從偏微分到常微分之拉普拉斯變換.doc

從偏微分到常微分之拉普拉斯變換摘要簡單介紹常微分方程與偏微分方程的異同，舉例應用拉普拉斯變換求解齊次和非齊次偏微分方程中，歸納總結拉普拉斯變換在求解典型偏微分方程中的步驟。 關鍵詞：拉普拉斯變換 常微分方程 偏微分方程前言在大三上學期的選課就有人介紹說偏微分方程比常微分方程難很多。確實，在修讀完分析學應用這門課后，加上自己做作業(yè)查到的資料，覺得偏微分比常微分難很多。個人認為常微分是偏微分的一種特例，而偏微分是常微分的推廣。關于常微分方程與偏微分方程的見解常微分方程和偏微分方程都是研究微分方程的。微分方程是凡含有參數(shù)，未知函數(shù)和未知函數(shù)導數(shù)的方程，如果一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，描述的是一個量隨一個自變量變化的規(guī)律，如位置隨時間的變化規(guī)律；如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對應幾個變量的導數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程，描述的是一個量隨著兩個或更多自變量變化的規(guī)律。比如溫度隨著時間位置的變化。這樣就需要時間和三個空間維度四個變量的偏微分方程來描述。雖然兩者研究的對象一樣，但是偏微分方程一般比常微分方程復雜。偏微分不僅自變量多，而且各個自變量之間會有相關聯(lián)，比如溫度隨時間和位置變化而變化，同時位置的變化又和時間有關，所以很復雜。而這自變量之間關聯(lián)程度用耦合性來表示。偏微分一般用數(shù)值法求解，比如天氣預報，就是用計算機求解偏微分方程得到的。不僅如此，兩者研究的重點也不一樣，常微分方程比較簡單，只是研究帶有導數(shù)的方程、方程組之類的通解、特解，與現(xiàn)實生活中的很多問題聯(lián)系密切。但是對于解決很多高尖端的問題都是用偏微分方程，比如很多著名的物理方程：熱傳導方程、拉普拉斯方程等等，它不僅僅是研究方程解的一門學科，因為有些方程很難，根本就求不出解，或者常規(guī)方法求解十分困難，所以偏微分方程還著重研究解的分布、狀態(tài)等。盡管如此，但在一些典型的偏微分方程中，我們可以利用拉普拉斯變換將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程來解決。下面我將介紹拉普拉斯變換及其性質(zhì)，以及如何利用拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化偏微分方程。拉普拉斯變換的定義 設函數(shù)f(t)(t0)滿足下列條件：在區(qū)間0，)上，除了有限個第一類間斷點外，函數(shù)f(t)及它的導數(shù)處處連續(xù)，即函數(shù)f(t)分段連續(xù)；存在常數(shù)M0和0，使對任何t值(t0)，有| f(t)| M，即隨著t的增大，函數(shù)| f(t)|的增大不比某個指數(shù)函數(shù)快，其中為其增長指數(shù)。此時積分 在半平面Re(s)c上一定存在,在 上絕對且一致收斂。則此積分所確定的函數(shù)(t0） 稱為f(t)的像函數(shù)，而f(t) 稱為F(s)的原函數(shù)。它們之間的關系常用簡單的符號表示為根據(jù)學過的常微分方程的知識我們知道，從定義求拉普拉斯變換困難且復雜，所以我們可以根據(jù)該表進行查找。幾種常用的拉普拉斯變換對函數(shù)表如下：原函數(shù)像函數(shù)原函數(shù)像函數(shù)1（n為整數(shù)）1拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應用在課上的時候，老師介紹了求解一階線性偏微分方程和高階線性偏微分方程的思想方法，這里查閱資料后，我想介紹用拉普拉斯變換求解齊次與非齊次偏微分方程，至于用拉普拉斯變換求解有界與無界偏微分方程這一模塊，因為本人能力有限，沒能理解其求解方法。1.例題例：求解齊次偏微分方程 解：對該定解問題關于y取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得 這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)s的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問題：方程可轉(zhuǎn)化為解此微分方程，可得其通解為其中c為常數(shù)。為了確定常數(shù)c，將邊界條件代入上式，可得所以，由拉普拉斯變換函數(shù)表可知由拉普拉斯變換函數(shù)表可知方程兩邊取反演，從而原定解問題的解為例：求解非齊次偏微分方程解：對該問題關于t取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)s的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問題：方程可轉(zhuǎn)化為解此微分方程，可得其通解為其中為了確定常數(shù)將邊界條件代入上式，可得所以，由拉普拉斯變換函數(shù)表可知由拉普拉斯變換函數(shù)表并結合可知方程兩邊取反演，從而原定解問題的解為2. 小結應用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟如下：1、對線性偏微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變?yōu)閟的代數(shù)方程；2、解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；3、用拉氏反變換得到偏微分方程的解。感想由以上兩道例題，我們可以發(fā)現(xiàn)拉普拉斯變換可以使解n個自變量偏微分方程的問題，轉(zhuǎn)化為解n-1個自變量的微分方程的問題，逐次使用拉普拉斯變換，自變量會逐個減少，有時還可將解n個自變量偏微分方程的問題最終轉(zhuǎn)化為解一個常微分方程的問題，利用常微分的求解方法來解決問題，