函數(shù)極限求解方法的研究.doc

函數(shù)極限求解方法的研究渤海大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）函數(shù)極限求解方法的研究The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis) of Study on the method of function limit 學(xué) 院（系）： 數(shù)理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 生 姓 名： 入 學(xué) 年 度： 2011年 指 導(dǎo) 教 師： 完 成 日 期： 2015年4月19日 渤海大學(xué)Bohai University摘要函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成部分，是探究微積分的基礎(chǔ)，因此對(duì)求解函數(shù)極限方法的探究就成了我們研究高等數(shù)學(xué)必經(jīng)之路.求解函數(shù)極限方法的方法眾多，例如: 利用函數(shù)極限的定義、連續(xù)性、兩個(gè)重要極限、泰勒公式、洛必達(dá)法則、級(jí)數(shù)收斂性等方法.本文系統(tǒng)地介紹了如何利用定義法、函數(shù)連續(xù)性、兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小量及等價(jià)無(wú)窮小代換、洛比達(dá)法則、級(jí)數(shù)、泰勒公式、定積分等求函數(shù)極限的技巧和方法，分析了不同方法之間的特點(diǎn)并結(jié)合相應(yīng)的例子，指出了在求解函數(shù)過(guò)程中遇見(jiàn)的一些常見(jiàn)問(wèn)題。關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限; 洛必達(dá)法則; 無(wú)窮小量及等價(jià)無(wú)窮小代換；級(jí)數(shù)收斂性The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis) of Study on the method of function limitAbstract We know that the function limit is the important part of higher mathematics, is the basis of research on mathematical analysis and differential and integral calculus. Therefore, explore to the method of solving the function limit is our path to study the higher mathematics,the method to solve the function limit of many laws, such as: use the definition of function limit, continuity, two important limits, Taylor formula, Hospital laws, series convergence and so on. This paper systematically introduces the using the method of definition, function continuity, two important limits, dimensionless and equivalent infinitesimal substitution, than to rule, series, Taylor formula, the technique and method of definite integral, etc for function limit, and combined with the corresponding examples, points out the some of the common problems met in the process of solving function. Key words: Function limit; Hospital laws; Dimensionless and equivalent infinitesimal substitution; The series convergence目錄摘要IAbstractII引言11. 用定義法求函數(shù)的極限22. 利用連續(xù)性求函數(shù)極限43. 利用四則運(yùn)算法則求函數(shù)的極限64. 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限75. 利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)的極限問(wèn)題86. 利用洛必達(dá)法則求函數(shù)的極限問(wèn)題97. 利用無(wú)窮小的性質(zhì)及等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)的極限138. 利用歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則求151、歸結(jié)原則152、柯西準(zhǔn)則159. 利用級(jí)數(shù)求解函數(shù)極限問(wèn)題161、利用收斂數(shù)通項(xiàng)趨向零172、利用收斂級(jí)數(shù)余項(xiàng)趨向零173、利用級(jí)數(shù)的收斂性1710. 利用中值定理及泰勒定理求函數(shù)的極限問(wèn)題181、柯西中值定理182、積分中值定理1911. 利用泰勒定理求函數(shù)的極限問(wèn)題2012. 利用定積分求函數(shù)的極限問(wèn)題22結(jié)論25參考文獻(xiàn)26引言 我們都知道數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，而研究函數(shù)的主要方法便是通過(guò)對(duì)極限的的探究，故函數(shù)極限的學(xué)習(xí)一直是研究數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一。同時(shí)函數(shù)極限又是微積分的基礎(chǔ)理論之一，因而可以說(shuō)高等數(shù)學(xué)作為一門(mén)基本的學(xué)科便是通過(guò)極限來(lái)研究函數(shù)的，函數(shù)極限貫穿了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，離開(kāi)了極限的思想高等數(shù)學(xué)就失去了基礎(chǔ)的價(jià)值。 通過(guò)我們對(duì)求解函數(shù)極限方法的總結(jié)會(huì)發(fā)現(xiàn)，求解函數(shù)極限的方法眾多。本文是在考慮函數(shù)極限存在的前提下撰寫(xiě)的，下面介紹一下如何通過(guò)定義、連續(xù)性、兩個(gè)重要極限、夾迫定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式、中值定理、無(wú)窮小及其等價(jià)變換、級(jí)數(shù)、定積分等方法來(lái)求函數(shù)的極限問(wèn)題，從而幫助大家系統(tǒng)的掌握如何求解極限問(wèn)題的方法。 通過(guò)對(duì)這些方法的學(xué)習(xí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)求解極限的方法并不是一成不變的，并且方法眾多靈活多變，每一種方法都有其優(yōu)缺點(diǎn)，有其試用范圍。只要一個(gè)函數(shù)極限存在，總會(huì)有一種或多種方法能用來(lái)求解它，希望通過(guò)以下給出的這些例題能夠讓我們更好的確定如何選取恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)求取函數(shù)的極限問(wèn)題。當(dāng)然以下只是列舉了大部分函數(shù)的求解方法，求解函數(shù)極限方法并不只限這幾種方法，還需要我們不斷的去領(lǐng)悟、去體會(huì)。1. 用定義法求函數(shù)的極限用極限的定義或定義證明函數(shù)極限問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵的一點(diǎn)是找出或，必要時(shí)可先將限定在某一取值范圍之內(nèi)再進(jìn)行討論.定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)，如果對(duì)任給的存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有,則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作 下面列舉兩個(gè)應(yīng)用定義來(lái)求取函數(shù)極限的例子.例1 證明 .證： 任給，因?yàn)樗钥梢缘贸鲇捎诓坏仁降淖蟀氩糠謱?duì)任何都成立，故只需考察其右半部分的變化范圍即可.由此，可先限定，則可得所以對(duì)任意的正數(shù)，只需取，則當(dāng)時(shí)便有成立.則此題得證. 例2 證明 . 證: 設(shè).對(duì)，由于 故可取,則當(dāng)時(shí)有即得 .定義2（函數(shù)極限的定義） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若對(duì)任給的，存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作下面列舉一些應(yīng)用定義來(lái)求取函數(shù)極限的實(shí)例，通過(guò)這些實(shí)例我們來(lái)了解下如何利用定義求函數(shù)極限。例3 證明 .證：由于. 故此題得證. 例4 證明 . 證:對(duì)，由 成立，解得 故取于是對(duì) ,因此,所以.注1. 一般情況下，我們需要先對(duì)進(jìn)行估計(jì)，從而得到 ,這里的往往是與有關(guān)的一個(gè)常數(shù)，當(dāng)然這個(gè)估計(jì)也大多是在給定的一個(gè)（比如）的前提下得出的。注2.的取值的確定一般都要依賴(lài)于，但是并不是決定值的唯一的條件。在例4例中就把取得更小了一些，這取決于函數(shù)式放縮的程度。一般在運(yùn)算中我們?yōu)榱饲蠼夥奖憧刹捎眠m當(dāng)放大的方法，但需要注意的是這種放大必須要做到“適度”，這樣才能根據(jù)給定的來(lái)確定，同時(shí)還要注意此題中不一定非要是整數(shù)，只要是正數(shù)就可以.注3. 函數(shù)在所求點(diǎn)的極限與函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)無(wú)關(guān)，函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律. 綜上可得，雖然我們可以通過(guò)定義法求解一些函數(shù)極限過(guò)程，但并不可能每一道題都可以通過(guò)直接觀察就可以總結(jié)出極限值，因此這種方法存在一定的局限性，不適合較為復(fù)雜的題目。 2. 利用連續(xù)性求函數(shù)極限由于一切初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都連續(xù)，所以求初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)處的極限，可直接用來(lái)求取。但是若，則函數(shù)在點(diǎn)是間斷點(diǎn)，不能直接代入數(shù)值計(jì)算。而應(yīng)根據(jù)具體函數(shù)的特征，對(duì)它進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危@樣再去利用函數(shù)的連續(xù)性求極限即可。 下面舉個(gè)具體的例子來(lái)探討一下，如何利用連續(xù)性來(lái)求函數(shù)極限的問(wèn)題.例1 求極限解：注1.由連續(xù)性可知如果函數(shù)且是有理函數(shù)，分母是.因此，它是上的連續(xù)函數(shù).注2.若可找到一個(gè)以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則不存在 綜上所述,這個(gè)方法對(duì)初等函數(shù)特別重要,因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其有定義的點(diǎn)都連續(xù),所以求初等函數(shù)當(dāng)自變量趨于有定義的點(diǎn)的極限時(shí),又等于求該點(diǎn)的函數(shù)值.3.利用四則運(yùn)算法則求函數(shù)的極限定理3.1(四則運(yùn)算）若函數(shù)與在都收斂，則函數(shù),也收斂，且 利用四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)要注意以下兩點(diǎn)： (1)首先只有當(dāng)和都存在時(shí)才可以使用此定理，否則定理無(wú)效。比如,. (2)若由此定理可推得：,而和都不存在，則可得出，也不存在的錯(cuò)誤結(jié)論.然而.所以在使用四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，一定要注意(1)(2)的限制條件。 下列是用四則運(yùn)算法則求極限的例子.例1 利用四則運(yùn)算法則求下列極限 （1）為正整數(shù). （2）.解:所以.4. 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限 我們知道兩個(gè)重要極限及其變形形式為1.兩個(gè)重要極限: 2.兩個(gè)重要極限的變形形式： 注: 一般采用兩個(gè)重要極限首先應(yīng)該采用換元法和配指數(shù)的法,把所給函數(shù)化為兩個(gè)重要極限或它的變形形式,進(jìn)而利用兩個(gè)重要極限或其變式形式進(jìn)行求值計(jì)算. 下面我們通過(guò)一些例子來(lái)了解一下兩個(gè)重要極限及其變形在求函數(shù)極限中的應(yīng)用.例1 求極限 .解：本題可用洛必達(dá)法則求解（較繁瑣），在這里可應(yīng)用泰勒公式求解，考慮到極限公式的分母為,我們用麥克勞林公式表示極限的分子（?。┮蚨蟮美? (北京大學(xué)).解： ,故原式5. 利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)的極限問(wèn)題夾逼準(zhǔn)則：設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足且 且在某內(nèi)有定義.注:用迫斂性求極限，關(guān)鍵就是要將函數(shù)放大及縮小成,即使得且易求并且相等，那么根據(jù)夾逼準(zhǔn)則就可以求出.例1 求解 ：由此當(dāng)，當(dāng)時(shí)，故 .例2 求.解：由于,而故由夾逼原理知，.由以上兩例可得用迫斂性求函數(shù)極限，關(guān)鍵在于視具體問(wèn)題選擇靈活的方法對(duì)變量進(jìn)行合理的縮放。6.利用洛必達(dá)法則求函數(shù)的極限問(wèn)題定理6.1（型未定式，）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)本身可以除外），且滿(mǎn)足：在點(diǎn)的一某鄰域內(nèi)（本身可以除外）均可導(dǎo)，且,則當(dāng) 時(shí)，且.定理6.2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)本身可以除外），且滿(mǎn)足：（1） ，（2)在點(diǎn)的一某鄰域內(nèi)（本身可以除外）均可導(dǎo)，且,則當(dāng) 時(shí)，且 .注1：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限,是一種簡(jiǎn)便而又有效的方法,前面出現(xiàn)的許多極限都可以利用此法則.但使用時(shí),要注意適當(dāng)?shù)鼗?jiǎn)、換元,并與前面的其他方法互相結(jié)合使用,這樣便可大大的簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算。注2：雖說(shuō)用洛必達(dá)法則是求極限的一種簡(jiǎn)單而有效的方法，但是使用時(shí)必須注意幾下幾點(diǎn)：1）每次在使用洛必達(dá)法則之前，務(wù)必考查它是否屬于七種不定型，否則不能用；2）一旦用洛必達(dá)法則算不出結(jié)果，不等于極限不存在。例如，就是如此.這是因?yàn)槁灞剡_(dá)法則只是充分條件，而不是必要條件；3）洛必達(dá)法則是求不定型極限最常用的方法，而且?guī)追N常用的等價(jià)關(guān)系，也變得十分明顯易記.如等皆如此.4）分子不趨向沒(méi)有關(guān)系。5)洛必達(dá)法則可重復(fù)使用，但每次使用之前，都要考察條件，一旦發(fā)現(xiàn)不是不定式，就要停止使用。 下面列舉一些具體的利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)極限的問(wèn)題. 例1 求極限. 解：將其化簡(jiǎn)得（故為型可用洛必達(dá)法則） 例2 求極限. 分析：先將其化簡(jiǎn)，顯然是故如1）可用洛必達(dá)法則。 解： . 例3 求極限. 解: 因?yàn)?，并有，因此由洛比達(dá)法則可得，由于函數(shù)，均滿(mǎn)足洛比達(dá)法則的條件，故再次利用洛比達(dá)法則得注3：盡管洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種非常有效的方法，許多極限題目用了洛必達(dá)法則能很快得出結(jié)果，但是必須指出的是該法則并不是萬(wàn)能的。對(duì)有些題目如使用法則求導(dǎo)后出現(xiàn)極限不存在的現(xiàn)象，法則就失效了，應(yīng)改用其它求極限方法。例如:當(dāng)時(shí)，函數(shù)中含有時(shí)或當(dāng)函數(shù)中含有. 以上提到的幾點(diǎn)關(guān)于應(yīng)用洛必達(dá)法則的注意，對(duì)我們掌握洛必達(dá)法則法則求函數(shù)極限，有一定的所幫助。但由于所舉例題有限，不可能將各種情況都提到。如果使用洛必達(dá)法則解題時(shí)，過(guò)程越來(lái)越煩且前景不太樂(lè)觀，就要即使停止，改用其他方法。因此在碰到具體問(wèn)題時(shí)，還需根據(jù)實(shí)際情況靈活應(yīng)用洛必達(dá)法則及其他方法求出其極限。7. 利用無(wú)窮小的性質(zhì)及等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)的極限 有限個(gè)（相同類(lèi)型）無(wú)窮小的和、差、積仍有無(wú)窮小，有界變量與無(wú)窮小的積為無(wú)窮小。常用的等價(jià)無(wú)窮小：當(dāng)時(shí)有當(dāng)時(shí)有等價(jià)代換定理：設(shè)；利用無(wú)窮小性質(zhì)求下列極限.例1 .解：原式 . 例2 . 解:原式 例3 . 解:當(dāng)時(shí)，,所以 注1：等價(jià)無(wú)窮小因子替換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用，不能隨意在極限的加減運(yùn)算中使用，否則常會(huì)出錯(cuò)。比如：在極限時(shí)，若由時(shí)，則=0.而 由此可見(jiàn)對(duì)于此題中加減法中使用等價(jià)替換是錯(cuò)誤的。8. 利用歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則求函數(shù)的極限問(wèn)題（1) 歸結(jié)原則若存在不存在；或存在， 使得與都存在但不相等，則極限不存在.（2) 柯西準(zhǔn)則 存在對(duì)，對(duì)，有,不存在，對(duì),.利用歸結(jié)原理及柯西準(zhǔn)則解題的實(shí)例。例1 設(shè)內(nèi)有定義。證明： 證明：“” 對(duì)有有，從而有，即“”若則使得取取取顯然，即矛盾，因此例2 設(shè)為狄利克雷函數(shù)，證明極限不存在分析：證明函數(shù)極限不存在的方法一般有如下兩種：一是利用柯西收斂準(zhǔn)則的否定形式；二是歸結(jié)原則的否定形式。證明：方法1：利用柯西準(zhǔn)則的否定形式取使得從而不存在。方法2：利用歸結(jié)原則的否定形式對(duì) 及無(wú)理數(shù)列,使得從而不存在。9.利用級(jí)數(shù)求解函數(shù)極限問(wèn)題數(shù)項(xiàng)收斂的必要性：若級(jí)數(shù)收斂，則。運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。 利用級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)的常見(jiàn)方法： （1）利用收斂數(shù)通項(xiàng)趨向零例1 求下列極限，其中（天津大學(xué)）.解:因?yàn)?（當(dāng)時(shí)）.故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，從而通項(xiàng)（當(dāng)時(shí)）. (2）利用收斂級(jí)數(shù)余項(xiàng)趨向零例2 求.解：因級(jí)數(shù)收斂，因此其余項(xiàng)（當(dāng)時(shí)）（當(dāng)時(shí)），故原極限為零（用Cauchy準(zhǔn)則也行）.（3）利用級(jí)數(shù)的收斂性若收斂，則也收斂，因此=+極限存在（當(dāng)時(shí)）。 例3 設(shè)證明收斂. 證：對(duì)因此有，而. 綜上所述求極限求正無(wú)窮小量的極限時(shí)，采用此方法較簡(jiǎn)便。對(duì)于一個(gè)具求極限的問(wèn)題，可能有多種方法都能解決，這就要求我們選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，以取得事半功倍的效果?0.利用中值定理求函數(shù)的極限問(wèn)題 10.1柯西中值定理 若函數(shù)和滿(mǎn)足如下條件：(1)在閉區(qū)間上都連續(xù)； (2)在開(kāi)區(qū)間上都可導(dǎo)；(3)和不同時(shí)為零； (4)則存在一點(diǎn) 注1：利用中值定理可以求一些函數(shù)極限，但適應(yīng)面較窄。10.2積分中值定理 定理10.1（積分第一中值定理) 若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得. 注2：對(duì)于求含積形式的極限可以利用積分中值定理把它轉(zhuǎn)化成無(wú)積分的一般極限。進(jìn)而可以采用相應(yīng)的方法求出結(jié)果。 下面是利用它們求極限的實(shí)例。例1 求極限 解:本題可用洛必達(dá)法則求解（較繁瑣），在這里可應(yīng)用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（），.因此得.例2 求極限.解：由積分中值定理知所以.11.利用泰勒定理求函數(shù)的極限問(wèn)題 定理11.1（ 泰勒定理） 若函數(shù)，即.對(duì)于所求極限是或型未定式這種類(lèi)型，當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)計(jì)算較復(fù)雜而易求的泰勒公式時(shí)，則可用泰勒公式求極限。注1：利用泰勒公式求極限 用麥克勞林公式計(jì)算某些不定式極限時(shí)十分有效，它不像洛必達(dá)法則，分子、分母每求一次導(dǎo)數(shù)，分子、分母的無(wú)窮小階數(shù)都只減少一次，而利用麥克勞林公式可以馬上得到分子、分母的無(wú)窮小階數(shù)，然后可直接迅速地得到答案。注2：對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用洛比達(dá)法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式1.2.3.4.5.6.上述展開(kāi)式中的符號(hào)都有.例1 求極限.分析：當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為型未定式，滿(mǎn)足洛必達(dá)法則求極限.如果直接用洛必達(dá)法則過(guò)程十分復(fù)雜，所以先用泰勒公式將分子展開(kāi)再去求極限。解： 由 得故 .例2 求下列極限.解： 綜上利用泰勒公式計(jì)算極限有3個(gè)問(wèn)題需要解決： 1.是在哪個(gè)點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)； 2.是泰勒展開(kāi)到第幾次