高中數(shù)學(xué) 1.9《三角函數(shù)的簡單應(yīng)用》課件 北師大版必修4.ppt

9三角函數(shù)的簡單應(yīng)用 我們已經(jīng)知道周期現(xiàn)象是自然界中最常見的現(xiàn)象之一 三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型 在本節(jié)中 我們將通過實例 讓同學(xué)們初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題 1 體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程 體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型 重點 2 體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)建模思想 從而培養(yǎng)學(xué)生的建模 分析問題 數(shù)形結(jié)合 抽象概括等能力 難點 例1 水車是一種利用水流的動力進(jìn)行灌溉的工具 如圖是一個水車工作的示意圖 它的直徑為3m 其中心 即圓心 o距水面1 2m 如果水車逆時針勻速旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)一圈的時間是min 在水車輪邊緣上取一點p 點p距水面的高度為h m 1 求h與時間t的函數(shù)解析式 并作出這個函數(shù)的簡圖 2 討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時 所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化 若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢 函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響 水車問題 解 不妨設(shè)水面的高度為0 當(dāng)點p旋轉(zhuǎn)到水面以下時 p點距水面的高度為負(fù)值 顯然 h與t的函數(shù)關(guān)系是周期函數(shù)的關(guān)系 故可列表 描點 畫出函數(shù)在區(qū)間 11 8 91 8 上的簡圖 面對實際問題建立數(shù)學(xué)模型 是一項重要的基本技能 這個過程并不神秘 就像這個例題 把問題提供的 條件 逐條地 翻譯 成 數(shù)學(xué)語言 這個過程是很自然的 解答應(yīng)用題關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 例2 海水受日月的引力 在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情況下 船在漲潮時候駛進(jìn)航道 靠近船塢 卸貨后 落潮時返回海洋 下面給出了某港在某季節(jié)每天幾個時刻的水深 潮汐問題 1 選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系 并給出在整點時的水深的近似值 2 一條貨船的吃水深度 船底與水面的距離 為4m 安全條例規(guī)定至少要有1 5m的安全間隙 船底與海底的距離 該船何時能進(jìn)入港口 3 若船的吃水深度為4m 安全間隙為1 5m 該船在2 00開始卸貨 吃水深度以每小時0 3m的速度減少 那么該船在什么時間必須停止卸貨 將船駛向較深的水域 分析 1 考察數(shù)據(jù) 可選用正弦函數(shù) 再利用待定系數(shù)法求解 2 在涉及三角不等式時 可利用圖像求解 解 1 可設(shè)所求函數(shù)為f x asin x k 由已知數(shù)據(jù)求得a 2 5 k 5 t 12 故f x 2 5sinx 5 24 12 6 18 3 9 15 21 5 2 5 7 5 在整點時的水深近似為 1 00 5 00 13 00 17 00為6 3m 2 00 4 00 14 00 16 00為7 2m 7 00 11 00 19 00 23 00為3 7m 8 00 10 00 20 00 22 00為2 8m 2 由2 5sinx 5 5 5 得 畫出y sinx的圖像 如圖所示 由圖像可得 y sinx y 0 2 0 4 x 5 6 或12 4 x 17 6 故該船在0 24至5 36和12 24至17 36期間可以進(jìn)港 3 若2 x 24 x時刻吃水深度為h x 5 5 0 3 x 2 由f x h x 1 5 得 y sinx y 0 12x 0 44 畫出y sin和y 0 44 0 12x的圖像 如圖 由圖像可知當(dāng)x 6 7時 即6 42時 該船必須停止卸貨 將船駛向較深的水域 一半徑為3m的水輪如圖所示 水輪圓心o距離水面2m 已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈 如果當(dāng)水輪上一點p從水中浮現(xiàn)時 圖中點p0 開始計算時間 1 將點p距離水面的高度z m 表示為時間t s 的函數(shù) 2 點p第一次達(dá)到最高點大約要多長時間 解 1 不妨設(shè)水輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 如圖所示 建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)角 0 是以ox為始邊 op0為終邊的角 由op在ts內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為 可知以ox為始邊 op為終邊的角為 則 當(dāng)t 0時 z 0 可得 因為 所以 0 73 故所求函數(shù)關(guān)系式為 故p點縱坐標(biāo)為3sin 2 令得 解得t 5 5 答 點p第一次達(dá)到最高點大約需要5 5s 1 通