高中數(shù)學《1.7.2定積分在物理中的應用》課件 新人教A版選修22.ppt

1 7 2定積分在物理中的應用 課標要求 1 通過具體實例了解定積分在物理中的應用 2 會求變速直線運動的路程 位移和變力作功問題 核心掃描 利用定積分求變速直線運動的路程 位移和變力所作的功 重點 自學導引定積分在物理中的應用 想一想 利用定積分求變速直線運動的路程和位移是同一個式子嗎 提示路程是標量 位移是矢量 路程和位移是兩個不同的概念 1 當v t 0時 求某一時間段內(nèi)的路程和位移均用求解 2 當v t 0時 求某一時間段內(nèi)的位移用求解 這一時段的路程是位移的相反數(shù) 即路程為 名師點睛1 在變速直線運動中求路程 位移路程是位移的絕對值之和 從時刻t a到時刻t b所經(jīng)過的路程s和位移s 分別為 1 若v t 0 則s v t dt s v t dt 2 若v t 0 則s v t dt s v t dt 3 若在區(qū)間 a c 上 v t 0 在區(qū)間 c b 上v t 0 則s v t dt v t dt s v t dt 2 定積分在物理中的應用 1 做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s 等于其速度函數(shù)v v t v t 0 在時間區(qū)間 a b 上的定積分 即s v t dt 2 一物體在恒力f 單位 n 的作用下做直線運動 如果物體沿著與f相同的方向移動了s 單位 m 則力f所作的功為w fs 而若是變力所做的功w 等于其力函數(shù)f x 在位移區(qū)間 a b 上的定積分 即w f x dx 說明 做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s在數(shù)值上其實就是時間一速度坐標系中對應曲邊梯形的面積 而變力做功實際上也是位移 力坐標系中對應曲邊梯形的面積 在變力做功時 不限定f x 為非負數(shù) 這樣求出來的定積分可能為負數(shù) 當定積分為負數(shù)時 說明變力做負功 即克服變力做了功 題型一求變速直線運動的路程 位移 例1 有一動點p沿x軸運動 在時間t時的速度為v t 8t 2t2 速度的正方向與x軸正方向一致 求 1 p從原點出發(fā) 當t 6時 求點p離開原點的路程和位移 2 p從原點出發(fā) 經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值 思路探索 解 1 由v t 8t 2t2 0得0 t 4 即當0 t 4時 p點向x軸正方向運動 當t 4時 p點向x軸負方向運動 故t 6時 點p離開原點的路程當t 6時 點p的位移為 2 依題意 8t 2t2 dt 0 1 用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時 將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關(guān)鍵 2 路程是位移的絕對值之和 因此在求路程時 要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正 若符號不定 應求出使速度恒正或恒負的區(qū)間 然后分別計算 否則會出現(xiàn)計算失誤 變式1 變速直線運動的物體的速度為v t 1 t2 初始位置為x0 1 求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置 解當0 t 1時 v t 0 當1 t 2時 v t 0 所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程 題型二求變力所作的功 例2 在底面積為s的圓柱形容器中盛有一定量的氣體 在等溫條件下 由于氣體的膨脹 把容器中的一個活塞 面積為s 從點a處推到b處 計算在移動過程中 氣體壓力所做的功 力f對物體所做的功為w f s 求出變力f的表達式是本題中求功的關(guān)鍵 題后反思 解決變力作功注意以下兩個方面 1 首先要將變力用其方向上的位移表示出來 這是關(guān)鍵的一步 2 根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題 因為位置決定于位移 所以它是v t 在 0 4 上