六年級奧數(shù)-第一講.分?jǐn)?shù)的速算與巧算.教師版.doc

六年級奧數(shù)講義第一講分?jǐn)?shù)的速算與巧算教學(xué)目標(biāo)本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，分為三個(gè)方面系統(tǒng)復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)小升初?？加?jì)算題型.1、 裂項(xiàng)：是計(jì)算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生掌握裂項(xiàng)技巧及尋找通項(xiàng)進(jìn)行解題的能力2、 換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡單算式。3、 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡算的問題4、通項(xiàng)歸納法通項(xiàng)歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計(jì)算，使計(jì)算過程更加簡便，而通項(xiàng)歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡為常見的一般形式知識(shí)點(diǎn)撥一、裂項(xiàng)綜合（一）、“裂差”型運(yùn)算(1)對于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。（二）、“裂和”型運(yùn)算：常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：（1） （2）裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。三、整數(shù)裂項(xiàng)(1) (2) 二、換元解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)1、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論：純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差分母n個(gè)9，其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9，不循環(huán)位數(shù)添0，組成分母，其中9在0的左側(cè)； ； ； ，2、單位分?jǐn)?shù)的拆分：例：=分析：分?jǐn)?shù)單位的拆分，主要方法是：從分母N的約數(shù)中任意找出兩個(gè)m和n,有：=本題10的約數(shù)有:1,10,2,5.。例如：選1和2，有：本題具體的解有：例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【例 1】 【解析】 原式【鞏固】【解析】 原式【例 2】 計(jì)算： 【解析】 如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2相比較于2，4，6，這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個(gè)數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3，所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算原式 也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為，所以，再將每一項(xiàng)的與分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)后面的過程與前面的方法相同【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號內(nèi)的算式：這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況所以應(yīng)當(dāng)對分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危怪D(zhuǎn)化成我們熟悉的形式觀察可知，即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以所以原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)即：原式現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無法全部相消，需要對分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：，【解析】 原式【例 3】【解析】 原式【例 4】 【解析】 本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最簡單的項(xiàng)開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有， 原式【鞏固】 原式（）（）（）（）【鞏固】【解析】 ，所以原式【鞏固】【解析】 原式【例 5】 . 【解析】 這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)：，原式【鞏固】 計(jì)算：【解析】 原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)椋梢园l(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了原式【鞏固】 【解析】 （法1）：可先找通項(xiàng)原式（法2）：原式【例 6】 【解析】原式【鞏固】 計(jì)算：【解析】 先找通項(xiàng)公式原式 【鞏固】【解析】 先找通項(xiàng)：，原式 【例 7】 【解析】 找通項(xiàng)原式，通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項(xiàng)，所以有原式【例 8】【解析】原式=【鞏固】【解析】原式【例 9】 計(jì)算：【解析】 通項(xiàng)公式：，原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 本題的通項(xiàng)公式為，沒辦法進(jìn)行裂項(xiàng)之類的處理注意到分母，可以看出如果把換成的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來，最后單獨(dú)剩下一個(gè)將項(xiàng)數(shù)和為100的兩項(xiàng)相加，得，所以原式（或者，可得原式中99項(xiàng)的平均數(shù)為1，所以原式）【例 10】 【解析】 雖然很容易看出，可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因?yàn)檫@不象分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)我們再來看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式 ，于是我們又有減號前面括號里的式子有10項(xiàng)，減號后面括號里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對一個(gè)”呢？ 模塊二、換元與公式應(yīng)用【例 11】 計(jì)算：【解析】 原式【鞏固】【解析】 原式【鞏固】 計(jì)算：【解析】 原式【例 12】 計(jì)算： 【解析】 法一：利用等比數(shù)列求和公式。原式法二：錯(cuò)位相減法設(shè)則，整理可得法三：本題與例3相比，式子中各項(xiàng)都是成等比數(shù)列，但是例3中的分子為3，與公比4差1，所以可以采用“借來還去”的方法，本題如果也要采用“借來還去”的方法，需要將每一項(xiàng)的分子變得也都與公比差1由于公比為3，要把分子變?yōu)?，可以先將每一項(xiàng)都乘以2進(jìn)行算，最后再將所得的結(jié)果除以2即得到原式的值由題設(shè)，則運(yùn)用“借來還去”的方法可得到，整理得到【例 13】 計(jì)算：【解析】 原式【鞏固】 _； _【解析】 觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1，設(shè)，原式原式【鞏固】 計(jì)算：【解析】 原式 【例 14】 計(jì)算：【解析】 原式 【例 15】 【解析】 原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 本題可以直接將兩個(gè)乘積計(jì)算出來再求它們的差，但靈活采用平方差公式能收到更好的效果原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 本題可以直接計(jì)算出各項(xiàng)乘積再求和，也可以采用平方差公式原式 其中可以直接計(jì)算，但如果項(xiàng)數(shù)較多，應(yīng)采用公式進(jìn)行計(jì)算【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 觀察發(fā)現(xiàn)式子中每相乘的兩個(gè)數(shù)的和都是相等的，可以采用平方差公式原式【鞏固】 看規(guī)律 ，試求原式【例 16】 計(jì)算： 【解析】 令，則：原式【鞏固】【解析】 設(shè)，則原式化簡為：【鞏固】 【解析】 設(shè)，原式【鞏固】 【解析】 設(shè)，原式【鞏固】 計(jì)算【解析】 設(shè)，原式 ()【鞏固】 【解析】 設(shè)，則有【鞏固】【解析】 設(shè)，則有【鞏固】 計(jì)算【解析】 設(shè). 原式=+=+ =.【鞏固】 ()()()()【解析】 換元的思想即“打包”，令，則原式()()()() ()()【鞏固】 計(jì)算()()()()【解析】 該題相對簡單，盡量湊相同的部分，即能簡化運(yùn)算.設(shè)， 有原式()()三、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化【例 17】 計(jì)算：，結(jié)果保留三位小數(shù)【解析】 方法一：方法二：【鞏固】 ； 【解析】 法一：原式法二：將算式變?yōu)樨Q式：可判斷出結(jié)果應(yīng)該是，化為分?jǐn)?shù)即是 原式【鞏固】 計(jì)算： 【解析】 方法一： = 方法二： 【鞏固】 計(jì)算 （1） （2） 【解析】 （1）原式（2）原式【例 18】 某學(xué)生將乘以一個(gè)數(shù)時(shí)，把誤看成1.23，使乘積比正確結(jié)果減少0.3.則正確結(jié)果該是多少? 【解析】 由題意得：，即：，所以有：解得，所以【鞏固】 將循環(huán)小數(shù)與相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少? 【解析】 循環(huán)節(jié)有6位，1006=164，因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8，第10l位是5這樣四舍五入后第100位為9【例 19】 有8個(gè)數(shù)，,是其中6個(gè)，如果按從小到大的順序排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是，那么按從大到小排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)? 【解析】 , 顯然有即，8個(gè)數(shù)從小到大排列第4個(gè)是，所以有(“”，表示未知的那2個(gè)數(shù)).所以，這8個(gè)數(shù)從大到小排列第4個(gè)數(shù)是【例 20】 真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個(gè)數(shù)字之和是1992，那么是多少? 【解析】 ， ， 因此，真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點(diǎn)第一位開始每連續(xù)六個(gè)數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因?yàn)?99227=7321,27-21=6，而6=2+4，所以，即【鞏固】 真分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)之后，從小數(shù)點(diǎn)后第1位起若干位數(shù)字之和是，則是多少？ 【解析】 我們知道形如的真分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由1、2、4、5、7、8這6個(gè)數(shù)字組成，只是各個(gè)數(shù)字的位置不同而已，那么就應(yīng)該由若干個(gè)完整的和一個(gè)不完整組成。 ，而，所以最后一個(gè)循環(huán)節(jié)中所缺的數(shù)字之和為6，經(jīng)檢驗(yàn)只有最后兩位為4，2時(shí)才符合要求，顯然，這種情況下完整的循環(huán)節(jié)為“”，因此這個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該為，所以。【鞏固】 真分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)之后，小數(shù)點(diǎn)后第2009位數(shù)字為7，則是多少？ 【解析】 我們知道形如的真分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由6位數(shù)字組成，因此只需判斷當(dāng)為幾時(shí)滿足循環(huán)節(jié)第5位數(shù)是7，經(jīng)逐一檢驗(yàn)得?！纠?21】 和化成循環(huán)小數(shù)后第100位上的數(shù)字之和是_.【解析】 如果將和轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后再去計(jì)算第100位上的數(shù)字和比較麻煩，通過觀察計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，而，則第100位上的數(shù)字和為9.【鞏固】 純循環(huán)小數(shù)寫成最簡分?jǐn)?shù)時(shí),分子和分母的和是,則三位數(shù)【解析】 如果直接把轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),應(yīng)該是,因此,化成最簡分?jǐn)?shù)后的分母應(yīng)該是999的約數(shù),我們將分解質(zhì)因數(shù)得: ,這個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)小于,而且大于,否則該分?jǐn)?shù)就變成了假分?jǐn)?shù)了,符合這個(gè)要求的的約數(shù)就只有37了,因此,分母應(yīng)當(dāng)為37,分子就是,也就是說,因此.【例 22】 在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立 （1）；（2）【解析】 單位分?jǐn)?shù)的拆分，主要方法是從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)數(shù)和，有： ，從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)和 ()，有：（1） 本題的約數(shù)有：，10，2，5例如：選1和2，有：；從上面變化的過程可以看出，如果取出的兩組不同的和，它們的數(shù)值雖然不同，但是如果和的比值相同，那么最后得到的和也是相同的本題中，從10的約數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)， 共有種，但是其中比值不同的只有5組：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本題共可拆分成5組具體的解如下： （2）10的約數(shù)有1、2、5、10，我們可選2和5： 另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)【鞏固】 在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立 【解析】 先選10的三個(gè)約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式和連加式則：如果選10、5、2，那么有：另外，對于這類題還有個(gè)方法，就是先將單位分?jǐn)?shù)拆分，拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差，再將其中的一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差，這樣就將原來的單位分?jǐn)?shù)拆成了3個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差了比如，要得到，根據(jù)前面的拆分隨意選取一組，比如，再選擇其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分，比如，所以【例 23】【解析】【鞏固】 =-=【解析】注：這里要先選10的三個(gè)約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1. 【例 24】 所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)相加，和是_?！窘馕觥?小于30的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十個(gè)，分母為17的真分?jǐn)?shù)相加，和等于。類似地，可以求出其它分母為質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)的和。因此，所求的和是【鞏固】 分母為1996的所有最簡分?jǐn)?shù)之和是_?！窘馕觥?因?yàn)?996=22499。所以分母為1996的最簡分?jǐn)?shù)，分子不能是偶數(shù)，也不能是499的倍數(shù)，499與3499。因此，分母為1996的所有最簡真分?jǐn)?shù)之和是=【例 25】 若，其中a、b都是四位數(shù)，且ab，那么滿足上述條件的所有數(shù)對（a,b）是【解析】 2004的約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，滿足題意的分拆有：【鞏固】 如果，均為正整數(shù)，則最大是多少？【解析】 從前面的例題我們知道，要將按照如下規(guī)則寫成的形式：，其中和都是的約數(shù)。如果要讓盡可能地大，實(shí)際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大，因此應(yīng)當(dāng)取最大的約數(shù)，而應(yīng)取最小的約數(shù)，因此，所以.課后練習(xí)：練習(xí)1.【解析】 原式練習(xí)2.【解