廣東省惠州市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次調(diào)研考試試題理.docx

廣東省惠州市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次調(diào)研考試試題 理全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上。2作答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1已知全集，則( )A B C D2設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第( )象限A一 B二 C三 D四3已知，則( )A B C D4在直角坐標(biāo)系中，已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則= ( )A B C D5在平行四邊形ABCD中，為的中點(diǎn)， 則= ( )A B C D6設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的 ( ) 條件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要7數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，它是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”。該數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是( )ABCD8易經(jīng)是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓之一。右圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽(yáng)線，“ ”表示一根陰線）。從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽(yáng)線和三根陰線的概率為( ) A B C DxyOxyOxyOxyO9函數(shù)的圖象的大致形狀是( )A B C D 10如圖，平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)A，平面平面平面，則m、n所成角的正弦值為( )A B C D 11已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與面積之和的最小值是( )A2B3CD12已知函數(shù)滿足， 且在上有最小值，無(wú)最大值。給出下述四個(gè)結(jié)論：； 若，則；的最小正周期為3； 在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為1346個(gè)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第15題第一空2分，第二空3分。13執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值是_14若，則的值是_15設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_，_16已知雙曲線的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，與在第一象限的公共點(diǎn)為若直線斜率為，則雙曲線離心率的值是_三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（本小題滿分12分）在平面四邊形中，CADB（1）若的面積為，求；（2）若，求18（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形ABCD中，E為CD中點(diǎn)，以AE為折痕把折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置平面（1）證明：；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角的余弦值19.（本小題滿分12分）為發(fā)揮體育核心素養(yǎng)的獨(dú)特育人價(jià)值，越來(lái)越多的中學(xué)將某些體育項(xiàng)目納入到學(xué)生的必修課程。惠州市某中學(xué)計(jì)劃在高一年級(jí)開(kāi)設(shè)游泳課程，為了解學(xué)生對(duì)游泳的興趣，某數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查。（1）已知在被抽取的學(xué)生中高一班學(xué)生有6名，其中3名對(duì)游泳感興趣，現(xiàn)在從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對(duì)游泳感興趣的概率；（2）該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對(duì)游泳感興趣的學(xué)生中有部分曾在市級(jí)或市級(jí)以上游泳比賽中獲獎(jiǎng)，具體獲獎(jiǎng)人數(shù)如下表所示。若從高一班和高一班獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)各抽取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，記選中的4人中市級(jí)以上游泳比賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望。班級(jí)一一一一一一一一一一市級(jí)比賽獲獎(jiǎng)人數(shù)2233443342市級(jí)以上比賽獲獎(jiǎng)人數(shù)221023321220（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中.（1）若，求的面積；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形。21（本題滿分12分）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，均有，求的取值范圍。注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。答題時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑。22（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于的三點(diǎn)，都在曲線上（1）求證：；（2）若過(guò)，兩點(diǎn)的直線參數(shù)方程為（為參數(shù)），求四邊形的面積23（本小題滿分10分）選修45：不等式選講 已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則1、 選擇題題號(hào)123456789101112答案DBDACADDADBC1.【解析】，故選D.2.【解析】，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選B.3.【解析】，所以.故選D.4.【解析】因?yàn)榻墙K邊落在直線上，所以，所以故選A.5.【解析】如圖所示，()().故選C.6.【解析】依題意，知，且，解得a.故選A.7.【解析】，所以，故選D.8.【解析】故選D.9.【解析】是偶函數(shù)，排除C、D，又故選A.10.【解析】如圖：面，面，面，可知，因?yàn)槭钦切?，所成角?0則m、n所成角的正弦值為故選D11.【解析】設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn),，直線AB與x軸的交點(diǎn)為，由，根據(jù)韋達(dá)定理有,，結(jié)合及，得，點(diǎn)A、B位于x軸的兩側(cè)，故不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則,又,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”號(hào)，與面積之和的最小值是3故選B12.【解析】區(qū)間中點(diǎn)為，根據(jù)正弦曲線的對(duì)稱(chēng)性知,正確。若，則，即，不妨取，此時(shí)，滿足條件，但為上的最大值，不滿足條件，故錯(cuò)誤。不妨令，兩式相減得,即函數(shù)的周期，故正確。區(qū)間的長(zhǎng)度恰好為673個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在開(kāi)區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為，故錯(cuò)誤。故正確的是，故選C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第15題第一空2分，第二空3分。13、6 14、3 15、 1（2分）；121（3分） 16、 13.【解析】故答案為6.14.【解析】令，得，令，則所以15.【解析】由時(shí)，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得，16.【解析】因?yàn)槭请p曲線的右焦點(diǎn)且是拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為：；由，如圖過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)，則，由，可得在中，由余弦定理得即，化簡(jiǎn)得，又，故答案為三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17（本小題滿分12分）【解析】（1）在中，因?yàn)椋?分所以，解得2分在中，由余弦定理得，4分因?yàn)?，所?5分（2）設(shè)，則 6分在中，因?yàn)?，所?7分在中， 8分由正弦定理得，即，9分所以，所以， 10分即， 11分所以，即 12分18.（本小題滿分12分）【解析】（1）證明：連接BD，設(shè)AE的中點(diǎn)為O，四邊形ABCE為平行四邊形，1分，為等邊三角形，2分又，平面POB，平面POB 3分【注】無(wú)寫(xiě)出此步驟不得分。平面POB 4分又平面POB， 5分（2）【解法一】向量法在平面POB內(nèi)作平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，直線PB與平面ABCE夾角為，又，、Q兩點(diǎn)重合，即平面ABCE, 6分【注】無(wú)證明此得分點(diǎn)不給分。以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則0,，0,，0,，7分設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為y,，則，即, 8分令，得 9分又平面PAE，1,為平面PAE的一個(gè)法向量 10分設(shè)二面角為，則 11分易知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為12分F【解法二】幾何法在平面POB內(nèi)作平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，直線PB與平面ABCE夾角為，又，、Q兩點(diǎn)重合，即平面ABCE，6分【注】無(wú)證明此得分點(diǎn)不給分。過(guò)點(diǎn)C作CHAE交于點(diǎn)H，連結(jié)PH，則二面角A-PE-C與二面角H-PE-C互為補(bǔ)角。又因?yàn)镃HPO，所以CH面PAE，過(guò)H作HFPE交于點(diǎn)F，連結(jié)CF，由三垂線定理知CFPE所以CFH為二面角H-PE-C的平面角。7分在RtCHE中，CEH=60，CE=1，所以HE=，CE=，8分在RtHFE中，F(xiàn)EH=60，HE=，所以HF=9分在RtCHF中，由勾股定理知CF=10分故cosCFH= 11分所以二面角的余弦值為12分19.（本小題滿分12分）【解析】（1）【解法一】記事件從6名學(xué)生抽取的3人中恰好有i人有興趣，1，2，；則與互斥1分故所求概率為2分 3分；4分【解法二】記事件從6名學(xué)生抽取的3人中恰好有i人有興趣，1，2，；則與互斥1分故所求概率為2分 3分；4分（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3；5分 6分 7分 8分 9分則的分布列為：0123p10分【注】無(wú)列表此得分點(diǎn)不得分。數(shù)學(xué)期望為 12分 20.（本小題滿分12分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，代入橢圓方程可得或 1分若，此時(shí)直線l：2分聯(lián)立，消x整理可得3分解得或，故B 4分所以的面積為 . 5分，由對(duì)稱(chēng)性知的面積也是，綜上可知，當(dāng)時(shí)，的面積為.6分（2）【解法一】顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l： 7分聯(lián)立，消去x整理得 由，得8分則， ,9分因?yàn)橹本€TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，所以10分 設(shè)，則, 即,解得. 11分故x軸上存在定點(diǎn)，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形12分【解法二】顯然直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l： 7分聯(lián)立，消去整理得由，得,8分則， ,9分因?yàn)橹本€TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，所以10分 設(shè)，則即，解得. 11分故x軸上存在定點(diǎn)，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形12分21（本題滿分12分）【解析】（1）【解法一】由，解得 1分若，則當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為2分若，則當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為3分綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為4分【解法二】令其中.令得 當(dāng)當(dāng) 1分又當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減。2分由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 3分綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為4分。（2），即（）令，得，則 5分當(dāng)時(shí)，不等式（）顯然成立， 當(dāng)時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)，即恒成立 6分令函數(shù)，即在內(nèi)恒成立7分由，得故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減. 8分因此 9分令函數(shù)，其中，則，得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 10分又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，因此恒成立， 11分綜上知：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，均有成立12分22.（本小題滿分10分）【解析】（1）【解法1】由，3分則 4分所以5分【解法2】的直角坐標(biāo)方程為，如圖所示，1分假設(shè)直線OA、OB、OC的方程為，由點(diǎn)到直線距離公式可知在直角三角形OMF中，由勾股定理可知，得2分由直線方程可知，所以，得3分所以，得4分所以5分（2）【解法一】曲線的普通方程為：，6分將直線的參數(shù)方程代入上述方程，整理得，解得；7分平面直角坐標(biāo)為8分則；又得. 9分即四邊形面積為為所求. 10分【解法二】由BC的參數(shù)方程化為普通方程得：5分聯(lián)立解得或，即,6分點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)為7分直線OB的方程為，點(diǎn)A到直線OB的距離為8分10分23（本小題滿分10分）【解析