湖南大學(xué)微積分17-第17講高階導(dǎo)數(shù).ppt

一元微積分學(xué) 大學(xué)數(shù)學(xué) 一 第十七講高階導(dǎo)數(shù) 腳本編寫 教案制作 劉楚中彭亞新鄧愛珍劉開宇孟益民 第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 本章學(xué)習(xí)要求 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念 熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導(dǎo) 可微 連續(xù)之間的關(guān)系 熟悉一階微分形式不變性 熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則 能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法 反函數(shù)求導(dǎo)法 參數(shù)方程求導(dǎo)法 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一 二階導(dǎo)數(shù)和微分 了解n階導(dǎo)數(shù)的概念 會(huì)求常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù) 熟悉羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰勒中值定理 并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問題 函數(shù)方程求解 不等式的證明等 掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù) 第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 一 高階導(dǎo)數(shù)的概念 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 一 高階導(dǎo)數(shù)的概念 推而廣之 按照一階導(dǎo)數(shù)的極限形式 有 和 一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定再可導(dǎo) 也不一定連續(xù) 如果函數(shù)f x 在區(qū)間I上有直到n階的導(dǎo)數(shù)f n x 且f n x 仍是連續(xù)的 此時(shí)低于n階的導(dǎo)數(shù)均連續(xù) 則稱f x 在區(qū)間I上n階連續(xù)可導(dǎo) 記為 如果f x 在區(qū)間I上的任意階的高階導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù) 則稱函數(shù)f x 是無窮次連續(xù)可導(dǎo)的 記為 解 注意 當(dāng)k n時(shí) 綜上所述 解 多項(xiàng)式 的高階導(dǎo)數(shù) 解 對(duì)多項(xiàng)式而言 每求一次導(dǎo)數(shù) 多項(xiàng)式的次數(shù)降低一次 n次多項(xiàng)式的n階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù) 大于多項(xiàng)式次數(shù)的任何階數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為0 求y ex的各階導(dǎo)數(shù) 解 y ex的任何階導(dǎo)數(shù)仍為ex 求y ax的各階導(dǎo)數(shù) 解 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可得 求y lnx的各階導(dǎo)數(shù) 解 設(shè) 類似地 有 則 故由數(shù)學(xué)歸納法得 解 注意這里的方法 即 類似地 有 解 看出結(jié)論沒有 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得 類似地 可求得 解 解 二階導(dǎo)數(shù)經(jīng)常遇到 一定要掌握 解 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則 得 解 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè)f x g x 有直到n階的導(dǎo)數(shù) 則 1 2 萊布尼茲公式 兩個(gè)基本公式 由于 故 解 解 由萊布尼茲公式 證 看出一點(diǎn)什么沒有 你打算怎么處理此式 對(duì)上式關(guān)于x求導(dǎo)n次 故 即 隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 原則是 按照高階導(dǎo)數(shù)的定義 運(yùn)用隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則逐階進(jìn)行求導(dǎo) 對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo) 解 想想如何求二階導(dǎo)數(shù) 對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo) 得