?1 S eE 體積應(yīng)變?yōu)?CC VV 等于3e 因此在外壓 變化 dp 時 該空腔的相對體積變化為 91 3 21 CS CC dVdP e VEVV g 孔隙度隨壓力的變化率為 0 9 11 21 S C dVd dPVdPE 綜合考慮以上公式和3 12 SS E 得 1 3 1 2 1 2 1 S effS S g 4 24 上式仍在 很小時才嚴格成立 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 3 3 3 3平面應(yīng)力和平面應(yīng)變作用下含橢圓裂隙介質(zhì)的彈性性質(zhì)平面應(yīng)力和平面應(yīng)變作用下含橢圓裂隙介質(zhì)的彈性性質(zhì) 與球形裂隙不同的是 硬幣形裂隙橢圓裂隙等扁窄裂隙的方向是隨機的 假設(shè)外加流體靜壓力相同 則不同方向裂隙的應(yīng)變不同 位移也不同 出現(xiàn)小 單位之間的位移不連續(xù)性 很難建立運動平衡方程式 為此Voigt 1928 年 建議對彈性模量進行平均 在現(xiàn)有問題中 這種平均等價于假設(shè)各個小區(qū)域的 邊界上存在均勻應(yīng)變 等應(yīng)變模型 見公式 3 4 2 而 Ruess 1929 則建議對 拉伸系數(shù) 楊氏模量的倒數(shù) 進行平均 相當于假設(shè)區(qū)域邊界上存在均勻相等 的應(yīng)力 見式 3 43 Hill 1952 證明了 Voigt 與 Ruess 的結(jié)果分別為彈性模 量的上 下界 上下界之差的大小決定了礦物組分和結(jié)構(gòu)的各向異性的程度 則 Voigt 和 Ruess