第七章 綜合評(píng)價(jià)方法.doc

198第七章 綜合評(píng)價(jià)方法評(píng)價(jià)是人們采用一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)客觀現(xiàn)象的價(jià)值或優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)判的一種認(rèn)知過程，統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)則強(qiáng)調(diào)對(duì)總體及其組成部分的數(shù)量方面進(jìn)行的判斷，屬于定量評(píng)價(jià)。隨著統(tǒng)計(jì)分析活動(dòng)的廣泛開展，評(píng)價(jià)對(duì)象越來越復(fù)雜，簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)方法的局限性也越來越明顯。所謂綜合評(píng)價(jià)，通常就是指多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)技術(shù)，它是利用一定的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)體系，采用特定的評(píng)價(jià)模型和方法，對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象多個(gè)方面的數(shù)量特征進(jìn)行高度的抽象和綜合，轉(zhuǎn)化為綜合評(píng)價(jià)值，進(jìn)而確定現(xiàn)象的優(yōu)劣、類型或?qū)ΜF(xiàn)象進(jìn)行排序的一種統(tǒng)計(jì)方法。所以綜合評(píng)價(jià)方法就是綜合考察多個(gè)有關(guān)因素，依據(jù)多個(gè)有關(guān)指標(biāo)進(jìn)行總評(píng)價(jià)的方法。7.1 綜合評(píng)價(jià)方法概述7.1.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)的篩選指標(biāo)的選擇是綜合評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)。指標(biāo)的選擇好壞對(duì)分析對(duì)象有這句足輕重的作用。指標(biāo)太多事實(shí)上是重復(fù)性的指標(biāo)，指標(biāo)太少可能會(huì)造成缺乏足夠的代表性，會(huì)產(chǎn)生片面性。指標(biāo)體系的建立，要是具體的問題而定這是毫無疑問的，但是一般說來，要遵循以下的原則：1)指標(biāo)宜少不宜多，宜簡(jiǎn)不宜繁。2)指標(biāo)要具有獨(dú)立性。3)指標(biāo)應(yīng)具有代表性4)指標(biāo)應(yīng)可行，符合客觀實(shí)際水平，有穩(wěn)定的數(shù)據(jù)來源，易于操作，也就是具有可測(cè)性。指標(biāo)體系的確定具有很大的主觀隨意性，雖然指標(biāo)體系的確定有經(jīng)驗(yàn)確定和數(shù)學(xué)方法兩種，但是多數(shù)研究中均采用經(jīng)驗(yàn)確定法，淡然，確立指標(biāo)體系的數(shù)學(xué)方法可以降低選取指標(biāo)體系的主觀隨意性，但由于所采用的樣本集合不同，也不能保證指標(biāo)體系的唯一性。在實(shí)際工作中，我們往往綜合使用多種方法進(jìn)行指標(biāo)篩選，在獲得較為滿意的專業(yè)解釋的基礎(chǔ)上，優(yōu)先考慮那些被多種方法同時(shí)選入的指標(biāo)。1）、“系統(tǒng)分析法”，專家對(duì)不同類別的指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，從中挑選主要的指標(biāo)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。2）、“文獻(xiàn)資料分析優(yōu)選法”，即全面查閱有關(guān)文獻(xiàn)資料，分析各指標(biāo)的優(yōu)缺點(diǎn)并加以取舍。此外，可用假設(shè)檢驗(yàn)的方法、多元回歸的方法、指標(biāo)聚類法等方法進(jìn)行指標(biāo)篩選。7.1.2 綜合評(píng)價(jià)的一般步驟進(jìn)行統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)價(jià)一般包括以下幾個(gè)步驟：)、確定評(píng)價(jià)的目標(biāo)和目的。不同的研究目的，不同的評(píng)價(jià)對(duì)象其選擇的方法和指標(biāo)應(yīng)該是不同的。)、根據(jù)目的建立一套科學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。這是綜合評(píng)價(jià)中最基本也最重要的內(nèi)容，目前較多的是采用目標(biāo)分解的方法構(gòu)建不同層次的評(píng)價(jià)指標(biāo)。)、評(píng)價(jià)方法及其模型的選擇。包括權(quán)數(shù)構(gòu)造、標(biāo)準(zhǔn)值和評(píng)價(jià)規(guī)則的確定，這是綜合評(píng)價(jià)研究中最復(fù)雜、也是內(nèi)容最為豐富的部分。目前常用的方法有層次分析法、懲罰函數(shù)法、多元統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)價(jià)技術(shù)法（包括主成分分析法、因子分析法、聚類分析法等）。此外像人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合評(píng)價(jià)法、模糊綜合評(píng)判法、灰色系統(tǒng)理論等新興綜合評(píng)價(jià)技術(shù)還在源源不斷地涌現(xiàn)。)、獲取數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，實(shí)施評(píng)價(jià)。統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)價(jià)過程不是逐個(gè)指標(biāo)順次完成的，而是通過一些特殊方法將多個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)同時(shí)完成的；在綜合評(píng)價(jià)過程中，一般要根據(jù)指標(biāo)的重要性進(jìn)行加權(quán)處理；評(píng)價(jià)結(jié)果不再是具有具體含義的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，而是以指數(shù)或分值表示參評(píng)單位“綜合狀況”的排序。7.2 加權(quán)綜合評(píng)價(jià)法加權(quán)綜合評(píng)價(jià)法是指在確定一套合理的指標(biāo)體系的基礎(chǔ)上，對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均，計(jì)算出綜合值，用以綜合評(píng)價(jià)的一種方法。包括線性加權(quán)綜合評(píng)價(jià)和非線性加權(quán)綜合評(píng)價(jià)兩種方式。線性加權(quán)綜合評(píng)價(jià)是指通過線性模型來進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的，式中y為被評(píng)價(jià)對(duì)象的綜合評(píng)價(jià)值，是與評(píng)價(jià)指標(biāo)相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，,且。非線性加權(quán)綜合評(píng)價(jià)又稱為乘法加權(quán)法，是指通過非線性模型來進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的，式中為權(quán)重系數(shù),。各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)數(shù)是根據(jù)其重要程度決定的，體現(xiàn)了各項(xiàng)指標(biāo)在綜合值中作用的大小，是對(duì)重要程度的一種主觀度的反應(yīng)。一般而言，指標(biāo)間權(quán)重差異主要是以下三方方面的原因造成的：1）評(píng)價(jià)者對(duì)各指標(biāo)的重視程度不同，反映評(píng)價(jià)者的主觀差異；2）各指標(biāo)在評(píng)價(jià)中所起的作用不同，反映了個(gè)指標(biāo)間的客觀差異；3）各指標(biāo)的可靠性程度不同，反映了個(gè)指標(biāo)所提供的信息的可靠性不同。7.3 層次分析法層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP）是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡(jiǎn)易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一種簡(jiǎn)便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。7.3.1 層次分析法的基本原理與步驟人們?cè)谶M(jìn)行社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡(jiǎn)潔而實(shí)用的建模方法。運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行：1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。7.3.1.1建立層次結(jié)構(gòu)模型應(yīng)用AHP分析決策問題時(shí)，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對(duì)下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：（1）目標(biāo)層：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。（2）準(zhǔn)則層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。（3）方案層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個(gè)。這是因?yàn)橹涞脑剡^多會(huì)給兩兩比較判斷帶來困難。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來說明層次結(jié)構(gòu)的建立。例 假期旅游有、 3個(gè)旅游勝地供你選擇，試確定一個(gè)最佳地點(diǎn)。在此問題中，游客會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較3個(gè)侯選地點(diǎn)?？梢越⑷缦碌膶哟谓Y(jié)構(gòu)模型。目標(biāo)層 選擇旅游地 準(zhǔn)則層 景色 費(fèi)用 居住 飲食 旅途 方案層 7.3.1.2 構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成小塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為，現(xiàn)在，請(qǐng)人估計(jì)這小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較個(gè)因子對(duì)某因素的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較建立成對(duì)比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子和，以表示和對(duì)的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣表示，稱為之間的成對(duì)比較判斷矩陣（簡(jiǎn)稱判斷矩陣）。容易看出，若與對(duì)的影響之比為，則與對(duì)的影響之比應(yīng)為。定義1 若矩陣滿足（i），（ii）（）則稱之為正互反矩陣(易見，)。關(guān)于如何確定的值，Saaty等建議引用數(shù)字19及其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了19標(biāo)度的含義：標(biāo)度含 義135792，4，6，8倒數(shù)表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要表示上述相鄰判斷的中間值若因素與因素的重要性之比為，那么因素與因素重要性之比為。從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級(jí)太多會(huì)超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用19標(biāo)度最為合適。7.3.1.3 層次單排序及一致性檢驗(yàn)判斷矩陣對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。上述構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：， （1）定義2 滿足關(guān)系式（1）的正互反矩陣稱為一致矩陣。需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受。定理1 正互反矩陣的最大特征根必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。的其余特征值的模均嚴(yán)格小于。定理2 若為一致矩陣，則1）必為正互反矩陣。2）的轉(zhuǎn)置矩陣也是一致矩陣。3）的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而（同樣，的任意兩列也成比例）。4）的最大特征值，其中為矩陣的階。的其余特征根均為零。5）若的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，即定理3 階正互反矩陣為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根，且當(dāng)正互反矩陣非一致時(shí)，必有。根據(jù)定理3，我們可以由是否等于來檢驗(yàn)判斷矩陣是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于，故比大得越多，的非一致性程度也就越嚴(yán)重，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出 在對(duì)因素的影響中所占的比重。因此，對(duì)決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。對(duì)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的步驟如下：（i）計(jì)算一致性指標(biāo) （ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對(duì)，Saaty給出了的值，如下表所示：1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造500個(gè)樣本矩陣：隨機(jī)地從19及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值，并定義。（）計(jì)算一致性比例 當(dāng)時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正。7.3.1.4 層次總排序及一致性檢驗(yàn)上面我們得到的是一組元素對(duì)其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對(duì)于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇。總排序權(quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。設(shè)上一層次（層）包含共個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為。又設(shè)其后的下一層次（層）包含個(gè)因素，它們關(guān)于的層次單排序權(quán)重分別為（當(dāng)與無關(guān)聯(lián)時(shí)，）。現(xiàn)求層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求層各因素的層次總排序權(quán)重，計(jì)算按下表所示方式進(jìn)行，即，。對(duì)層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對(duì)比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。設(shè)層中與相關(guān)的因素的成對(duì)比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為，（），相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為（已在層次單排序時(shí)求得），則層總排序隨機(jī)一致性比例為當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。7.3.2 層次分析法的應(yīng)用在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：（1）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際定量化處理。層次分析法對(duì)人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（i）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性，卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。（ii）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法。AHP 方法經(jīng)過幾十年的發(fā)展，許多學(xué)者針對(duì)AHP的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)和完善，形成了一些新理論和新方法，像群組決策、模糊決策和反饋系統(tǒng)理論近幾年成為該領(lǐng)域的一個(gè)新熱點(diǎn)。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步。現(xiàn)再分析一個(gè)實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。例2 挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。通過準(zhǔn)則層B個(gè)因素間兩兩對(duì)比，建立準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的對(duì)比矩陣： 1 1 1 4 1 1/2 1 1 2 4 1 1/2 1 1/2 1 5 3 1/2 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 1 1 1/3 3 1 1 2 2 2 3 3 1再建由方案層對(duì)每個(gè)準(zhǔn)則層的因素建立對(duì)比矩陣： 1 1/4 1/2 1 1/4 1/5 4 1 3 4 1 1/2 2 1/3 1 5 2 1 1 3 1/3 1 1/3 5 1/3 1 7 3 1 7 3 1/7 1 1/5 1/7 1 1 1 7 1 7 9 1 1 7 1/7 1 1 1/7 1/7 1 1/9 1 1接下來對(duì)每個(gè)對(duì)比矩陣計(jì)算權(quán)向量，并計(jì)算層次總排序，同時(shí)做一致性檢驗(yàn)，如下表所示。準(zhǔn)則研究 發(fā)展 待遇 同事 地理 單位課題 前途 情況 位置 名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.2879方案層單排序權(quán)值工作1工作2工作30.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.79860.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.09650.3952 0.2996 0.3052根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。7.4 模糊綜合評(píng)價(jià)法現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上，經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個(gè)集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對(duì)集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。對(duì)于那些外延不分明的概念和事物，經(jīng)典集合論是暫時(shí)不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。 在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。以前人們回避它，但是，由于現(xiàn)代科技所面對(duì)的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。這里所謂的模糊性，主要是指客觀事物沒有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述，如某一事件發(fā)生對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響可以評(píng)價(jià)為“有利、比較有利、不那么有利、不利”；災(zāi)害性霜凍氣候?qū)r(nóng)業(yè)產(chǎn)量的影響程度為“較重、嚴(yán)重、很嚴(yán)重”等等。這些通常是本來就屬于模糊的概念，為處理分析這些“模糊”概念的數(shù)據(jù)，便產(chǎn)生了模糊集合論。 根據(jù)集合論的要求，一個(gè)對(duì)象對(duì)應(yīng)于一個(gè)集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身并無法處理具體的模糊概念。為處理這些模糊概念而進(jìn)行的種種努力，催生了模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是模糊集。模糊集的理論是1965年美國(guó)自動(dòng)控制專家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出來的，近10多年來發(fā)展很快。實(shí)踐證明，模糊數(shù)學(xué)方法在圖像識(shí)別、天氣預(yù)報(bào)、地質(zhì)地震、交通運(yùn)輸、醫(yī)療診斷、信息控制、人工智能等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用也已初見成效。從該學(xué)科的發(fā)展趨勢(shì)來看，它具有極其強(qiáng)大的生命力和滲透力，目前在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。7.4.1 模糊集的概念對(duì)于一個(gè)普通的集合A，空間中任一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。這一特征可用一個(gè)函數(shù)表示為：A(x)即為集合A的特征函數(shù)。將特征函數(shù)推廣到模糊集，在普通集合中只取0、1兩值推廣到模糊集中為0, 1區(qū)間。定義1 設(shè)X為全域，若A為X上取值0, 1的一個(gè)函數(shù)，則稱A為模糊集。 例如給5個(gè)同學(xué)的性格穩(wěn)重程度打分，按百分制給分，再除以100，這樣給定了一個(gè)從域X=x1 , x2 , x3 , x4, x5到0, 1閉區(qū)間的映射。 x1：85分，即A(x1)=0.85 x2：75分， A(x2)=0.75 x3：98分， A(x3)=0.98 x4：30分， A(x4)=0.30 x5：60分， A(x5)=0.60這樣確定出一個(gè)模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。 定義2 若A為X上的任一模糊集，對(duì)任意0 l 1，記Al=xxX, A(x)l,稱Al為A的l截集。Al是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的邊界是模糊的, 如果要把模糊概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，需要選取不同的置信水平l (0 l 1) 來確定其隸屬關(guān)系。l截集就是將模糊集轉(zhuǎn)化為普通集的方法。模糊集A 是一個(gè)具有游移邊界的集合，它隨l值的變小而增大，即當(dāng)l1 l2時(shí)，有Al1Al2。定義3 模糊集運(yùn)算定義。若A、B為X上兩個(gè)模糊集，它們的和集、交集和A的余集都是模糊集, 其隸屬函數(shù)分別定義為： (AB) (x)= max ( A(x), B(x) ) (AB) (x)= min ( A(x), B(x) ) AC (x)=1A(x)關(guān)于模糊集的和、交等運(yùn)算，可以推廣到任意多個(gè)模糊集合中去。定義4 若一個(gè)矩陣元素取值為0, 1區(qū)間內(nèi)，則稱該矩陣為模糊矩陣。同普通矩陣一樣，有模糊單位陣，記為I；模糊零矩陣，記為0；元素皆為1 的矩陣用表示。定義5 若A和B是nm和ml的模糊矩陣，則它們的乘積C=AB為nl陣, 其元素為：Cij=(i=1, 2, , n; j=1, 2, , l) (20.1)符號(hào)“”和“”含意的定義為： ab=max(a, b)，ab=min(a, b)。模糊矩陣乘法性質(zhì)包括: 1) (AB)C=A (BC)；2) AI=IA=A；3) A0=0A=0;4) AJ=JA; 5) 若A、B為模糊矩陣且aij bij (一切i, j)，則AB，又若AB, 則AC BC，CACB。定義6 n個(gè)樣品的全體所組成的集合X作為全域，令XY=(X, Y)xX, yY,則稱XY為X的全域乘積空間。定義7 設(shè)R為XY上的一個(gè)集合，并且滿足：1) 反身性: (xi , yi)R，即集合中每個(gè)元素和它自己同屬一類；2) 對(duì)稱性: 若(x, y)R，則(y, x)R，即集合中(x, y)元素同屬于類R 時(shí), 則(y, x)也同屬于R；3) 傳遞性: (x, y)R，(y, z)R，則有(x, z)R。上述三條性質(zhì)稱為等價(jià)關(guān)系，滿足這三條性質(zhì)的集合R為一分類關(guān)系。7.4.2 模糊綜合評(píng)價(jià)法綜合評(píng)判就是對(duì)受到多個(gè)因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€(gè)總的評(píng)價(jià)，這是在日常生活和科研工作中經(jīng)常遇到的問題，如產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評(píng)價(jià)等，都屬于綜合評(píng)判問題。由于從多方面對(duì)事物進(jìn)行評(píng)價(jià)難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評(píng)判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果。模糊綜合評(píng)判的數(shù)學(xué)模型可分為一級(jí)模型和多級(jí)模型。7.4.2.1一級(jí)模型模糊綜合評(píng)判步驟(1) 建立評(píng)判對(duì)象因素集U=u1, u2, , un。因素就是對(duì)象的各種屬性或性能，在不同場(chǎng)合，也稱為參數(shù)指標(biāo)或質(zhì)量指標(biāo)，它們能綜合地反映出對(duì)象的質(zhì)量，因而可由這些因素來評(píng)價(jià)對(duì)象。(2) 建立評(píng)判集V=v1, v2, , vn。如工業(yè)產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，評(píng)判集是等級(jí)的集合；農(nóng)作物種植區(qū)域適應(yīng)性的評(píng)價(jià)，評(píng)判集是適應(yīng)程度的集合。(3) 建立單因素評(píng)判，即建立一個(gè)從U到F(V)的模糊映射 0rij 1, 1 i n, 1 j m由f可以誘導(dǎo)出模糊關(guān)系，得到模糊矩陣稱R為單因素評(píng)判矩陣，于是(U, V, R)構(gòu)成了一個(gè)綜合評(píng)判模型。(4) 綜合評(píng)判。由于對(duì)U中各個(gè)因素有不同的側(cè)重，需要對(duì)每個(gè)因素賦予不同的權(quán)重，它可表示為U上的一個(gè)模糊子集A=(a1, a2, , an )，且規(guī)定.在R與A求出之后，則綜合評(píng)判模型為S=A o R。記S=(S1, S2, , Sm )，它是V上的一個(gè)模糊子集，其中“”為模糊合成算子,通常有四種算子：算子，算子，算子，算子。如果評(píng)判結(jié)果，就對(duì)其結(jié)果進(jìn)行歸一化處理。從上述模糊綜合評(píng)判的4個(gè)步驟可以看出，建立單因素評(píng)判矩陣R和確定權(quán)重分配A是兩項(xiàng)關(guān)鍵性的工作，但同時(shí)又沒有統(tǒng)一的格式可以遵循，一般可采用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)或?qū)＜以u(píng)分的方法求出。 在綜合評(píng)判模型中，“”為模糊合成算子。進(jìn)行模糊變換時(shí)要選擇適宜的模糊合成算子。(1) 算子：，符號(hào)“”為取小， “ ” 為取大。(2) 算子。(3) 算子，“”是有界和運(yùn)算，即在有界限制下的普通加法運(yùn)算對(duì)個(gè)實(shí)數(shù)有利用算子，有。 (4) 算子,。以上四個(gè)算子在綜合評(píng)價(jià)中的特點(diǎn)是：特點(diǎn)算 子體現(xiàn)權(quán)數(shù)作用不明顯明顯不明顯明顯綜合程度弱弱強(qiáng)強(qiáng)利用R的信息不充分不充分比較充分充分類型主因素突出型主因素突出型加權(quán)平均型加權(quán)平均型和在運(yùn)算中能突出對(duì)綜合評(píng)判起作用的主要因素，在確定時(shí)不一定要求其分量之和為1，即不一定是權(quán)向量，故為主因素突出型和在運(yùn)算時(shí)兼顧了各因素的作用，為名符其實(shí)的權(quán)向量，應(yīng)滿足各分量之和為1，故為加權(quán)平均型最后通過對(duì)模糊評(píng)判向量S的分析作出綜合結(jié)論一般可以采用以下三種方法：(1) 最大隸屬原則模糊評(píng)判集=中為等級(jí)對(duì)模糊評(píng)判集的隸屬度，按最大隸屬度原則作出綜合結(jié)論，即所對(duì)應(yīng)的元素為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果該方法雖簡(jiǎn)單易行，但只考慮隸屬度最大的點(diǎn)，其它點(diǎn)沒有考慮，損失的信息較多(2) 加權(quán)平均原則加權(quán)平均原則是基于這樣的思想：將等級(jí)看作一種相對(duì)位置，使其連續(xù)化為了能定量處理，不妨用“”依次表示各等級(jí)，并稱其為各等級(jí)的秩然后用S中對(duì)應(yīng)分量將各等級(jí)的秩加權(quán)求和，得到被評(píng)事物的相對(duì)位置這就是加權(quán)平均原則，可表示為 （7.41）其中為待定系數(shù)（1或2），目的是控制較大的所起的作用可以證明，當(dāng)時(shí)，加權(quán)平均原則就是最大隸屬原則 (3) 模糊向量單值化如果給等級(jí)賦予分值，然后用S中對(duì)應(yīng)的隸屬度將分值加權(quán)求平均就可以得到一個(gè)點(diǎn)值，便于比較排序設(shè)給個(gè)等級(jí)依次賦予分值，一般情況下（等級(jí)由高到低或由好到差），且間距相等，則模糊向量可單值化為 （7.42）其中的含義與作用同（7.41）中的相同多個(gè)被評(píng)事物可以依據(jù)（7.42）式由大到小排出次序以上三種方法可以依據(jù)評(píng)價(jià)目的來選用，如果需要序化，可選用后兩種方法，如果只需給出某事物一個(gè)總體評(píng)價(jià)結(jié)論，則用第一種方法7.4.2.2 多級(jí)模型模糊綜合評(píng)判步驟有些情況因?yàn)橐紤]的因素太多，而權(quán)重難以細(xì)分，或因各權(quán)重都太小，使得評(píng)價(jià)失去實(shí)際意義，為此可根據(jù)因素集中各指標(biāo)的相互關(guān)系，把因素集按不同屬性分為幾類可先在因素較少的每一類（二級(jí)因素集）中進(jìn)行綜合評(píng)判，然后再對(duì)綜合評(píng)判的結(jié)果進(jìn)行類之間的高層次評(píng)判如果二級(jí)因素集中有些類含的因素過多，可對(duì)它再作分類，得到三級(jí)以至更多級(jí)的綜合評(píng)判模型注意要逐級(jí)分別確定每類的權(quán)重以二級(jí)綜合評(píng)判為例給出其數(shù)學(xué)模型：設(shè)第一級(jí)評(píng)價(jià)因素集為；各評(píng)價(jià)因素相應(yīng)的權(quán)重集為；第二級(jí)評(píng)價(jià)因素集為 ,；相應(yīng)的權(quán)重集為；相應(yīng)的單因素評(píng)判矩陣為： ，；二級(jí)綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型為。7.4.3 模糊綜合評(píng)判應(yīng)用某地對(duì)區(qū)級(jí)醫(yī)院20012002年醫(yī)療質(zhì)量進(jìn)行總體評(píng)價(jià)與比較，按分層抽樣方法抽取兩年內(nèi)某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例患者年齡構(gòu)成與病情兩年間差別沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，觀察三項(xiàng)指標(biāo)分別為療效、住院日、費(fèi)用規(guī)定很好、好、一般、差的標(biāo)準(zhǔn)見表7.4-1，病人醫(yī)療質(zhì)量各等級(jí)頻數(shù)分布見表7.42表7.4-1 很好、好、一般、差的標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)很好好一般差療效治愈顯效好轉(zhuǎn)無效住院日151620212525費(fèi)用（元）140014001800180022002200表7.4-2 兩年病人按醫(yī)療質(zhì)量等級(jí)的頻數(shù)分配表指標(biāo)很好質(zhì)量好等級(jí)一般差療效01年 02年160 170380 41020 1040 60住院日01年 02年180 200 250 310130 12040 20費(fèi)用01年 02年130 110270 320130 12070 100現(xiàn)綜合考慮療效、住院日、費(fèi)用三項(xiàng)指標(biāo)對(duì)該醫(yī)院2001與2002兩年的工作進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)1據(jù)評(píng)價(jià)目的確定評(píng)價(jià)因素集合評(píng)價(jià)因素集合為=療效，住院日，費(fèi)用2給出評(píng)價(jià)等級(jí)集合 如評(píng)價(jià)等級(jí)集合為=很好，好，一般，差3確定各評(píng)價(jià)因素的權(quán)重設(shè)療效，住院日，費(fèi)用各因素權(quán)重依次為0.5，0.2，0.3，即42001年與2002年兩個(gè)評(píng)價(jià)矩陣分別為= = 5綜合評(píng)價(jià)作權(quán)系數(shù)矩陣與評(píng)價(jià)矩陣的模糊乘積運(yùn)算如果突出療效，且只需對(duì)該地區(qū)級(jí)醫(yī)院20012002年醫(yī)療質(zhì)量進(jìn)行總體工作情況給出一個(gè)總體評(píng)價(jià)結(jié)論，可采用算子，確定模糊評(píng)判集，按最大隸屬度原則進(jìn)行評(píng)判：=按最大隸屬度原則，兩年最大隸屬度均為0.500，可以認(rèn)為對(duì)某地區(qū)區(qū)級(jí)醫(yī)院2001年與2002年醫(yī)療質(zhì)量評(píng)價(jià)結(jié)果均為“好”如果突出療效，且對(duì)該地區(qū)級(jí)醫(yī)院20012002年醫(yī)療質(zhì)量進(jìn)行排序，也可采用算子確定的模糊評(píng)判集，按加權(quán)平均原則進(jìn)行評(píng)判：將評(píng)價(jià)等級(jí)很好，好，一般，差分別賦值為4，3，2，12001年的評(píng)價(jià)結(jié)果為=2.8332002年的評(píng)價(jià)結(jié)果為=2.7902001年的工作質(zhì)量略好于2002年以上評(píng)判結(jié)果均沒有充分兼顧住院日與費(fèi)用的作用，如果充分考慮各因素的作用在作權(quán)系數(shù)矩陣與評(píng)價(jià)矩陣的模糊運(yùn)算的時(shí)候可以采用算子或算子7.5 灰色關(guān)聯(lián)分析法“灰”表示部分信息清楚，部分信息不清楚，即信息不完全凡是信息不完全確知的系統(tǒng)都可稱為灰色系統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的一個(gè)分支應(yīng)用灰色關(guān)聯(lián)分析方法對(duì)受多種因素影響的事物和現(xiàn)象從整體觀念出發(fā)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)是一個(gè)被廣為接受的方法。 7.5.1灰色關(guān)聯(lián)分析的步驟利用灰色關(guān)聯(lián)分析進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的步驟是：1根據(jù)評(píng)價(jià)目的確定評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，收集評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：其中為指標(biāo)的個(gè)數(shù)，2確定參考數(shù)據(jù)列 參考數(shù)據(jù)列應(yīng)該是一個(gè)理想的比較標(biāo)準(zhǔn)，可以以各指標(biāo)的最優(yōu)值 （或最劣值）構(gòu)成參考數(shù)據(jù)列，也可根據(jù)評(píng)價(jià)目的選擇其它參照值記作3對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化 無量綱化后的數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：常用的無量綱化方法有均值化法（見（7.51）式）、初值化法（見（7.52）式）和變換等或采用內(nèi)插法使各指標(biāo)數(shù)據(jù)取值范圍（或數(shù)量級(jí)）相同例如，某地縣級(jí)醫(yī)院病床使用率最高為90%，最低為60%，我們可以將90%轉(zhuǎn)化10，60%轉(zhuǎn)化為1，其它可以通過內(nèi)插法確定其轉(zhuǎn)化值如80%轉(zhuǎn)化為多少？可進(jìn)行如下計(jì)算： 解之得，即80%轉(zhuǎn)化為74逐個(gè)計(jì)算每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象指標(biāo)序列（比較序列）與參考序列對(duì)應(yīng)元素的絕對(duì)差值即 （ 為被評(píng)價(jià)對(duì)象的個(gè)數(shù)）5確定 與6計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù) 分別計(jì)算每個(gè)比較序列與參考序列對(duì)應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù)：, （7.5-3)式中為分辨系數(shù)，在（0，1）內(nèi)取值，越小，關(guān)聯(lián)系數(shù)間的差異越大，區(qū)分能力越強(qiáng)通常取0.5當(dāng)用各指標(biāo)的最優(yōu)值 （或最劣值），構(gòu)成參考數(shù)據(jù)列計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，也可用改進(jìn)的更為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法： 改進(jìn)后的方法不僅可以省略第三步，使計(jì)算簡(jiǎn)便，而且避免了無量綱化對(duì)指標(biāo)作用的某些負(fù)面影響如果為最優(yōu)值數(shù)據(jù)列，越大，越好；如果為最劣值數(shù)據(jù)列，越大，越不好7計(jì)算關(guān)聯(lián)序 對(duì)各評(píng)價(jià)對(duì)象（比較序列）分別計(jì)算其個(gè)指標(biāo)與參考序列對(duì)應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值，以反映各評(píng)價(jià)對(duì)象與參考序列的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并稱其為關(guān)聯(lián)序，記為： 8如果各指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中所起的作用不同，可對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)求加權(quán)平均值即 式中為各指標(biāo)權(quán)重9依據(jù)各觀察對(duì)象的關(guān)聯(lián)序，得出綜合評(píng)價(jià)結(jié)果7.5.2灰色關(guān)聯(lián)分析的應(yīng)用舉例利用灰色關(guān)聯(lián)分析對(duì)6位教師工作狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。1評(píng)價(jià)指標(biāo)包括：專業(yè)