2018版高考數(shù)學復習平面解析幾何9.7雙曲線試題理北師大版.docx

第九章 平面解析幾何 9.7 雙曲線試題 理 北師大版1雙曲線定義平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線這兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(1)當2a|F1F2|時，P點不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫作雙曲線的實半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長a、b、c的關系c2a2b2 (ca0，cb0)【知識拓展】巧設雙曲線方程(1)與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為t(t0)(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()(5)若雙曲線1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則1(此結論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)()1(教材改編)若雙曲線1 (a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()A. B5C. D2答案A解析由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準線交于A，B兩點，|AB|4，則C的實軸長為()A. B2 C4 D8答案C解析設C：1.拋物線y216x的準線為x4，聯(lián)立1和x4，得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的實軸長為4.3(2015安徽)下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案C解析由雙曲線性質(zhì)知A、B項雙曲線焦點在x軸上，不合題意；C、D項雙曲線焦點均在y軸上，但D項漸近線為yx，只有C符合，故選C.4(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距是_答案2解析由已知，a27，b23，則c27310，故焦距為2c2.5雙曲線y21的頂點到其漸近線的距離等于_答案解析雙曲線的一個頂點坐標為(2,0)，一條漸近線方程是yx，即x2y0，則頂點到漸近線的距離d.題型一雙曲線的定義及標準方程命題點1利用定義求軌跡方程例1已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_答案x21(x1)解析如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因為|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點M的軌跡方程為x21(x1)命題點2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)；(3)經(jīng)過兩點P(3,2)和Q(6，7)解(1)設雙曲線的標準方程為1或1(a0，b0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標準方程為1或1.(2)雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標準方程為1.(3)設雙曲線方程為mx2ny21(mn0)解得雙曲線的標準方程為1.命題點3利用定義解決焦點三角形問題例3已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cos F1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.引申探究1本例中將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|sin 602.2本例中將條件“|PF1|2|PF2|”改為“0”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，由于0，所以，所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|2.思維升華(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程；(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結合|PF1|PF2|2a，運用平方的方法，建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可設有公共漸近線的雙曲線方程為(0)，再由條件求出的值即可(1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1的左，右焦點，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線上，則|AP|AF2|的最小值為()A.4 B.4C.2 D.2(2)設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3答案(1)C(2)B解析(1)由題意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，當A，P，F(xiàn)1三點共線時，取得最小值，則|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值為|AP|AF1|2a2.故選C.(2)不妨設P為雙曲線右支上一點，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負值舍去)，故e，故選B.題型二雙曲線的幾何性質(zhì)例4(1)(2016浙江)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e21(2)(2015山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1：1(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為_答案(1)A(2)解析(1)由題意可得m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.(2)由題意，不妨設直線OA的方程為yx，直線OB的方程為yx.由得x22p x，x，y，A.設拋物線C2的焦點為F，則F，kAF.OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，1，.設C1的離心率為e，則e21.e. 思維升華雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線1(a0，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k滿足關系式e21k2.(2016全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D2答案A解析離心率e，由正弦定理得e.故選A.題型三直線與雙曲線的綜合問題例5(2016蘭州模擬)已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左，右焦點分別是C1的左，右頂點，而C2的左，右頂點分別是C1的左，右焦點(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且2(其中O為原點)，求k的取值范圍解(1)設雙曲線C2的方程為1(a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k20)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，點C是雙曲線上一點，且m()，求k，m的值解(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直線與雙曲線右支交于A，B兩點，故即所以1k.故k的取值范圍是k|1k(2)由(*)式得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28.設C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)點C是雙曲線上一點80m264m21，得m.故k，m.12直線與圓錐曲線的交點典例已知雙曲線x21，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？錯解展示現(xiàn)場糾錯解設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意設經(jīng)過點P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由題意，得1，解得k2.當k2時，方程可化為2x24x30.162480，b0)的焦距為10，點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析依題意解得雙曲線C的方程為1.2(2016全國乙卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左，右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得()0(其中O為坐標原點)，且|，則雙曲線的離心率為()A.1 B.C. D.1答案D解析，()()()0，即220，|c，在MF1F2中，邊F1F2上的中線等于|F1F2|的一半，可得.|，可設|(0)，|，得()224c2，解得c，|c，|c，根據(jù)雙曲線定義得2a|(1)c，雙曲線的離心率e1.4(2016廬江第二中學月考)已知橢圓1(a1b10)的長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列，離心率為e1；雙曲線1(a20，b20)的實軸長、虛軸長、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2，則e1e2等于()A. B1 C. D2答案B解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e21.5(2015課標全國)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.點M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由題意易知點F的坐標為(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE是銳角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故選B.7(2017江西新余一中調(diào)研)雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F恰好是圓F：x2y24x30的圓心，且點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D2答案C解析x2y24x30可化為(x2)2y21，故F(2,0)，即c2，點F到一條漸近線的距離為b，即b1，a，e.8(2016浙江)設雙曲線x21的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_答案(2，8)解析如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設P在右支上，設|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結合實際意義需滿足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.9已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_答案解析由定義，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，當cosF1PF21時，得e，即e的最大值為.10(2015課標全國)已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)當APF的周長最小時，該三角形的面積為_答案12解析設左焦點為F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周長為|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF的周長最小即為|AP|PF1|最小，當A、P、F1在一條直線上時最小，過AF1的直線方程為1，與x21聯(lián)立，解得P點坐標為(2,2)，此時SAPF12.11中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值解(1)由已知c，設橢圓長半軸長，短半軸長分別為a，b，雙曲線實半軸長，虛半軸長分別為m，n，則解得a7，m3.b6，n2，橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設F1，F(xiàn)2分別為左，右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2. 12(2016湖北部分重點中學第一次聯(lián)考)在面積為9的ABC中，tanBAC，且2，現(xiàn)建立以A點為坐標原點，以BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系，如圖所示 .(1)求AB，AC所在直線的方程；(2)求以AB，AC所在直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程；(3)過D分別作AB，AC所在直線的垂線DF，DE(E，F(xiàn)為垂足)，求的值解(1)設CAx，則由tanBACtan 2及為銳角，得tan 2，AC所在直線方程為y2x，AB所在直線方程為y2x.(2)設所求雙曲線的方程為4x2y2(0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20)由2，得D(，)點D在雙曲線上，4()2()2，x1