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模糊效用約束下的消費(fèi)者支出最小化趙明清*趙明清, 通訊地址：山東省泰安市山東科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院（271019）， 聯(lián)系電話：05386227430（H）(山東科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，271019)摘要 本文利用模糊優(yōu)化方法，討論了消費(fèi)者的效用約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品購(gòu)買(mǎi)量以使其支出達(dá)到最小的問(wèn)題。關(guān)健詞 模糊規(guī)劃，效用函數(shù)，隸屬函數(shù)，消費(fèi)者均衡1 引言 文1討論了消費(fèi)者在收入約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品的購(gòu)買(mǎi)量以使其效用達(dá)到最大的問(wèn)題。本文討論的是該問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題，即討論消費(fèi)者在效用約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品的購(gòu)買(mǎi)量以使其支出達(dá)到最小的問(wèn)題。效用約束的模糊化，使消費(fèi)者行為分析更加接近實(shí)際。目前，尚無(wú)人對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行討論。 2 模型的建立與分析 為了討論方便，設(shè)消費(fèi)者僅購(gòu)買(mǎi)兩種商品，這兩種商品的價(jià)格分別為，購(gòu)買(mǎi)數(shù)量分別為；效用函數(shù)連續(xù)二次可微且嚴(yán)格凹。那么，模糊效用約束下消費(fèi)者支出最小化問(wèn)題可用模糊規(guī)劃() 來(lái)描述。其中：I表示消費(fèi)者支出；表示消費(fèi)者的效用最好不要低于給定的效用U 。根據(jù)假設(shè)，分別在約束（l是伸縮指標(biāo)，是效用下限）和=U下的最小值都存在，不妨分別設(shè)為。 對(duì)于模糊約束構(gòu)造模糊約束集，其隸屬函數(shù)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造模糊目標(biāo)集，其隸屬函數(shù) 為了兼顧,采用模糊判決，選擇，使 = 于是，模糊規(guī)劃（）歸結(jié)為求普通數(shù)學(xué)規(guī)劃 （） 即（） 根據(jù)優(yōu)化理論中的Kuhn Tucker定理，（）相應(yīng)的（KT）條件是即通過(guò)分析，便知 (1) (2) (3) (4) (5)由(1)、(2)兩式，得 (6)由(4)、(5)兩式，得 (7)(6)、(7)兩式是消費(fèi)者均衡即模糊效用約束下的消費(fèi)者支出最小化的必要條件，可以證明該條件也是消費(fèi)者均衡的充分條件。 由(6)式，得令 則E，F(xiàn) ，G關(guān)于的Jacobi行列式 = = =其中 為的加邊Hessin矩陣。根據(jù)對(duì)的假設(shè)，。所以進(jìn)而，由隱函數(shù)組存在定理，(6)、(7)確定了唯一的一組隱函數(shù)稱為模糊需求函數(shù)?；蛘哒f(shuō)，對(duì)于給定的，方程組(6)、(7)有唯一解，相應(yīng)的消費(fèi)者最小支出隸屬度這也就是模糊規(guī)劃（）的解。3 結(jié)論 (1) 消費(fèi)者均衡的充分要條件是 其中第一式意味著：在模糊效用約束下，當(dāng)消費(fèi)者的消費(fèi)處于最優(yōu)狀態(tài)時(shí)，花在各種商品上的最后一個(gè)單位貨幣支出所獲得的效用相等。 (2) 模糊效用約束下的消費(fèi)者最小支出和達(dá)到的效用都比普通效用約束下的消費(fèi)者最小支出和達(dá)到的效用小。 (3) 利用模糊數(shù)學(xué)方法分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題會(huì)更接近實(shí)際，但也帶來(lái)了分析上的困難。參考文獻(xiàn)1 趙明清. 模糊約束下的消費(fèi)者均衡. 山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1993.12（2）：1972002 唐林煒等編著. 模糊數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)分析. 山東大學(xué)出版社，1999.9： 1411643 中國(guó)人民大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編. 運(yùn)籌學(xué)通論. 中國(guó)人民大學(xué)出版社，1987.5： 190196The Minimization of Consumption under the Fuzzy Utility ConstraintZhao Mingqing(College of Information Science & Engineering, Shandong University of Science and Technology, 271019)Abstract By using fuzzy optimization, this paper discusses how to ensure the consumption of merchandises to minimize the expenditure if the utility constraint is a fuzzy one.Keywo