2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平面解析幾何9.7雙曲線試題理北師大版.docx

第九章 平面解析幾何 9.7 雙曲線試題 理 北師大版1雙曲線定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (ca0，cb0)【知識拓展】巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為t(t0)(2)過已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()(5)若雙曲線1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)()1(教材改編)若雙曲線1 (a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為()A. B5C. D2答案A解析由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|4，則C的實(shí)軸長為()A. B2 C4 D8答案C解析設(shè)C：1.拋物線y216x的準(zhǔn)線為x4，聯(lián)立1和x4，得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的實(shí)軸長為4.3(2015安徽)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案C解析由雙曲線性質(zhì)知A、B項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意；C、D項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上，但D項(xiàng)漸近線為yx，只有C符合，故選C.4(2016江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1的焦距是_答案2解析由已知，a27，b23，則c27310，故焦距為2c2.5雙曲線y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于_答案解析雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，一條漸近線方程是yx，即x2y0，則頂點(diǎn)到漸近線的距離d.題型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1利用定義求軌跡方程例1已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_答案x21(x1)解析如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因?yàn)閨MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x21(x1)命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)P(3,2)和Q(6，7)解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0，b0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.命題點(diǎn)3利用定義解決焦點(diǎn)三角形問題例3已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cos F1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.引申探究1本例中將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|sin 602.2本例中將條件“|PF1|2|PF2|”改為“0”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，由于0，所以，所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|2.思維升華(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程；(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為(0)，再由條件求出的值即可(1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|AF2|的最小值為()A.4 B.4C.2 D.2(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3答案(1)C(2)B解析(1)由題意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，則|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值為|AP|AF1|2a2.故選C.(2)不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負(fù)值舍去)，故e，故選B.題型二雙曲線的幾何性質(zhì)例4(1)(2016浙江)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e21(2)(2015山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：1(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_答案(1)A(2)解析(1)由題意可得m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.(2)由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為yx，直線OB的方程為yx.由得x22p x，x，y，A.設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則F，kAF.OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，1，.設(shè)C1的離心率為e，則e21.e. 思維升華雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線1(a0，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k滿足關(guān)系式e21k2.(2016全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D2答案A解析離心率e，由正弦定理得e.故選A.題型三直線與雙曲線的綜合問題例5(2016蘭州模擬)已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左，右焦點(diǎn)分別是C1的左，右頂點(diǎn)，而C2的左，右頂點(diǎn)分別是C1的左，右焦點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍解(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1(a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k20)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且m()，求k，m的值解(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，故即所以1k.故k的取值范圍是k|1k(2)由(*)式得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28.設(shè)C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)80m264m21，得m.故k，m.12直線與圓錐曲線的交點(diǎn)典例已知雙曲線x21，過點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？錯(cuò)解展示現(xiàn)場糾錯(cuò)解設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由題意，得1，解得k2.當(dāng)k2時(shí)，方程可化為2x24x30.162480，b0)的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析依題意解得雙曲線C的方程為1.2(2016全國乙卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左，右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)M，使得()0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且|，則雙曲線的離心率為()A.1 B.C. D.1答案D解析，()()()0，即220，|c，在MF1F2中，邊F1F2上的中線等于|F1F2|的一半，可得.|，可設(shè)|(0)，|，得()224c2，解得c，|c，|c，根據(jù)雙曲線定義得2a|(1)c，雙曲線的離心率e1.4(2016廬江第二中學(xué)月考)已知橢圓1(a1b10)的長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列，離心率為e1；雙曲線1(a20，b20)的實(shí)軸長、虛軸長、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2，則e1e2等于()A. B1 C. D2答案B解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e21.5(2015課標(biāo)全國)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由題意易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE是銳角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故選B.7(2017江西新余一中調(diào)研)雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F恰好是圓F：x2y24x30的圓心，且點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D2答案C解析x2y24x30可化為(x2)2y21，故F(2,0)，即c2，點(diǎn)F到一條漸近線的距離為b，即b1，a，e.8(2016浙江)設(shè)雙曲線x21的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_答案(2，8)解析如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義需滿足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.9已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_答案解析由定義，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，當(dāng)cosF1PF21時(shí)，得e，即e的最大值為.10(2015課標(biāo)全國)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)當(dāng)APF的周長最小時(shí)，該三角形的面積為_答案12解析設(shè)左焦點(diǎn)為F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周長為|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF的周長最小即為|AP|PF1|最小，當(dāng)A、P、F1在一條直線上時(shí)最小，過AF1的直線方程為1，與x21聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，此時(shí)SAPF12.11中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosF1PF2的值解(1)由已知c，設(shè)橢圓長半軸長，短半軸長分別為a，b，雙曲線實(shí)半軸長，虛半軸長分別為m，n，則解得a7，m3.b6，n2，橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左，右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2. 12(2016湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考)在面積為9的ABC中，tanBAC，且2，現(xiàn)建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 .(1)求AB，AC所在直線的方程；(2)求以AB，AC所在直線為漸近線且過點(diǎn)D的雙曲線的方程；(3)過D分別作AB，AC所在直線的垂線DF，DE(E，F(xiàn)為垂足)，求的值解(1)設(shè)CAx，則由tanBACtan 2及為銳角，得tan 2，AC所在直線方程為y2x，AB所在直線方程為y2x.(2)設(shè)所求雙曲線的方程為4x2y2(0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20)由2，得D(，)點(diǎn)D在雙曲線上，4()2()2，x1