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二次函數(shù)競賽題 1 二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為 D 與 x 軸正方向從左至右依次交于 A B 兩點(diǎn) 與 y 軸正方向cbxxy 2 交于 C 點(diǎn) 若 ABD 和 OBC 均為等腰直角三角形 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 則 cb2 2 在直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn) A 0 1 B 1 3 C 2 6 已知直線上橫坐標(biāo)為 0 1 2 的點(diǎn)分baxy 別為 D E F 試求的值使得 AD2 BE2 CF2達(dá)到最小值 ba 3 2004 年 TRULY 信利杯 全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 實(shí)數(shù) x y z 滿足 x y z 5 xy yz zx 3 則 z 的最大 值是 4 已知直線與拋物線相交于 A B 兩點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 那么 OAB 的面積等于32 xy 2 xy 5 2003 年 TRULY 信利杯 全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 已知二次函數(shù) y ax2 bx c 其中 a 是正整數(shù) 的圖象 經(jīng)過點(diǎn) A 1 4 與點(diǎn) B 2 1 并且與 x 軸有兩個不同的交點(diǎn) 則 b c 的最大值為 6 設(shè)拋物線的圖象與 x 軸只有一個交點(diǎn) 1 求 a 的值 2 求的 4 5 212 2 axaxy 618 323 aa 值 7 通過實(shí)驗(yàn)研究 專家們發(fā)現(xiàn) 初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的 講課開 始時 學(xué)生的興趣激增 中間有一段時間 學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài) 隨后開始分散 學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù) y 隨時間 x 分鐘 變化的函數(shù)圖象如圖所示 y 越大表示學(xué)生注意力越集中 當(dāng)時 圖象是拋物100 x 線的一部分 當(dāng)和時 圖象是線段 2010 x4020 x 1 當(dāng)時 求注意力指標(biāo)數(shù) y 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式 100 x 2 一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解 24 分鐘 問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排 使學(xué)生在聽這道題時 注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于 36 8 課題研究 現(xiàn)有邊長為 120 厘米的正方形鐵皮 準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個開口的水槽 使水槽能通過的水 的流量最大 初三 1 班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論 在水流速度一定的情況下 水槽的橫截面面積越大 則通過 水槽的水的流量越大 為此 他們對水槽的橫截面進(jìn)行了如下探索 1 方案 把它折成橫截面為直角三角形的水槽 如圖 a 若 ACB 90 設(shè) AC x 厘米 該水槽的橫截面面積為 y 厘米 2 請你寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 不必 寫出 x 的取值范圍 并求出當(dāng) x 取何值時 y 的值最大 最大值又是多少 方案 把它折成橫截面為等腰梯形的水槽 如圖 b 若 ABC 120 請你求出該水槽的橫截面面積 的最大值 并與方案 中的 y 的最大值比較大小 2 假如你是該興趣小組中的成員 請你再提供兩種方案 使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大 畫 出你設(shè)計(jì)的草圖 標(biāo)上必要的數(shù)據(jù) 不要求寫出解答過程 9 如圖 拋物線與雙曲線相交于點(diǎn) A B 已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 1 4 點(diǎn) B 在第 2 0 yaxbx a k y x 三象限內(nèi) 且 AOB 的面積為 3 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 1 求實(shí)數(shù) a b k 的值 2 過拋物線上點(diǎn) A 作直線 AC x 軸 交拋物線于另一點(diǎn) C 求所有 滿 足 EOC AOB 的點(diǎn) E 的坐標(biāo) 10 如圖 拋物線與軸交于兩點(diǎn) 與軸交于點(diǎn) 2 230ymxmxm m xAB yC 1 請求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo) 用含的代數(shù)式表示 兩點(diǎn)的坐標(biāo) MmAB 2 經(jīng)探究可知 與的面積比不變 試求出這個比值 BCM ABC 3 是否存在使為直角三角形的拋物線 若存在 請求出 如果不存在 請說明BCM 理由 11 已知拋物線與動直線有公共點(diǎn) 且 2 yx cxty 12 11 yx 22 yx32 22 2 2 1 ttxx 1 求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 2 當(dāng) t 為何值時 c 取到最小值 并求出 c 的最小值 12 已知 且 求的最小值 0 a0 b0 cacbacb24 2 acb4 2 13 在自變量 x 的取值范圍 59 x 60 內(nèi) 二次函數(shù)的函數(shù)值中整數(shù)的個數(shù)是 2 1 2 yxx A 59 B 120 C 118 D 60 14 在直角坐標(biāo)系中 拋物線與 x 軸交于 A B 的兩點(diǎn) 若 A B 兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距 22 3 0 4 yxmxm m 離分別為 OA OB 且滿足 則 m 112 3OBOA 15 Rt ABC 的三個頂點(diǎn) A B C 均在拋物線上 并且斜邊 AB 平行于 x 軸 若斜邊上的高為 h 則 2 xy A h 1 B h 1 C 1 h2 16 設(shè) 0 k 1 關(guān)于 x 的一次函數(shù) 當(dāng) 1 x 2 時的最大值是 1 1 x k kxy A k B C D k k 1 2 k 1 k k 1 17 平面直角坐標(biāo)系中 如果把橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn) 那么函數(shù)的圖象上整點(diǎn) 12 12 x x y 的個數(shù)是 A 2 個 B 4 個 C 6 個 D 8 個 18 函數(shù)的最小值是 142 2 xxy 圖 6 2 y x 0 1 19 對 二次函數(shù)的最小值為 22 0baab bxaxy A B C D 2 2 ba 2 2 ba 2 2 ba 2 2 ba 20 兩拋物線和與 x 軸交于同一點(diǎn) 非原點(diǎn) 且 a b c 為正數(shù) 22 2baxxy 22 2bcxxy a c 則以 a b c 為邊的三角形一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形 D 等腰或直角三角形 21 當(dāng) n 1 2 3 2003 2004 時 二次函數(shù)的圖象與 x 軸所截得的線1 12 22 xnxnny 段長度之和為 A B C D 2003 2002 2004 2003 2005 2004 2006 2005 22 已知二次函數(shù)圖象如圖 6 2 所示 則下列式子 ab ac a b c cbxaxy 2 a b c 2a b 2a b 中 其值為正的式子共有 個 23 如果當(dāng) m 取不等于 0 和 1 的任意實(shí)數(shù)時 拋物線在平面直角坐標(biāo)系上都過兩 m m x m x m m y 321 2 個定點(diǎn) 那么這兩個定點(diǎn)間的距離為 24 已知拋物線與 x 軸兩個交點(diǎn) A B 不全在原點(diǎn)的左側(cè) 拋物線頂點(diǎn)為 C 要使 ABC1 1 2 xkxy 恰為等邊三角形 那么 k 的值為 25 設(shè) x 為實(shí)數(shù) 則函數(shù)的最小值是 1 2 1 563 2 2 xx xx y 26 設(shè)二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) 2 1 且與 x 軸交于不同的兩點(diǎn) A x1 0 B x2 0 qpxxy 2 M 為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn) 求使 AMB 面積最小時的二次函數(shù)的解析式 27 已知 3x2 2y2 6x x 和 y 都是實(shí)數(shù) 求 x2 y2 的最大 最小值 FE G AB CD A t s O N M H G F E DC B A D t s O B t s O C t s O 28 中 B AC 1 求 BA BC 的最大值及這時三角形的形狀 ABC 60 29 如圖 點(diǎn) 在直線上 點(diǎn) 在直線上 若 從如圖所示 的GDCaEFABbab Rt GEF 位置出發(fā) 沿直線向右勻速運(yùn)動 直到與重合 運(yùn)動過程中與矩形重合部分的面積bEGBCGEF ABCD 隨時間變化的圖象大致是 S t 30 南京 如圖 分別是邊長為的正方形的邊上的點(diǎn) 直線 EF4ABCDBCCD 4 1 3 CECF EF 交的延長線于 過線段上的一個動點(diǎn)作 垂足分別為 設(shè) ABGFGHHMAG HNAD MN HMx 矩形的面積為AMHNy 求與之間的函數(shù)關(guān)系式 yx 當(dāng)為何值時 矩形的面積最大 最大面積為多少 xAMHN 31 已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖 1 所示 1 請說明圖中 兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義 2 寫出批發(fā)該種水果的資金金額 w 元 與批發(fā)量 m kg 之間的函數(shù)關(guān)系式 在下圖的坐標(biāo)系中畫出該 函數(shù)圖象 指出金額在什么范圍內(nèi) 以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果 3 經(jīng)調(diào)查 某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖 2 所示 該經(jīng)銷商擬每日 售出 60kg 以上該種水果 且當(dāng)日零售價不變 請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案 使得當(dāng)日獲得的利 潤最大 2 1 O1x 2 價 價 價 價 kg價 價 價 價 價 價 價 價 O 60 20 4 5 7 6 40 80 價 價 價 價 價 價 價 價 價 價 價 價 kg價 O 32 函數(shù)的最小值為 m 則當(dāng) m 達(dá)到最大時 x 623 12 2 22 kkxkxy 2004 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 33 設(shè) a b 為實(shí)常數(shù) k 取任意實(shí)數(shù)時 函數(shù)的圖像與 x 3 2 1 2222 bakkxkaxkky 軸交于點(diǎn) A 1 0 1 求 a b 的值 2 若函數(shù)與 x 軸的另一個交點(diǎn)為 B 當(dāng) k 變化時 求 AB 的最大值 34 2007 年福州 如圖所示 二次函數(shù) a 0 的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1 2 且與 x 軸交點(diǎn)的 2 yaxbxc 橫坐標(biāo)分別為 其中 2 1 0 1 下列結(jié)論 1 x 2 x 1 x 2 x a 1 其中正確的有 420abc 20ab 2 84baac A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 35 2007 年天門 施工隊(duì)要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道 其高度為 6 米 寬度 OM 為 12 米 現(xiàn)在 O 點(diǎn)為原點(diǎn) OM 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系 如圖所示 1 直接寫出點(diǎn) M 及拋物線頂點(diǎn) P 的坐標(biāo) 2 求出這條拋物線的函數(shù)解析式 3 施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個矩形 腳手架 ABCD 使 A D 點(diǎn)在拋物線上 B C 點(diǎn)在地面 OM 上 為了籌備材料 需求出 腳手架 三根木桿 AB AD DC 的長度之和的最大值是多少 請你幫施工 隊(duì)計(jì)算一下 36 2009 年天津市 已知函數(shù)為方程的兩個根 點(diǎn)在 2 12 yxyxbxc 12 0yy 1MT 函數(shù)的圖象上 2 y 若 求函數(shù)的解析式 11 32 2 y 在 的條件下 若函數(shù)與的圖象的兩個交點(diǎn)為 當(dāng)?shù)拿娣e為時 求 的值 1 y 2 yAB ABM 1 12 t 若 當(dāng)時 試確定三者之間的大小關(guān)系 并說明理由 01 01t T 37 已知點(diǎn) A 0 3 B 2 1 C 2 1 P t t2 為拋物線 y x2上位于三角形 ABC 內(nèi) 包括邊界 的一動點(diǎn) BP 所在的直線交 AC 于 E CP 所在的直線交 AB 于 F 將表示為自變量 t 的函數(shù) BF CE 38 在直角坐標(biāo)系 xOy 中 一次函數(shù)的圖象與軸 軸的正半軸分別交于 A B 兩點(diǎn) bkxy 0k xy 且使得 OAB 的面積值等于 3OAOB