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格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場問題1 格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場問題(Greens Function) Greens Function, 又名源函數(shù),或影響函數(shù),是數(shù)學物理中的一個重要概念。 從物理上看,一個數(shù)學物理方程表示一種特定的場和產(chǎn)生這種場的源之間關系: Heat Eq.: 表示溫度場與熱源 之間關系 Poissions Eq.: 表示靜電場與電荷分布之間的關系場可以由一個連續(xù)的體分布源、面分布源或線分布源產(chǎn)生,也可以由一個點源產(chǎn)生。但是,最重要的是連續(xù)分布源所產(chǎn)生的場,可以由無限多個電源在同樣空間所產(chǎn)生的場線性疊加得到。例如,在有限體內(nèi)連續(xù)分布電荷在無界區(qū)域中產(chǎn)生的電勢: 這就是把連續(xù)分布電荷體產(chǎn)生的電勢用點電荷產(chǎn)生的電勢疊加表示?;蛘哒f,知道了一個點源的場,就可以通過疊加的方法算出任意源的場。所以,研究點源及其所產(chǎn)生場之間的關系十分重要。這里就引入Greens Functions的概念。Greens Functions:代表一個點源所產(chǎn)生的場。普遍而準確地說,格林函數(shù)是一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場。所以,我們需要在特定的邊值問題中來討論 Greens Functions. 下面,我們先給出Greens Functions 的意義,再介紹如何在幾個典型區(qū)域求出格林函數(shù),并證明格林函數(shù)的對稱性,最后用格林函數(shù)法求解泊松方程的邊值問題。實際上,只限于討論泊松方程的第一類邊值問題所對應的 Greens Functions。 2 泊松方程的格林函數(shù) 靜電場中常遇到的泊松方程的邊值問題:這里討論的是靜電場, 代表自由電荷密度。 格林函數(shù):位于的單位正電荷在處所激發(fā)的滿足齊次邊界條件的電勢。 三維 Greens Functions 定解問題為: 這里表述了單位正電荷的體密度。 注意:對于第二類齊次邊界條件且對于有限的研究區(qū)域,這個定解問題無解。這是因為,雖然方程說明內(nèi)有單位正電荷存在,而邊界條件 說明點源產(chǎn)生的場在邊界上電場的法向分量處處為零,說明邊界條件與方程不相容。另外,可以對方程作積分 這時要包含點,用高斯定理得 這就矛盾了! 注: 高斯定理 這時引入廣義格林函數(shù) 其中為常數(shù),還要增加一個條件,以保證解的唯一性。 求解上面方程組或,可得在給定區(qū)域的泊松方程的各類邊值問題的格林函數(shù)。 3 鏡像法求G. F.用Greens Functions 去求解數(shù)理方程的定解問題,首先要求出相同邊界、同類邊值問題的Greens Function.3.1 鏡像法的基本概念 很多物理問題沒有一個普遍奏效的解法,人們會發(fā)展許多方法,但往往每一種方法只能解決一部分問題。人們熟知的一種辦法是所謂“猜解”,即“嘗試解”,這要有所謂的“唯一性定理”做保證。唯一性定理:某些物理問題(如靜電場邊值問題)存在唯一解??梢酝ㄟ^并不唯一的方法找到這個唯一解,這樣就意味著解決物理方法上的多樣性和靈活性。靜電鏡像法是一種特殊的猜解方法,其基本思想:利用點電荷模擬邊界面上的感應電荷或極化電荷??捎糜阽R像法解決的問題包括:在點或線電荷與導體(或介質(zhì))共同存在的系統(tǒng)中,空間任一點的場是由點(或線)電荷與界面上感應(或極化)電荷共同產(chǎn)生的,而感應(或極化)電荷事先并不知道。通過分析邊界條件可以找到一個(或多個)像電荷來等效地代替導體面(或介質(zhì)面)上的感應(或極化)電荷,從而把點(或線)電荷與界面上感應(或極化)電荷在待求區(qū)域產(chǎn)生場的求解問題轉(zhuǎn)化為真實點電荷和虛像電荷在待求區(qū)域所產(chǎn)生場的簡單疊加。鏡像法求邊值問題的一般步驟為(以靜電場為例):1) 列出定解問題:電勢在待求區(qū)域所滿足的微分方程和邊界條件;2) 根據(jù)邊界條件分析鏡像電荷的個數(shù)和位置;3) 寫出電勢分布的形式表達式(嘗試解);4) 把邊界條件帶入形式表達式以確定像電荷的量值和位置;5) 把已求出的像電荷帶入形式解以得到真實的電勢分布;6) 根據(jù)題意要求可由電勢求場強、電荷分布及受力等問題。靜電鏡像法分為:反射鏡像法:平面鏡法球面鏡法半透鏡法:平面鏡法球面鏡法32 無界空間定解問題 對應物理問題:單位正電荷置于,求空間任一點處的電勢 庫侖定律給出的解無界區(qū)域的Greens Function: 又叫基本解。33 上半空間定解問題 這里實際上可以給出滿足第一類邊界條件的 G. F. of the first kind.物理問題:在 處,有一無限大接地金屬板,在處有一單位正電荷,求金屬板上方任一點處的電勢分布鏡像法的基本思想用在這里:當電荷置于導體板的上方時,由于靜電感應,板上出現(xiàn)異號電荷,空間電場是由電荷及感應電荷共同激發(fā)的,即。而且滿足靜電平衡條件時,電力線垂直于導體面。格林等效層定理:帶電導體面上的電荷分布在導體外產(chǎn)生的電勢,可以用導體面內(nèi)的一定的等效電荷分布來代替。 我們通過電場分布分析,引進像電荷假想電荷來代替感應電荷作用。在這里,我們在電荷相對于平面的鏡像位置引進,那么和激發(fā)電場與和真實感應電荷激發(fā)的電場相同。這里要滿足和共同在導體面上產(chǎn)生的電勢為零。 這樣引進的像電荷和原電荷一起產(chǎn)生的場,就是要求的由原電荷和感應電荷產(chǎn)生的場,這樣我們只需要求出像電荷的位置和大小。 像電荷的正確引進要符合: 像電荷用在求解區(qū)域之外引入,因為感生電荷在上半空間的場處處滿足Laplaces Eq. , 即在上半平面內(nèi)是無源的。 像電荷的電量和位置要滿足邊界條件: 和。Then, 和激發(fā)的電勢是待求的格林函數(shù)。 金屬板上的面電荷密度 應能證明:金屬板上總電荷 這說明金屬板上總感應電荷等于像電荷。這是因為接地的導體平面相當于一面鏡子,而則是的像,稱像電荷。34 球外空間這里還是考慮第一類G.F.函數(shù)的求解問題。定解問題 對應物理問題:接地金屬球外處,有一單位正電荷,求球外空間任一點處的電勢首先引進像電荷,要不違反泊松方程,也就是讓產(chǎn)生的電勢滿足 Laplaces Eq., , 必須在求解區(qū)域之外一球內(nèi),考慮到對稱性,還必須在上,放在處。為了保證球面電勢為零,即 成立,為負電荷。?,? 應由邊界條件定??紤]球面上一點,由邊界條件得:也就是 要求 注意,這里考慮了若有兩個相似三角形,必有。由此確定了像電荷的位置和電量 這樣,和激發(fā)的電勢就是 Greens Function 用球坐標表示:場點: , 電荷所在位置:, 像電荷所在位置:,(這里) (余弦定理) (余弦定理)where (加法公式)在考慮, 我們得 場強: 球面上電荷分布: 球面上總電荷: 由于球面上感應電荷在球外的場與像電荷的場等效,所以電荷受感應電荷的力為 4 Greens Functions 對稱性 重要物理意義:點的點源,在一定邊界條件下,在產(chǎn)生的場等于:在置同樣強度點源,在相同邊界條件下在產(chǎn)生的場。 這就是物理學中常說的倒易性互易性。實際上,并非所有格林函數(shù)都具有這種對稱性,這與邊值問題有關。Proof. 泊松方程的Greens Fnuctions 對稱性。 定解問題 :又有: 對積分后: 根據(jù)Green公式第二式 可得 (5)與上類似,對定解條件做如下處理得 所以(5)式右邊 這就是格林函數(shù)的對稱性。5 求解泊松方程的第一類邊值問題 泊松方程的第一類邊值問題寫出與有相同邊界、同類邊值問題的格林函數(shù)所滿足的方程與邊界條件 寫出自變量為的Greens Formula letting 為待求電勢,便有(上式左端代入(3)和(1),右端) 利用函數(shù)性質(zhì)和 Where 為內(nèi)整個電荷分布在處激發(fā)電勢; 為外電荷分布在處激發(fā)的電勢。6 用正交函數(shù)組展開格林函數(shù)一個求有界區(qū)域GF的重要方法。Example: 求矩形區(qū)域內(nèi)的Laplaces Eq. 第一邊值問題的GF 滿足條件(2)的一組正交函數(shù)函數(shù)為: (3)其正交歸一關系為: (4)注意這里選得正交函數(shù)組實際上是有條件的:1) 滿足邊界條件2) 實際上是如下本征方程的解本征函數(shù): 展開所求GF: (5)帶入原方程(1)得:對于上式做以下積分:We obtain thatSo And (6)問題:這里的二重級數(shù)收斂很慢,在使用到求普遍問題的解時不太合適。改進:用一個變數(shù)的正交函數(shù)組其正交歸一關系為這組函數(shù)滿足邊界條件,同時具有。使用對GF做展開有 (7)帶入原方程(1)得: (8)Where 做運算可得:(9)把(7)式帶入原邊界條件(2)式,可得相應邊條件:。 這樣構(gòu)成了一個本征值問題: (10)這里已經(jīng)暫時去掉了下標m,并且令。當時,方程(10)是齊次方程,其通解為由邊界條件 得 so 。但看另一端邊界條件,以上解不能滿足。它卻要求i.e. we have 所以,定解問題(10)的解為其中系數(shù)待定。 問題是在點應該是連續(xù)的,否則在該點會變成無窮大,這與方程(10)的奇異性不符合,因為該式右邊的函數(shù)的積分值是有限的。S

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