高中數(shù)學 專題1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例教案 新人教A版選修22.doc

生活中的優(yōu)化問題舉例【教學目標】1了解導數(shù)在解決實際問題中的作用2掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題【教法指導】本節(jié)學習重點：利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題本節(jié)學習難點：導數(shù)在解決實際問題中的作用【教學過程】復習引入 生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題？這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，本節(jié)我們運用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題解析：請同學思考并回顧以前所學知識并積極回答之.探索新知探究點一面積、體積的最值問題思考如何利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題？例1學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？解設版心的高為x dm，則版心的寬為 dm，此時四周空白面積為s(x)(x4)1282x8，x0.求導數(shù)，得s(x)2.令s(x)20，解得x16(x16舍去)于是寬為8.當x(0,16)時，s(x)0.因此，x16是函數(shù)s(x)的極小值點，也是最小值點所以，當版心高為16 dm，寬為8 dm時，能使海報四周空白面積最小反思與感悟(1)在求最值時，往往建立函數(shù)關系式，若問題中給出的量較多時，一定要通過建立各個量之間的關系，通過消元法達到建立函數(shù)關系式的目的(2)在列函數(shù)關系式時，要注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域跟蹤訓練1如圖所示，某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為_米答案32,16探究點二利潤最大問題例2某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑已知每出售1 ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.則瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？解由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是yf(r)0.2r30.8r20.8，0r6.令f(r)0.8(r22r)0.當r2時，f(r)0.當r(0,2)時，f(r)0.因此，當半徑r2時，f(r)0，它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；半徑r2時，f(r)0，它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低半徑為2 cm時，利潤最小，這時f(2)0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值半徑為6 cm時，利潤最大反思與感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數(shù)關系，常見的基本等量關系有：(1)利潤收入成本；(2)利潤每件產品的利潤銷售件數(shù)跟蹤訓練2某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點所以，當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大探究點三費用(用材)最省問題例3已知a、b兩地相距200 km，一只船從a地逆水行駛到b地，水速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(8vv0)若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v12 km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？y.令y0，得v16，當v016，即v16 km/h時全程燃料費最省，ymin32 000(元)；當v016，即v(8，v0時，y0，即y在(8，v0上為減函數(shù)，當vv0時，ymin(元)綜上，當v016時，v16 km/h全程燃料費最省，為32 000元；當v016，即vv0時全程燃料費最省，為元 反思與感悟本題在解題過程中容易忽視定義域，誤以為v16時取得最小值本題的關鍵是弄清極值點是否在定義域范圍內跟蹤訓練3現(xiàn)有一批貨物由海上從a地運往b地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時，a地至b地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/時)的函數(shù)；(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？解(1)依題意得y(9600.6x2)300x，且由題意知，函數(shù)的定義域為(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x40或x40(舍去)因為函數(shù)的定義域為(0,35，所以函數(shù)在定義域內沒有極值點又當0x35時，y0)已知貸款的利率為0.048 6，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去設存款利率為x，x(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()a0.016 2 b0.032 4c0.024 3 d0.048 6【答案】b【解析】依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以銀行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，則y0.097 2kx3kx2(0x0.048 6)令y0，得x0.032 4或x0(舍去)當0x0；當0.032 4x0.048 6時，y0.所以當x0.032 4時，y取得最大值，即當存款利率為0.032 4時，銀行獲得最大收益3用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，則該長方體的最大體積為()a2m3 b3m3 c4m3 d5m3【答案】b當0x0；當1x時，v(x)0)，yx2，由y0，得x25，當x(0,25)時，y0，x(25，)時，y0，所以x25時，y取最大值 5統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為yx3x8(0x120)已知甲、乙兩地相距100千米，當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【解析】當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為h(x)升，依題意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因為x(0,80)時，h(x)0，h(x)是增函數(shù)，所以當x80時，h(x)取得極小值h(80)11.25(升)因為h(x)在(0,120上只有一個極小值，所以它是最小值答汽車以80千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升6某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因素記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系