彈性碰撞數(shù)學(xué)計(jì)算的突破方法.doc

彈性碰撞數(shù)學(xué)計(jì)算的突破方法 發(fā)生彈性碰撞的兩物體滿足動量守恒，由于一般情況下碰撞的時(shí)間極短，碰撞前后兩物體的位移幾乎沒有發(fā)生變化，在一般問題當(dāng)中認(rèn)為碰撞前后的兩物體仍在原位置以新的速度發(fā)生相對運(yùn)動，即認(rèn)為發(fā)生彈性碰撞的兩物體碰撞前后各自的重力勢能保持不變，彈性碰撞沒有機(jī)械的損失可寫成系統(tǒng)動能不變的方程。這樣可得到發(fā)生彈性碰撞的兩物體滿足的動量方程和能量方程。?m?1v?1+m?2v?2=m?1v?1+m?2v?2，?SX(12SX)m?1v?2?1+SX(12SX)m?2v?2?2=SX(12SX)m?1v?1?2+SX(12SX)m?2v?2?2，?可得v?1=SX(m?1-m?2)v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX),?v?2=SX(m?2-m?1)v?2+2m?1v?1m?1+m?2SX)。?特別當(dāng)v?2=0時(shí)，也稱為動碰靜時(shí)，解得結(jié)果為?v?1=SX(m?1-m?2)v?1m?1+m?2SX)，?v?2=SX(2m?1v?1m?1+m?2SX)，?列出彈性碰撞所滿足的動量、能量方程，對于學(xué)生而言相對比較容易，但面臨一個(gè)困難是數(shù)學(xué)計(jì)算過程繁冗復(fù)雜，很多同學(xué)過不了這個(gè)計(jì)算關(guān)，雖然結(jié)果有一定的規(guī)律可循，但純粹來記憶這個(gè)公式結(jié)果仍有較大難度。這里介紹一種比較好的方法。?推導(dǎo)：v?1+v?1=SX(m?1-m?2)v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)+v?1?=SX(2m?1v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)，?v?2+v?2=SX(m?2-m?1)v?2+2m?1v?1m?1+m?2SX)+v?2?=SX(2m?1v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)，?結(jié)論：v?1+v?1=v?2+v?2。?說明對于彈性碰撞而言，此結(jié)論公式是個(gè)恒成立公式，是根據(jù)動量守恒和動能守恒兩個(gè)方程推導(dǎo)出來的結(jié)果。?應(yīng)用方法：對于彈性碰撞，應(yīng)列出動量守恒方程和動能守恒方程，但在數(shù)學(xué)運(yùn)算中用m?1v?1+m?2v?2=m?1v?1+m?2v?2和v?1+v?1=v?2+v?2來計(jì)算最終結(jié)果。這樣做的好處在于把二元二次方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程，從而極大的簡化了數(shù)學(xué)計(jì)算過程，提高解題速度和解題質(zhì)量。?注意事項(xiàng)此結(jié)論公式為矢量方程，要注意各速度的方向關(guān)系，應(yīng)先規(guī)定正方向，確定各速度的正、負(fù)，再代入公式計(jì)算，這樣可以把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。?例題1傾角為30的足夠長光滑斜面下端與一足夠長光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過渡，斜面上距水平面高度分別為h?1=5 m和h?2=0。2 m的兩點(diǎn)，各固定一小球A和B，如圖1所示。某時(shí)刻由靜止開始釋放A球，經(jīng)過一段時(shí)間t后，同樣由靜止釋放B球。g=10 ?m/s?2，則?(1)為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過多少？?(2)在滿足(1)的情況下，為了保證兩球在水平面上碰撞的次數(shù)不少于兩次，兩球的質(zhì)量m?A、m?B應(yīng)滿足什么條件？(假設(shè)兩球在碰撞過程中沒有能量損失)?解析(1)根據(jù)牛頓第二定律,兩球在斜面上的加速度?mg?sin?30=ma，?設(shè)兩物體在斜面上運(yùn)動的時(shí)間分別為t?1和t?2,則有:?SX(h?1?sin?30SX)=SX(12SX)at?2?1，?SX(h?2?sin?30SX)=SX(12SX)at?2?2，?且t=t?1-t?2.?所以t=1.6 ?s?。?(2)設(shè)兩球滑到水平面上時(shí)的速度分別為v?1、v?2,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有?m?Agh?1=SX(12SX)m?Av?2?1,?m?Bgh?2=SX(12SX)m?Bv?2?2.?所以v?1=KF(2gh?1KF)=10 ?m/s?,?v?2=KF(2gh?2KF)=2 ?m/s?。?根據(jù)動量守恒定律有?m?Av?1+m?Bv?2=m?Av?1+m?Bv?2，?根據(jù)動能守恒有?SX(12SX)m?Av?2?1+SX(12SX)m?Bv?2?2=SX(12SX)m?Av?1?2+SX(12SX)m?Bv?2?2，?若能發(fā)生第二次碰撞，應(yīng)有?v?1v?2。?在具體計(jì)算時(shí)，可以利用以下兩個(gè)公式和速度大小關(guān)系求解?10m?A+2m?B=-m?Av?1+m?Bv?2，?10-v?1=2+v?2，?v?1v?2，?可得v?1=8-v?2v?2，?即得v?24.?把v?1=8-v?2代入動量關(guān)系式中即可求得?SX(M?AM?BSX)SX(17SX)。?注意在本題中，A球速度反向，與原速度方向相反，這里要注意規(guī)定正方向，確定各速度的正負(fù)，要把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。?例題2如圖2所示，第一象限存在方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第四象限 存在方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場。物體N質(zhì)量為m?2=1.010?-10? ?kg?靜止在光滑水平面上，它的右端連接有輕質(zhì)的彈簧，物體P質(zhì)量為m?1=2.010?-10? ?kg?，帶電量為q=1.010?-5? ?C?由縱軸上距原點(diǎn)O距離為L=1 ?m?處沿x軸正方向以初速度v?0=5 ?m/s?的速度射入勻強(qiáng)電場，忽略物體P的重力，物體由x軸上的C點(diǎn)沿與x軸正方向成=60角的方向射入勻強(qiáng)磁場，在磁場中偏轉(zhuǎn)后由y軸上的Q點(diǎn)沿垂直于y軸方向離開磁場恰好進(jìn)入光滑的水平面并水平向左運(yùn)行，物體P遇上彈簧后便立刻與彈簧粘連在一起向左運(yùn)動壓縮彈簧，不考慮物體P與彈簧碰撞時(shí)的能量損失及物體P的電荷對物體N，彈簧及地面的影?歟?求?：?(1)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E為多少？?(2)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多少？?(3)彈簧以后又出現(xiàn)自然伸長時(shí)物體P、N的速度分別為多少？?解析(1)物體P在C點(diǎn)豎直方向的分速度?v?y=v?0?tan?，?v?2?y=2aL，?a=SX(Eqm?1SX)，?所以E=SX(m?1v?2?0?tan?22qLSX)=7。510?-4? (?N/C?)。?(2)磁場中軌跡如圖3所示，軌跡圓心為O，?類平拋過程v?y=at，v=SX(v?0?cos?SX)，?水平射程L?OC?=v?0t，?磁場中軌跡半徑R=SX(L?oc?sin?SX)，=0，?Bqv=m?1SX(v?2RSX)，?所以B=SX(m?1v?0?tan?22qLSX)=1.510?-4? (?T?)。?(3)對m?1、m?2為系統(tǒng)，取水平向左方向?yàn)檎较?m?1v=m?1v?1+m?2v?2，?SX(12SX)m?1v?2=SX(12SX)m?1v?2?1+SX(12SX)m?2v?2?2,?聯(lián)立得：v?1=SX(103SX) ?m/s?,?v?2=SX(403SX) ?m/s?表示由彈簧壓縮到最短時(shí)恢復(fù)到自然伸長的狀態(tài)，?v?1=10 ?m/s?v?2=0?表示由彈簧拉長到最長時(shí)恢復(fù)到自然伸長的狀態(tài)。?反思：兩物體通過彈簧相互作用過程中滿足系統(tǒng)動量守恒，當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長時(shí)，兩物體的總動能保持不變，此過程類似于彈性碰撞過程，所以可以用彈性碰撞的數(shù)據(jù)處理辦法進(jìn)行計(jì)算。但用上述方法計(jì)算時(shí)，只能得到一組解v?1=SX(103SX) ?m/s?,v?2=SX(403SX) ?m/s?(同學(xué)們可自行計(jì)算)。造成這種結(jié)果的原因是因?yàn)閮晌矬w間的真正彈性碰撞只能發(fā)生一次，所以得到的數(shù)據(jù)結(jié)果只能是唯一的，上述方