湖南省高中數(shù)學(xué) 5.1不等式和絕對值不等式配套課件 理 新人教A版.ppt

第一節(jié)不等式和絕對值不等式 三年10考高考指數(shù) 1 理解絕對值的幾何意義 并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式 a b a b a b a c c b 2 會(huì)利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 3 會(huì)用絕對值不等式 基本不等式證明一些簡單問題 能夠利用基本不等式求一些特定函數(shù)的最 極 值 1 利用不等式的性質(zhì)考查函數(shù)的單調(diào)性 比較實(shí)數(shù)的大小 求函數(shù)的最值是考查的重點(diǎn) 2 利用絕對值的定義及絕對值的幾何意義解含有絕對值的不等式或證明不等式是考查的重點(diǎn) 也是難點(diǎn) 3 常以填空題或解答題的形式出現(xiàn) 屬低 中檔題 1 不等式的基本性質(zhì) 對稱性 傳遞性 同向可加性 同向可乘性 可乘方性 可開方性 a b b a a b b c a c a b a c b c a b c 0 ac bc a b c 0 ac bc a b 0 an bn n n n 2 a b 0 n n n 2 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 若a b 一定有嗎 提示 不一定 如 a 1 b 2時(shí) 有a b 但 事實(shí)上 當(dāng)ab 0時(shí) 若a b 則有 當(dāng)ab 0時(shí) 若a b 則有 當(dāng)ab 0時(shí) 若a b 則中有一個(gè)無意義 2 若 an 是各項(xiàng)都為正的等比數(shù)列 且公比q 1 則a1 a4與a2 a3的大小關(guān)系是 解析 a1 a4 a2 a3 a1 a1q3 a1q a1q2 a1 1 q 1 q 2 an 0 q 0 又q 1 a1 1 q 1 q 2 0 即a1 a4 a2 a3 答案 a1 a4 a2 a3 2 基本不等式 1 定理1如果a b r 那么a2 b2 2ab 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 2 算術(shù)平均與幾何平均如果a b都是正數(shù) 我們就稱為a b的算術(shù)平均 為a b的幾何平均 3 定理2 基本不等式 如果a b 0 那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 也可以表述為 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均 它們的幾何平均 a b a b 不小于 即大于或等于 4 利用基本不等式求最值對兩個(gè)正實(shí)數(shù)x y 如果它們的和s是定值 則當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 它們的積p取得最 值 如果它們的積p是定值 則當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 它們的和s取得最 值 x y 大 x y 小 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 利用基本不等式求最值的條件是什么 提示 利用基本不等式求最值的條件是 各項(xiàng)或各因式均為正 和或積為定值 各項(xiàng)或各因式能取 等號 即一正 二定 三相等 2 思考 函數(shù)的最小值是2嗎 提示 函數(shù)的最小值不是2 當(dāng)x 0時(shí) 當(dāng)x 0時(shí) 顯然f x 既沒有最大值也沒有最小值 3 三個(gè)正數(shù)的算術(shù) 幾何平均不等式 1 定理3如果a b c為正實(shí)數(shù) 那么 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 即 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均 它們的幾何平均 2 基本不等式的推廣對于n個(gè)正數(shù)a1 a2 an 它們的算術(shù)平均 它們的幾何平均 即 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 a b c 不小于 不小于 a1 a2 an 即時(shí)應(yīng)用 1 若x 0 則的最小值為 2 若x 1 則函數(shù)的最大值為 解析 1 x 0 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)上式取等號 即的最小值為 2 當(dāng)且僅當(dāng)即x 0時(shí)上式取等號 即y 1 答案 1 2 1 4 絕對值三角不等式 1 定理1 如果a b是實(shí)數(shù) 則 a b 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 2 定理2 如果a b c是實(shí)數(shù) 那么 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 a b ab 0 a b b c 0 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 a b 與 a b a b 與 a b a b 之間有什么關(guān)系 提示 a b a b a b a b a b 2 已知 a b 則m n之間的關(guān)系是 解析 a b a b a b m 1 n 即m n 答案 m n 5 絕對值不等式的解法 1 含絕對值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x r x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c c ax b c ax b c或ax b c 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 不等式 x c x b a的幾何意義是什么 提示 不等式 x c x b a的幾何意義是 數(shù)軸上滿足到坐標(biāo)為c的點(diǎn)的距離與到坐標(biāo)為b的點(diǎn)的距離之和大于或等于a的點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍 2 2x 1 3的解集是 解析 2x 1 3 3 2x 1 3 2 2x 4 1 x 2 即不等式 2x 1 3的解集是 x 1 x 2 答案 x 1 x 2 利用基本不等式求最值 方法點(diǎn)睛 基本不等式的一般形式及條件基本不等式的一般形式為 或 其中a1 a2 an為正實(shí)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an時(shí)取等號 利用 式求最小值要求積為定值 利用 式求最大值要求和為定值 例1 1 若x 0 則函數(shù)f x 的最大值為 2 若00 y 0 且9x y xy 0 則x y的最小值為 解題指南 對于 1 2 可根據(jù)題目條件 變形構(gòu)造出 和 或 積 為定值的形式 利用基本不等式求解 對于 3 應(yīng)將已知條件變形并建立與x y的關(guān)系 然后再利用基本不等式求解 規(guī)范解答 1 x 0 f x 1 2x 1 2x 1 當(dāng)且僅當(dāng)2x 即x 時(shí)等號成立 f x 的最大值為 此時(shí)x 2 00 f x 2x 3 x 2 x 3 x 當(dāng)且僅當(dāng)x 3 x 即x 時(shí)等號成立 函數(shù)y 2x 3 x 的最大值為 3 方法一 x 0 y 0 9x y xy 0 9x y xy 即 1 x y x y 10 10 6 10 16 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 成立 又 1 即x 4 y 12時(shí) 上式取等號 故當(dāng)x 4 y 12時(shí) x y取最小值16 方法二 由9x y xy 0 得 x 1 y 9 9 定值 可知x 1 y 9 x y x 1 y 9 10 10 6 10 16 當(dāng)且僅當(dāng)x 1 y 9 3 即x 4 y 12時(shí) 成立 故當(dāng)x 4 y 12時(shí) x y取最小值16 答案 1 1 2 3 16 互動(dòng)探究 若將本例 3 中 y 0 改為 y 18 其他條件保持不變 x y的最小值為 解析 9x y xy 0 設(shè) 方法一 設(shè)18 y1 y2 則則 y2 y1 18 y2 y1 0 y2 9 y1 9 9 0 f y2 f y1 0 即f y2 f y1 f y 在 18 上為增函數(shù) f y min f 18 20 即x y的最小值為20 方法二 y 18 f y 0 f y 在 18 上是增函數(shù) f y min f 18 20 即x y的最小值為20 答案 20 反思 感悟 利用基本不等式求最值的一般步驟 1 變正 通過提取 符號 變?yōu)檎?2 湊定 利用拆項(xiàng) 添項(xiàng)等方法 湊出 和 或 積 為定值 3 求最值 利用基本不等式求出最值 4 驗(yàn)相等 驗(yàn)證等號能否成立 若滿足 可取最值 若不滿足 則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決 5 得結(jié)論 得出最大值或最小值 變式備選 已知a b c 0 且a b c 1 則的最小值為 解析 a b c 0 即又 a b c 1 當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時(shí) 成立 的最小值為 答案 絕對值不等式的解法 方法點(diǎn)睛 1 解絕對值不等式的基本方法 1 利用絕對值的定義 通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式 2 當(dāng)不等式兩端均為正時(shí) 可通過兩邊平方的方法 轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式 3 利用絕對值的幾何意義 數(shù)形結(jié)合求解 2 幾種絕對值不等式的等價(jià)形式解絕對值不等式的思路是轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不含絕對值符號的不等式 組 根據(jù)式子的特點(diǎn)可用下列公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化 1 f x a a 0 f x a或f x a 2 f x a a 0 a f x a 3 f x g x f x g x 或f x g x 4 f x g x g x f x g x 5 f x g x f x 2 g x 2 例2 1 不等式 2x 5 7 x的解集為 2 不等式 x2 9 x 3的解集為 3 2011 江西高考 對于x r 不等式 x 10 x 2 8的解集為 解題指南 1 可利用絕對值的定義轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式 2 利用絕對值的定義或 f x a a 0 a f x a去掉絕對值符號或利用數(shù)形結(jié)合思想求解 3 不等式的左邊含有兩個(gè)絕對值符號 可以采用 零點(diǎn)分段法 也可利用絕對值的幾何意義求解 規(guī)范解答 1 方法一 由不等式 2x 5 7 x 可得或解得x 2或x2 方法二 原不等式可化為 或 或7 x2 解 得 7 x2 x x2 2 方法一 原不等式 或 不等式組 x 3或3 x 4 不等式組 2 x 3 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法二 原不等式等價(jià)于 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法三 設(shè)y1 x2 9 y2 x 3 x 3 由 x2 9 x 3 解得x1 4 x2 3 x3 2 在同一坐標(biāo)系下作出y1 y2的圖象 從圖中可看出使y1 y2的x的取值范圍是x 3或2 x 4 原不等式的解集為 x x 3或2 x 4 3 當(dāng)x 10時(shí) 原不等式變?yōu)?x 10 x 2 8 即 12 8 不符合要求 當(dāng) 102 2 x x 3或2 x 4 3 x x 0 互動(dòng)探究 若將本例 3 中 x 10 x 2 8 改為 x 10 x 2 20 則不等式的解集為 解析 當(dāng)x 10時(shí) 原不等式變?yōu)?x 10 2 x 20 即 2x 8 20 即x 14 故 14 x 10 當(dāng) 10 x 2時(shí) 原不等式變?yōu)閤 10 2 x 20 即12 20 恒成立 當(dāng)x 2時(shí) 原不等式變?yōu)閤 10 x 2 20 即2x 8 20 即x 6 2 x 6 綜上所述 原不等式的解集為 x 14 x 6 答案 x 14 x 6 反思 感悟 用 零點(diǎn)分段法 解 x a x b c或 x a x b c型不等式的一般步驟為 1 令每個(gè)含絕對值符號的代數(shù)式為零 并求出相應(yīng)的根 2 將這些根按從小到大排序并把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間 3 由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個(gè)不等式 解這些不等式 求出解集 4 取各個(gè)不等式解集的并集求得原不等式的解集 變式備選 1 不等式1 x 2 3的解集為 解析 方法一 原不等式等價(jià)于不等式組 即 解得 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集為 x 1 x 1或3 x 5 方法二 原不等式可轉(zhuǎn)化為 或 由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 方法三 原不等式的解集就是1 x 2 2 9的解集 即 解得 1 x 1或3 x 5 原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 答案 x 1 x 1或3 x 5 2 不等式 x 3 2x 1 2 x 2 綜上可知 原不等式的解集為答案 x x2 3 不等式 所求不等式的解集為 x x 方法二 方法三 0 不等式兩邊同乘 x 將 2x 1 0 該一元二次不等式的解集即原不等式的解集為 x x 答案 x x 含絕對值不等式的恒成立問題 方法點(diǎn)睛 對于恒成立不等式求參數(shù)范圍問題 常見類型及其解法如下 1 分離參數(shù)法運(yùn)用 f x a f x max a f x a f x min a 可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題 2 更換主元法不少含參不等式恒成立問題 若直接從主元入手非常困難或不可能解決問題時(shí) 可轉(zhuǎn)換思維角度 將主元與參數(shù)互換 ?？傻玫胶喗莸慕夥?3 數(shù)形結(jié)合法在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問題時(shí) 若能數(shù)形結(jié)合 揭示問題所蘊(yùn)含的幾何背景 發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢 可直觀地解決問題 例3 1 若不等式 x 1 x 3 a的解集為r 則a的取值范圍為 2 2011 陜西高考 若不等式 x 1 x 2 a對任意x r恒成立 則a的取值范圍是 解題指南 1 求出 x 1 x 3 的取值范圍 只要a小于 x 1 x 3 的最小值即可 2 求出 x 1 x 2 的取值范圍 只要a不大于 x 1 x 2 的最小值即可 規(guī)范解答 1 方法一 因?yàn)?x 1 x 3 表示數(shù)軸上的點(diǎn)p x 與兩定點(diǎn)a 1 b 3 距離的差 即 x 1 x 3 pa pb 由絕對值的幾何意義知 pa pb 的最大值為 ab 4 最小值為 ab 4 即 4 x 1 x 3 4 不等式 x 1 x 3 a的解集為r a的取值范圍為a 4 方法二 由 x 1 x 3 x 1 x 3 4 x 3 x 1 x 3 x 1 4 可得 4 x 1 x 3 4 不等式 x 1 x 3 a的解集為r a的取值范圍為a 4 2 當(dāng)x 1時(shí) x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 3 當(dāng) 12時(shí) x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 3 綜上可得 x 1 x 2 3 所以只要a 3 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 3 答案 1 4 2 3 互動(dòng)探究 若本例 1 中不等式有解 則a的取值范圍是 若不等式的解集為 則a的取值范圍是 解析 由本例 1 的解析過程可知 x 1 x 3 的取值范圍為 4 4 故若不等式 x 1 x 3 a有解 只要a比 x 1 x 3 的最大值小即可 即aa的解集為 只要a不小于 x 1 x 3 的最大值即可 即a 4 答案 a 4a 4 反思 感悟 對于含參數(shù)不等式的存在性問題 只要求存在滿足條件的x即可 不等式的解集為r是指不等式恒成立問題 而不等式的解集為 的對立面 如f x m的解集是 則f x m恒成立 也是不等式恒成立問題 要注意以上三者的區(qū)別 變式備選 已知函數(shù)f x x a 1 若不等式f x 3的解集為 x 1 x 5 則實(shí)數(shù)a的值為 2 在 1 的條件下 若f x f x 5 m對一切實(shí)數(shù)x恒成立 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 解析 1 由f x 3得 x a 3 解得a 3 x a 3 又已知不等式f x 3的解集為 x