高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習第九章平面解析幾何9_9圓錐曲線的綜合問題第3課時定點定值探索性問題課件理北師大版

9 9圓錐曲線的綜合問題 第3課時定點 定值 探索性問題 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 題型分類深度剖析 題型一定點問題 設(shè)橢圓的焦距為2c 由題意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 解答 幾何畫板展示 2 若 1 2 3 試證明 直線l過定點并求此定點 證明 幾何畫板展示 由題意設(shè)P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 設(shè)l方程為x t y m y1 m y1 1 由題意y1 0 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由題意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由題意mt 0 mt 1 滿足 得直線l方程為x ty 1 過定點 1 0 即Q為定點 思維升華 圓錐曲線中定點問題的兩種解法 1 引進參數(shù)法 引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量 再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系 找到定點 2 特殊到一般法 根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點 再證明該定點與變量無關(guān) 1 求橢圓C的方程 解答 解答 幾何畫板展示 因為l為切線 所以 2t 2 4 t2 2 2 2 0 因為MN為圓的直徑 即t2 2 2 0 設(shè)圓與x軸的交點為T x0 0 當t 0時 不符合題意 故t 0 所以T為定點 故動圓過x軸上的定點 1 0 與 1 0 即橢圓的兩個焦點 題型二定值問題 例2 2016 廣西柳州鐵路一中月考 如圖 橢圓有兩頂點A 1 0 B 1 0 過其焦點F 0 1 的直線l與橢圓交于C D兩點 并與x軸交于點P 直線AC與直線BD交于點Q 解答 橢圓的焦點在y軸上 當直線l的斜率存在時 設(shè)直線l的方程為y kx 1 C x1 y1 D x2 y2 證明 當直線l的斜率不存在時 與題意不符 當直線l的斜率存在時 設(shè)直線l的方程為y kx 1 k 0 k 1 C x1 y1 D x2 y2 將兩直線方程聯(lián)立 消去y y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 故點Q的坐標為 k y0 思維升華 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 1 求代數(shù)式為定值 依題意設(shè)條件 得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式 代入代數(shù)式 化簡即可得出定值 2 求點到直線的距離為定值 利用點到直線的距離公式得出距離的解析式 再利用題設(shè)條件化簡 變形求得 3 求某線段長度為定值 利用長度公式求得解析式 再依據(jù)條件對解析式進行化簡 變形即可求得 1 求動點Q的軌跡C的方程 解答 幾何畫板展示 依題意知 點R是線段FP的中點 且RQ FP RQ是線段FP的垂直平分線 點Q在線段FP的垂直平分線上 PQ QF 又 PQ 是點Q到直線l的距離 故動點Q的軌跡是以F為焦點 l為準線的拋物線 其方程為y2 2x x 0 2 設(shè)圓M過A 1 0 且圓心M在曲線C上 TS是圓M在y軸上截得的弦 當M運動時 弦長 TS 是否為定值 請說明理由 解答 弦長 TS 為定值 理由如下 幾何畫板展示 題型三探索性問題 1 求橢圓E的方程 解答 解答 幾何畫板展示 當直線l與x軸平行時 設(shè)直線l與橢圓相交于C D兩點 如果存在定點Q滿足條件 則有 即 QC QD 所以Q點在y軸上 可設(shè)Q點的坐標為 0 y0 當直線l與x軸垂直時 設(shè)直線l與橢圓相交于M N兩點 則M 解得y0 1或y0 2 當直線l的斜率不存在時 由上可知 結(jié)論成立 當直線l的斜率存在時 可設(shè)直線l的方程為y kx 1 A B的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 所以 若存在不同于點P的定點Q滿足條件 則Q點坐標只可能為 0 2 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 點B關(guān)于y軸對稱的點B 的坐標為 x2 y2 所以kQA kQB 即Q A B 三點共線 思維升華 解決探索性問題的注意事項探索性問題 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 1 當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論 2 當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時 先假設(shè)成立 再推出條件 3 當條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)方法解題很難時 要開放思維 采取另外合適的方法 1 求橢圓C和拋物線E的方程 解答 幾何畫板展示 2a AF1 AF2 4 a 2 設(shè)A x y F2 c 0 拋物線方程為y2 4x 解答 幾何畫板展示 若直線ON的斜率不存在 若直線ON的斜率存在 MN 2 ON 2 OM 2 設(shè)原點O到直線l的距離為d 典例 12分 橢圓C 1 a b 0 的左 右焦點分別是F1 F2 離心率為 過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1 設(shè)而不求 整體代換 思想與方法系列23 規(guī)范解答 思想方法指導(dǎo) 1 求橢圓C的方程 2 點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點 連接PF1 PF2 設(shè) F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M m 0 求m的取值范圍 3 在 2 的條件下 過點P作斜率為k的直線l 使得l與橢圓C有且只有一個公共點 設(shè)直線PF1 PF2的斜率分別為k1 k2 若k2 0 證明為定值 并求出這個定值 幾何畫板展示 對題目涉及的變量巧妙地引進參數(shù) 如設(shè)動點坐標 動直線方程等 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組 再化為一元二次方程 從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代換 達到 設(shè)而不求 減少計算 的效果 直接得定值 返回 解 2 設(shè)P x0 y0 y0 0 所以直線PF1 PF2的方程分別為 3 設(shè)P x0 y0 y0 0 返回 課時作業(yè) 1 求橢圓C的標準方程 得a2 4 b2 2 解答 1 2 3 4 2 如圖 橢圓左頂點為A 過原點O的直線 與坐標軸不重合 與橢圓C交于P Q兩點 直線PA QA分別與y軸交于M N兩點 試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點 與直線PQ的斜率無關(guān) 請證明你的結(jié)論 解答 1 2 3 4 證明如下 設(shè)P x0 y0 則Q x0 y0 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 1 求橢圓E的標準方程 1 2 3 4 2 若斜率為k的直線l過點A 0 1 且與橢圓E交于C D兩點 B為橢圓E的下頂點 求證 對于任意的k 直線BC BD的斜率之積為定值 證明 1 2 3 4 設(shè)直線l y kx 1 得 3k2 2 x2 6kx 9 0 設(shè)C x1 y1 D x2 y2 則 易知B 0 2 1 2 3 4 2 所以對于任意的k 直線BC BD的斜率之積為定值 1 2 3 4 1 求橢圓的標準方程 a2 2 b2 1 1 2 3 4 解答 2 記橢圓的上頂點為M 直線l交橢圓于P Q兩點 問 是否存在直線l 使點F恰為 PQM的垂心 若存在 求直線l的方程 若不存在 請說明理由 解答 1 2 3 4 假設(shè)存在直線l交橢圓于P Q兩點 且F恰為 PQM的垂心 設(shè)P x1 y1 Q x2 y2 M 0 1 F 1 0 直線l的斜率k 1 于是設(shè)直線l為y x m 得3x2 4mx 2m2 2 0 1 2 3 4 又yi xi m i 1 2 x1 x2 1 x2 m x1 m 1 0 即2x1x2 x1 x2 m 1 m2 m 0 1 2 3 4 故存在直線l 使點F恰為 PQM的垂心 直線l的方程為3x 3y 4 0 1 2 3 4 1 若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形 求 果圓 的方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 由題意 得a c 2b 1 2 3 4 解答 3 一條直線與果圓交于兩點 兩點的連線段稱為果圓的弦 是否存在實數(shù)k 使得斜率為k的直