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初二數學人教實驗版(新)變量與函數一周強化一、一周知識概述1、常量和變量在事物的變化過程中,我們稱數值發(fā)生變化的量為變量,而數值始終保持不變的量稱為常量常量與變量必須存在于一個變化過程中判斷一個量是常量還是變量,需看兩個方面:看它是否在一個變化的過程中,看它在這個變化過程中的取值情況2、函數一般地,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么我們就說x是自變量,y是x的函數如果當x=a時,y=b,那么b叫做當自變量的值為a時的函數值3、函數自變量的取值范圍的確定自變量的取值范圍:使函數有意義的自變量的取值的全體,叫做函數自變量的取值范圍自變量的取值范圍的確定方法:首先要考慮自變量的取值必須使解析式有意義當解析式為整式時,自變量的取值范圍是全體實數;當解析式是分數的形式時,自變量的取值范圍是使分母不為零的所有實數;當解析式中含有平方根時,自變量的取值范圍是使被開方數不小于零的實數;當函數解析式表示實際問題時,自變量的取值必須使實際問題有意義4、函數的圖象(1)圖象的概念:對于一個函數,如果把自變量x和函數y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標,在坐標平面內描出相應的點,這些點所組成的圖形,就是這個函數的圖象(2)由函數解析式畫其圖象的一般步驟:列表:列表給出自變量與函數的一些對應值;描點:以表中每對對應值為坐標,在坐標平面內描出相應的點;連線:按照自變量由小到大的順序,把所描各點用平滑的曲線連接起來5、函數的表示方法(1)解析法:兩個變量之間的關系有時可以用含有這兩個變量及數學運算符號的等式來表示,這種表示方法叫做解析法(2)列表法:把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表格來表示函數關系,這種表示方法叫做列表法(3)圖象法:用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法二、重難點知識歸納1、變量和常量往往是相對的,相對于某個變化過程,在不同研究過程中,作為變量與常量的“身份”是可以相互轉換的2、理解函數的概念應扣住下面三點:(1)函數的概念由三句話組成:“兩個變量”,“x的每一個值”,“y有唯一確定的值”(2)判斷兩個變量是否有函數關系不僅看它們之間是否有關系式存在,更重要地是看對于x的每一個確定的值y是否有唯一確定的值和它對應(3)函數不是數,它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系3、自變量的取值范圍有無限的,也有有限的,還有的是單獨一個(或幾個)數的;在一個函數解析式中,同時有幾種代數式時,函數的自變量的取值范圍應是各種代數式中自變量的取值范圍的公共部分4、利用函數的圖象解決實際問題,其關鍵是正確識別橫軸和縱軸的意義,正確理解函數圖象的性質,正確地識圖、用圖5、函數圖象上的點的坐標與其解析式之間的關系由圖象的定義可知圖象上任意一點P(x,y)中的x,y是解析式方程的一個解,反之,以解析式方程的任意一個解為坐標的點一定在函數圖象上通常判定點是否在函數圖象上的方法是:將這個點的坐標代入函數解析式,如果滿足函數解析式,這個點就在函數的圖象上,如果不滿足函數解析式,這個點就不在其函數的圖象上,反之亦然三、典型例題剖析例1、函數中自變量x的取值范圍是分析:函數解析式中所含開平方運算中的被開方數必須為非負數,所含的分母必不為零所以解得3x5答案:3x5例2、根據如圖所示的程序計算函數值,若輸入的x值為,則輸出的結果是()ABCD分析:因為輸入的x值在1x2的范圍內,故應將代入y=x2來求函數值解:在1x2的范圍內,故選C例3、已知等腰三角形的周長為10cm,求底邊長y(cm)與腰長x(cm)之間的函數關系式及自變量x的取值范圍解:依題意,得2xy=10y=102x,即y與x的函數關系式為y=102x,自變量x的范圍是例4、我省是水資源比較貧乏的省份之一,為了加強公民的節(jié)約用水意識,合理利用水資源,各地采用價格調控等手段達到節(jié)約用水的目的,某市規(guī)定了如下用水收費標準,每戶每月的用水不超過6米3時,水費按a元/米3收費;超過6米3時,未超過的部分仍按a元/米3收費,超過部分按c元/米3收費,該市某戶今年3、4月份的用水量和水費如下表所示月份用水量(米3)水費(元)357.54927設該戶用水量為x(米3);應交水費為y(元)(1)求a,c的值,并求出用水量不超過6米3和超過6米3時,y與x之間的函數關系式;(2)若該戶5月份的用水量為8米3,求該戶5月份的水費是多少元?分析:此題的函數關系為分段函數關系,根據題設條件,可分兩種情況討論,列出關于a,c的方程組,進而確定函數關系解:(1)依題意,得當x6時,y=ax,當x6 時,y=6ac(x6)由已知,得,解得(2)將x=8代入y=6x27(x6),得y=6827=21,即該戶5月份的水費是21元例5、已知一水池中有600m3的水,每小時抽50m3(1)寫出剩余水的體積Q(m3)與時間t(h)之間的函數關系式;(2)寫出自變量t的取值范圍;(3)8h后,池中還有水多少立方米?(4)幾小時后,池水還有水100m3?分析:池中剩余水的體積Q(m3)=60050t(h),由于Q0,t0可求出自變量的取值范圍;利用Q與t的函數關系式易求出(3)、(4)中的問題的解解:(1)由題意,得Q=60050t(2) 0t12(3)當t=8時,Q=600508=200,故8h后池中還有水200m3(4)由Q=100得,100=60050t,t=10故10h后池中還有水100m3例6、已知函數y=2x3,求:(1)函數圖象與x軸、y軸的交點坐標;(2)x取什么值時,函數值大于1;(3)若該函數圖象和函數y=xk相交于x軸上的一點,試求k的值分析:(1)求函數圖象與x軸的交點坐標,此時縱坐標為0,即令y=0,求出x的值即為交點的橫坐標,求與y軸的交點坐標,令x=0;(2)中的函數值大于1即可以用畫圖象來求,也可以用不等式求解;(3)由于函數y=2x3與x軸的交點坐標已求出來,而題設已知函數y=2x3和y=xk相交于x軸上一點,即函數y=2x3的圖象與x軸上的交點在函數y=xk的圖象上,故其交點坐標滿足函數解析式解:(1)由2x3=0得由x=0得y=3, 故函數圖象與x軸交于與y軸交于(0,3)(2)由2x31得x2即當x2時,函數y=2x3的值大于1;(3)函數y=2x3與x軸相交于點將y=0代入y=xk得k的值為例7、小剛、爸爸和爺爺同時從家中出發(fā)到達同一目的地后都立即返回,小剛去時騎自行車,返回時步行;爺爺去時步行,返回時騎自行車;爸爸往返都步行三個人步行的速度不等,小剛與爺爺騎車的速度相等每個人的行走路程與時間的關系是圖中所示的三個圖象中的一個,走完一個往返問:(1)三個圖象中哪個對應小剛、爸爸、爺爺?(2)離家所去的地點多遠?(3)小剛與爺爺騎自行車的速度各是多少?三人步行的速度各是多少?分析:讀清題目,理解好題意,結合實際問題,再解決問題解:(1)因為小剛去時騎自行車,返回時步行,所以去時需要的時間少于回來所需的時間,故圖(2)對應小剛用同樣的方法可以判斷爸爸對應圖(3),爺爺對應圖(1)(2)他們離家所去的地點有1200m遠(3)由圖象知,小剛去時的時間是6min,所以小剛騎自行車的速度為:用同樣的方法可以求得,爺爺騎自行車的速度為200m/min,小剛步行的速度為80m/min,爸爸步行速度為100m/min,爺爺步行的速度為60m/min例8、一個彈簧,不掛重物時長為10cm,掛上物體時,彈簧會伸長,伸長的長度與所掛物體的質量如下表所示,在彈性限度內,所掛物品的質量不能超過10kg所掛物品質量(kg)123456彈簧總長度(cm)10.511.011.51212.513(1)求在彈性限度內彈簧的總長y(cm)與所掛物體的質量x(kg)之間的函數關系式,并畫出函數的圖象(2)在彈性限度內,彈簧的最大長度是多少?分析:表格中已經通過掛重1至6kg時彈簧的長度y之間的對應關系,我們應先分析出這些數量找出這兩個變量之間的一般聯(lián)系規(guī)律,由它寫出函數解析式,畫出函數圖象,繼而確定最大長度解:(1)由表中觀察到彈簧原長10cm,以后每增加1kg物品,彈簧伸長0.5m,這樣其變化規(guī)律可以表示為y=0.5x10 (0x10)這個函數的圖象如圖所示(2)由圖象可知彈簧最大長度為15cm在線測試A卷開始測試窗體頂端一、選擇題1、小明騎自行車上學,開始以正常速度勻速行駛,但行至途中自行車出了故障,只好停下來修車,車修好后,因怕耽誤上課他比修車前加快了騎車速度繼續(xù)勻速行駛,圖中是行駛路程s(m)關于時間t(min)的函數圖象,那么符合這個同學行駛情況的圖象大致是()ABC D2、下列函數中,自變量x的取值范圍選取錯誤的是()Ay=2x2中,x取全體實數B中,x取x1的所有實數C中,x取x2的所有實數D中,x取x3的所有實數3、葡萄熟了,從葡萄架上落下來,圖中可以大致反映葡萄下落過程中速度v隨時間t變化情況是()A BC D 4、已知等腰三角形的周長為20cm,將底邊長y(cm)表示成腰長x(cm)的函數關系式是y=202x,其自變量x的取值范圍是()A0x10 B5x05、如果每盒圓珠筆有12支,每盒售價18元,那么圓珠筆的售價y(元)與圓珠筆的支數x(支)之間的函數關系式為()ABCy=12xDy=18x6、“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當它醒來,發(fā)現烏龜快到終點了,于是急快追趕,但為時已晚,烏龜還是領先到了終點用s1,s2分別表示兔子和烏龜所行的路程,t為時間,則圖中與故事情節(jié)相吻合的是()ABC D7、如圖(1)是某蓄水池的橫斷面示意圖,分深水區(qū)和淺水區(qū)如果這個蓄水池以固定的流量注水,下面圖(2)中圖象能大致表示水的深度h和時間t之間的關系是()(1)ABC D8、公民的月收入超過800元時,超過部分則依法繳納個人收入調節(jié)稅;當超過部分不超過500元時,稅率(即所繳納稅款占超過部分的百分數)相同已知某人本月收入1260元,納稅23元,由此可得繳納稅款y(元)與該人月收入x(元)(800x1300)間的函數關系為()A BC D以上都不對9、下列各點中,既在函數y=x22x3的圖象上,又在函數的圖象上的點是()ABC D10、函數中,自變量x的取值范圍是()Ax1 Bx1且x2Cx=2Dx1且x2 答案第1題正確答案為 C第2題正確答案為 D第3題正確答案為 D第4題正確答案為 B第5題正確答案為 B第6題正確答案為 D第7題正確答案為 C第8題正確答案為 C第9題正確答案為 C第10題正確答案為 D提示3、由于葡萄下落的速度隨下落的時間變化而變化,開始時速度為0,隨著時間的推移,其速度越來越快4、由已知得,5x105、由已知得6、速度,兔子的速度要快于烏龜的速度,故兔子運動時的st圖象應更傾斜些,兔子睡了一會兒,路程沒有變,而時間流逝了,故為一條平行于t軸的直線,之后兔子追趕,但還是不及烏龜先到達終點,故最終兔子所跑過的路程小于烏龜所跑過的路程7、水面的高度上升速度是先快后慢8、由已知得9、將四點坐標分別代入檢驗10、由已知得,x1且x2B卷二、解答題11、如果點(1,2)同時在函數y=axb與的圖象上,試求a、b的值12、已知y=y1y2,y2=k2(x2)(k20),且當x=1時,y=1;x=2時,y=8(1)求y與x之間的函數關系式(2)求當y=2時,x的值13、填表并觀察下列兩個函數的變化情況:x12345y1=102xy2=5x(1)在同一個直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象,比較它們有什么不同;(2)預測哪一個函數值先達到10014、觀察圖中圖形和所給表格中的數據回答問題梯形個數12345圖形周長58111417(1)設圖形的周長為l,梯形的個數為n,試寫出l與n的函數關系式;(2)求n=11時圖形的周長15、某市區(qū)電話的月租費是20元,可打60次免費電話(每次3分鐘),超過60次后,超過部分每次0.13元(1)寫出每月電話費y(元)與通話次數x之間的函數關系式;(2)分別求出月通話50次、100次的電話費;(3)如果某月的電話費是27.8元,求該月通話的次數16、某單位急需用車,但又不準備買車,他們準備和一個體車主或一國營出租車公司其中的一家簽訂月租車合同,設汽車每月行駛x km,應付給個體車主的月費用為y1元,應付給出租車公司的月費用是y2元,y1、y2分別與x之間的函數關系圖象(兩條射線)如圖所示,觀察圖象后回答下列問題:(1)每月行駛的路程在什么范圍內時,租國營公司的車合算?(2)每月行駛的路程等于多少時,租兩家車的費用相同?(3)如果這個單位估計每月行駛的路程為2300km,那么這個單位租哪家的車合算?答案11、解:由題意有:12、解:(1)由已知得則,故所求函數關系為:(2)y=2經整理得x23x=0x(x3)=0x=0或x3=0故x=0或x=313、解:填表略(1)不同點有:y1的圖象不經過原點,y2的圖象經過原點;當時,y1圖象在y2圖象上方;當時,y1圖象在y2圖象下方;隨著x值的增大,y2的值比y1的值增大得快(2)因為隨著x值的增大,y2的值比y1的值增大得快,所以y2的函數值先到達10014、解:(1)由已知得l=53(n1)=3n2(n為正整數)(2)當n=11時,l=3112=35故n=11時圖形的周長為3515、解:(1)(2)當x=5060時,y=0.1310012.2=25.2故月通話50次的電話費是20元,月通話100次的電話費是25.2元(3)當y=27.8時,有0.13x12.2=27.8x=120故月電話費為27.8元時,該月通話的次數為120次16、(1)每月行駛的路程小于1500km時,租國營公司的車合算

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