（全國通用）2020版高考數學二輪復習專題七選修4系列第2講不等式選講練習理.docx

第2講不等式選講考情研析不等式選講主要考查平均值不等式的應用，絕對值三角不等式的理解及應用、含絕對值不等式的解法、含參不等式解法和恒成立問題以及不等式的證明方法(比較法、綜合法、分析法、放縮法)及它們的應用其中絕對值不等式的解法及證明方法的應用是重點難度不大，分值10分，一般會出現在選考部分第二題的位置.核心知識回顧1.絕對值的三角不等式定理1：如果a，b是實數，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|c(c0)caxbc.(2)|axb|c(c0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式幾何意義求解，體現數形結合思想(2)利用“零點分段法”求解，體現分類討論思想(3)通過構建函數，利用函數圖象求解，體現函數與方程思想4證明不等式的基本方法(1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)放縮法5二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實數，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時，等號成立熱點考向探究考向1 絕對值不等式的解法及應用角度1絕對值不等式的解法例1(2019烏魯木齊高三第二次質量檢測)已知函數f(x)2|x1|xa|，aR.(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若關于x的不等式f(x)x有實數解，求實數a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)2|x1|x1|，當x1時，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即x30，得x3，此時3x1，當1x1，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即3x10，得x，此時1x，當x1時，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即x30，得x3，此時無解，綜上，不等式的解集為.(2)f(x)x2|x2|x|xa|有解，等價于函數y2|x2|x的圖象上存在點在函數y|xa|的圖象下方，由函數y2|x2|x與函數y|xa|的圖象可知，a0或a4.解絕對值不等式的步驟和方法(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟求零點劃區(qū)間、去絕對值號分別解去掉絕對值的不等式取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法求解不等式用圖象法，數形結合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法(3)用絕對值不等式的幾何意義求解(1)解關于x的不等式x|x4|30；(2)關于x的不等式|x|2|x9|a有解，求實數a的取值范圍解(1)原不等式等價于或解得x2或3x1，所以原不等式的解集是(，2)(3，1)(2)令f(x)|x|2|x9|，則關于x的不等式|x|2|x9|f(x)min.f(x)所以f(x)的最小值為9.所以a9，即實數a的取值范圍為(9，)角度2絕對值不等式恒成立(或存在性)問題例2(2019德陽市高三第二次診斷)已知函數f(x)|xa|x2|.(1)當a1時，求不等式f(x)x的解集；(2)若f(x)a21恒成立，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x2|，即f(x)不等式f(x)x即為或或即有x3或1x1或1x3，得x3或1x3，所以不等式的解集為x|x3或1x3(2)因為|xa|x2|xax2|a2|，所以f(x)|a2|，若f(x)a21恒成立，則|a2|a21，即或解得a或a，解答含參數的絕對值不等式應熟記的幾個轉化f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa；f(x)a無解f(x)mina.(2019宣城市高三第二次調研)已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)2x1.(1)解關于x的不等式g(x)|x1|；(2)如果對xR，不等式|g(x)|c|x1|恒成立，求實數c的取值范圍解(1)由題意可得，g(x)2x1，所以g(x)|x1|即2x1|x1|.當x1時，2x1x1，解得x0，所以x1；當x1時，2x11x，解得x，所以x0，b0，函數f(x)|xa|xb|.(1)當a1，b1時，解關于x的不等式f(x)1；(2)若函數f(x)的最大值為2，求證：2.解(1)當a1，b1時，f(x)|x1|x1|當x1時，f(x)21，不等式恒成立，此時不等式的解集為x|x1；當1x1，所以x，此時不等式的解集為；當x1，不等式不成立，此時無解綜上所述，不等式f(x)1的解集為.(2)證法一：由絕對值三角不等式可得|xa|xb|ab|，a0，b0，ab2，(ab)2，當且僅當ab1時，等號成立證法二：a0，b0，a0b，函數f(x)|xa|xb|x(a)|xb|結合圖象易得函數f(x)的最大值為ab，ab2.(ab)2，當且僅當ab1時，等號成立不等式證明的常用方法(1)不等式的證明常利用綜合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根據題目特點靈活選用方法(2)證明含絕對值的不等式主要有以下三種方法：利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉化為普通不等式再證明利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進行證明轉化為函數問題，利用數形結合進行證明(2019延安市高考模擬)已知函數f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若對x，yR，有|xy1|，|2y1|，求證：f(x).解(1)因為f(x)|x|1，所以|2x1|x|1，即或或解得x2或0x或.所以不等式的解集為x|0x0，abc1.求證：(1) ；(2).證明(1)由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，當且僅當，即abc時等號成立， .(2)證法一：(3a1)24，33a.同理得33b，33c，以上三式相加得，493(abc)6，.證法二：由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)29，又abc1，69，.柯西不等式的應用方法(1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明(2)利用柯西不等式求最值的一般結構為(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數且應注意等號成立的條件(2019南通市高三下學期模擬)已知a，b，c均為正數，且a2b4c3，求的最小值，并指出取得最小值時a，b，c的值解因為a2b4c3，所以(a1)2(b1)4(c1)10，因為a，b，c為正數，所以由柯西不等式得，(a1)2(b1)4(c1)(12)2，當且僅當(a1)22(b1)24(c1)2等式成立，所以，所以的最小值是，此時a，b，c.真題押題真題模擬1(2019哈爾濱市第六中學高三第二次模擬)設函數f(x)|2x1|2|x1|a.(1)當a4時，求不等式f(x)0的解集；(2)若函數f(x)的定義域為R，求a的取值范圍解(1)當a4時，f(x)0為|2x1|2|x1|4，當x1時，12x2x24x；當1x4，無解；當x時，2x12x24x.綜上，f(x)0的解集為（，）（，）.(2)由題意得|2x1|2|x1|a恒成立，a(|2x1|2|x1|)min.|2x1|2|x1|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3，a0，b0，且ab2，求證：2.解(1)由f(m)|m1|m1|(m1)(m1)|2，f(m)min2，n22n12，1n3，所以n的取值范圍是1,3(2)證明：由(1)可知，22，()2ab224(a1)(b1)8，2，當且僅當ab1時等號成立，2.3(2019全國卷)已知a，b，c為正數，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明(1)因為a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當且僅當abc1時，等號成立所以a2b2c2.(2)因為a，b，c為正數且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.當且僅當abc1時，等號成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.金版押題4已知函數f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式f(x)a的解集是空集，求實數a的取值范圍；(2)若存在x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，求實數t的取值范圍解(1)f(x)|2x3|x1|yf(x)的圖象如圖所示，易得f(x)min.不等式f(x)a的解集是空集，a的取值范圍為.(2)x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，即2f(x)mint24|t|，由(1)知f(x)min，t24|t|50，解得5t5，t的取值范圍為5,5配套作業(yè)1(2019西安八校高三聯(lián)考)已知a，b均為實數，且|3a4b|10.(1)求a2b2的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2對任意的a，bR恒成立，求實數x的取值范圍解(1)因為102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2)，所以a2b24，當且僅當，即或時取等號，即a2b2的最小值為4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2對任意的a，bR恒成立|x3|x2|4或或x3或3xx，所以實數x的取值范圍為（，.2已知函數f(x)|2xa|x1|.(1)當a3時，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)5x對任意xR恒成立，求實數a的取值范圍解(1)當a3時，即求解|2x3|x1|2，當x時，2x3x12，x2；當1x時，32xx12,2x2，x0，無解；當x1時，32x1x2，3x2，x.綜上，解集為.(2)f(x)5x恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立，令g(x)5x|x1|則函數圖象如圖3，a6.3已知函數f(x)|x5|x2|.(1)若xR，使得f(x)m成立，求m的范圍；(2)求不等式x28x15f(x)0的解集解(1)f(x)|x5|x2|其對應圖象如圖所示易知f(x)min3，m3，即m的取值范圍為3，)(2)x28x15f(x)x2，x28x180，解集為.2x5，x210x220,5x5.x5，x28x120,5x6.綜上所述，不等式的解集為x|5x64(1)解不等式：|2x1|x|1；(2)設f(x)x2x1，實數a滿足|xa|1，求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)解(1)當x0時，原不等式可化為2xx0，所以x不存在；當0x時，原不等式可化為2xx0，所以0x；當x時，原不等式可化為2x1x1，解得x2，所以x2.綜上，原不等式的解集為x|0x2(2)證明：因為|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，所以|f(x)f(a)|2x成立，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|2x1|x1|由f(x)2，得或或解得x或x或4x，6已知函數f(x)|xm|，m0.(1)當m1時，解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)1的解集非空，求m的取值范圍解(1)當m1時，f(x)f(x)|x1|x1|，設F(x)|x1|x1|當x1時，2x2x，解得x2；當1x1時，22x，解得0x1；當x1時，2x2x，解得x1.綜上，原不等式的解集為x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0.設g(x)f(x)f(2x)，當xm時，g(x)mxm2x2m3x，則g(x)m；當mx時，g(x)xmm2xx，則g(x)m；當x時，g(x)xm2xm3x2m，則g(x).則g(x)的值域為，由題知不等式f(x)f(2x)，解得m2，由于m0，故m的取值范圍是(2，0)7(2019寶雞市高考模擬)已知函數f(x)|x2|x3|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若不等式f(x)2，