輪胎生產(chǎn)安排計劃的數(shù)學模型.doc

輪胎生產(chǎn)安排計劃的數(shù)學模型何榮堅(1) 陳曄(2) 鄭可逵(3) （1韶關學院2002級計算機系科學與技術本（3）班，廣東韶關512005； 2韶關學院2001級數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學(1)班，廣東韶關512005； 3韶關學院2002級數(shù)學系信息技術教育（2）班，廣東韶關512005）摘要:本文是一個生產(chǎn)安排優(yōu)化問題,在問題中全面分析了輪胎生產(chǎn)問題的約束條件,構建了基于整數(shù)規(guī)劃的每一季度的生產(chǎn)時間與生產(chǎn)個數(shù)的的數(shù)學模型.利用Matlab軟件中的線性規(guī)劃函數(shù)Linprog對每一季度的生產(chǎn)進行優(yōu)化求解，對模型實行簡化，加快對模型的求解.在求解過程中，利用連續(xù)松弛法把該問題更加簡化，轉換成線性規(guī)劃問題.在滿足約束條件的情況下，通過對變量的取整與調(diào)整，使得解更加逼近最優(yōu)解.關鍵詞:整數(shù)規(guī)劃;優(yōu)化安排;連續(xù)松馳1 問題的提出某汽車輪胎公司能夠生產(chǎn)尼龍和玻璃纖維兩種輪胎，在前三個季度中將要交付的輪胎數(shù)量如表一：表一:日期尼龍輪胎玻璃纖維輪胎第一季度40001000第二季度80005000第三季度30005000總計1500011000該公司有兩臺硫化機，其中一臺惠林硫化機，一臺雷格爾硫化機，還有可用來生產(chǎn)這兩種輪胎的合適的模子。在未來的三個季度內(nèi)，這兩臺機器可供使用的生產(chǎn)小時數(shù)如表二：表二:日期惠林硫化機雷格爾硫化機第一季度7001500第二季度300400第三季度1000300每臺機器生產(chǎn)每種輪胎的效率以每只輪胎需要多少小時表示如下表三：表三:類型惠林硫化機雷格爾硫化機尼龍輪胎0.150.16玻璃纖維輪胎0.120.14不論用哪種機器，也不論生產(chǎn)哪種輪胎，輪胎生產(chǎn)的生產(chǎn)費用是每操作一小時5美元，每只輪胎每個月的存儲費用0.1美元，每只尼龍輪胎和玻璃纖維輪胎的材料費用分別為3.10美元和3.90美元，每只輪胎的裝配、包裝和運輸費用是0.23美元，每只尼龍輪胎的價格是7.00美元，每只玻璃纖維輪胎的價格是9.00美元。該公司管理人員提出以下問題：1.為了以最小的成本來滿足交貨需要，應該怎樣安排生產(chǎn)？2.從這一最優(yōu)的生產(chǎn)安排中所得到的總收益是多少？3.一臺新的惠林硫化機預定在第四季度初到達，如果支付200美元的小費，就可以提前在第三季度到達，這樣第三季度就可增加172小時的機器工作時間。這臺硫化機到底要不要提前到達？2 模型的假設1) 假設交貨都是在每一季度的最后一天完成的,當前季度生產(chǎn)的輪胎不用存儲費.2) 假設生產(chǎn)貨物過程中以小時為單位,不足一個小時的按一個小時來算機器操作費.3) 假設第一季度生產(chǎn)的時候沒有存貨.3 符號說明 :第個季度第種機器加工型輪胎的小時數(shù). :第個季度第種機器加工型輪胎的小時數(shù). :第型輪胎的材料費的單價. :輪胎的裝配,包裝,運輸輪胎的單位費用. : 第型輪胎的單價. :第種機器生產(chǎn)第種輪胎的單位時間. :第個季度型輪胎的生產(chǎn)的實際數(shù)目. :第個季度的機器操作費. :第個季度的存儲費. :第個季度完成交貨任務后的剩余輪胎的總數(shù). :生產(chǎn)的總成本. :生產(chǎn)的總收益.4 模型的分析與建立在以后的論文討論中,為了方便,我們將惠林硫化機稱為第一種機器.把雷格爾硫化機稱為第二種機器.把尼龍輪胎稱為第一種輪胎,同樣把玻璃纖維輪胎稱為第二種輪胎.目標函數(shù)與各個季度各種機器生產(chǎn)的各種輪胎的數(shù)量限制,與各個季度各種機器的生產(chǎn)時間都為一次線性函數(shù),故可以用線性規(guī)劃求解.由已知條件可以得出線性規(guī)劃的目標函數(shù),約束方程.4.1問題一的模型1)根據(jù)題意分析可知,機器操作費只與時間有關系,并且得出表達式為: 2)由假設3可知,第一季度的存儲費為0;又第二季度兩種輪胎的存貨即為第一季度生產(chǎn)的總數(shù)減去第一季度的要求交貨量后的數(shù)目,所以第二季度的存儲費為:同理可知,第三季度的總存儲費為第二季度的存貨加上第三季度的生產(chǎn)總數(shù)再減去第三季度的交貨量后的存儲費:3）材料費用為：由于材料費只與輪胎的數(shù)量有關系,又根據(jù)題意可知,在滿足最小成本的條件下,生產(chǎn)輪胎的數(shù)量就必須等于交貨的總量.故,材料費是一定值,即為: 4）裝配、包裝、運輸費用為：同理由材料費的分析可知, 裝配、包裝、運輸費用也只與輪胎的數(shù)量有關,即為: 故目標函數(shù)即為：總成本=機器操作總費用+材料費用+總存儲費+裝配、包裝、運輸費用；5)最小總成本的模型為:min s.t. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25)(1)-(6)式表示每一季度的每一種機器生產(chǎn)每一種輪胎的小時數(shù)都必須小于或等于每一季度的每一種機器的最大生產(chǎn)時間.(7),(10)式分別表示第一季度兩種輪胎生產(chǎn)的總數(shù)都要求大于或者等于第一季度的交貨量.(8),(11)式分別表示第二季度兩種輪胎的生產(chǎn)量加上第一季度的存儲量要求大于或者等于第二季度的交貨量.(9),(12)式分別表示第三季度兩種輪胎的生產(chǎn)量加上第二季度的存儲量要求等于第三季度的交貨量.4.2問題二的模型根據(jù)總收益=總收入-總成本,而由問題一的模型分析可知,總成本是一個函數(shù)表達式,而總收入為一定值.又總收入為:總收益而又為問題一的模型的目標函數(shù),而在要求從問題一的最優(yōu)生產(chǎn)安排中所得到的總收益即為的最大值.4.3問題三的模型在問題三中,由于一臺新的惠林硫化機預定在第四季度初到達，如果支付200美元的小費，就可以提前在第三季度到達，這樣第三季度就可增加172小時的機器工作時間.故建立的模型為:目標函數(shù)為:min+200約束條件為: (1),(2),(3),(4),(6),(7)(20),(23),(24)同問題一的數(shù)學模型的約束條件. (5) (21) (22)5 模型的求解對于問題一的模型的求解的算法描述,顯然這個問題為整數(shù)規(guī)劃問題,解此類問題的一般步驟為:用連續(xù)松馳把此整數(shù)規(guī)劃問題轉化為線性規(guī)劃問題,使得問題難度降低.再用MATLAB軟件求得該問題的最優(yōu)解,再通過變量取整調(diào)整改進,使得解逐漸逼近最優(yōu)解.用MATLAB中的內(nèi)置函數(shù)Linprog來求得(程序1在附錄略):最優(yōu)解 美元表一:2801221.3040040053.3420030006000再經(jīng)過取整調(diào)整,在調(diào)整的過程中必須注意到各個約束條件是否符合滿足,得出整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解為:表二: 時間2801222040040053420030006000個數(shù)18667637025002666331350002500050000則在取得最優(yōu)解時候最小總成本費用為:美元此時的生產(chǎn)計劃安排如表二所示得:第一季度第一種機器生產(chǎn)第一種輪胎的時間和個數(shù)分別為:280小時和1866個第一季度第一種機器生產(chǎn)第二種輪胎的時間和個數(shù)分別為:420小時和3500個第一季度第二種機器生產(chǎn)第一種輪胎的時間和個數(shù)分別為:1222小時和7637個第一季度第二種機器生產(chǎn)第二種輪胎的時間和個數(shù)分別為:0小時和0個第二季度第一種機器生產(chǎn)第一種輪胎的時間和個數(shù)分別為:0小時和0個第二季度第一種機器生產(chǎn)第二種輪胎的時間和個數(shù)分別為:300小時和2500個第二季度第二種機器生產(chǎn)第一種輪胎的時間和個數(shù)分別為:400小時和2500第二季度第二種機器生產(chǎn)第二種輪胎的時間和個數(shù)分別為:0小時和0個第三季度第一種機器生產(chǎn)第一種輪胎的時間和個數(shù)分別為:400小時和2666個第三季度第一種機器生產(chǎn)第二種輪胎的時間和個數(shù)分別為:600小時和5000個第三季度第二種機器生產(chǎn)第一種輪胎的時間和個數(shù)分別為:53小時和331個第三季度第二種機器生產(chǎn)第二種輪胎的時間和個數(shù)分別為:0小時和0個對于問題二的模型的最優(yōu)解是與問題一的模型的最優(yōu)解相關聯(lián)的,當問題一的模型取得最優(yōu)解時,此時對應的總收益即為所求的解.故又由于總收入為所以對于問題一的解答中給出的最優(yōu)生產(chǎn)安排計劃中可以得最小的成本為: 美元所以總收益=總收入-總成本 即為:美元所以在問題一中的最優(yōu)化生產(chǎn)安排計劃中,得到的總收益為132344美元.對于問題三的求解:在問題三中的所建立的數(shù)學模型中,運用和解決問題一所采用的方法解此模型.利用MATLAB中的內(nèi)置函數(shù)Linprog來求得(程序2在附錄略):最優(yōu)解時對應的生產(chǎn)小時數(shù)為:2801221.304004500420030006000經(jīng)過人工取整調(diào)整后得到: 時間280122204004500420030006000個數(shù)186376370250030000350002500050000所以最少成本為:5*(280+1222+400+450+420+300+600)+3.10*15000+3.90*11000+0.23*(15000+11000)+(1863+7637-4000+3500-1000)*0.1+200=114740 美元而在第三季度沒有那臺提前到達的惠林硫化機的時候,可以達到的最優(yōu)化時的成本為114556美元比114740小,則說明了當支付200美元的小費，就可以使那臺惠林硫化機提前在第三季度到達，是不必要的.6 模型的評價由于Matlab軟件中是沒有現(xiàn)行的函數(shù)來實現(xiàn)整數(shù)規(guī)劃的，故在求解整數(shù)規(guī)劃過程中得出的只是近似解，要通過人工調(diào)整來實現(xiàn)整數(shù)規(guī)劃.模型具有較好的通用性，能夠適應同類問題的各種變化.模型的算法比較優(yōu)化.參考文獻:1.姚恩瑜,何勇,陳仕平 .數(shù)學規(guī)劃與組合優(yōu)化M.杭州.浙江大學出版社.20012.王沫然.MATLAB6.0與科學計算M. 北京.電子工業(yè)出版社.2001 3.陳理榮. 數(shù)學建模導論M. 北京.北京郵電大學出版社.1999附錄:程序1:clearclcf=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5;a=zeros(6,12);for i=1:6 a(i,i)=1;a(i,6+i)=1;endb=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 b(i,j)=-1/0.16; else b(i,j)=-1/0.15; end endendc=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 c(i,j+6)=-1/0.14; else c(i,j+6)=-1/0.12; end endendA=a(1,:);a(2,:);a(3,:);a(4,:);a(5,:);a(6,:);b(1,:);b(2,:);c(1,:);c(2,:);bb=700;1500;300;400;1000;300;-4000;-12000;-1000;-6000;Aeq=b(3,:);c(3,:);beq=-15000;-11000;lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,bb,Aeq,beq,lb);程序2:clearclcf=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5;a=zeros(6,12);for i=1:6 a(i,i)=1;a(i,6+i)=1;endb=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 b(i,j)=-1/0.16; else b(i,j)=-1/0.15; end endendc=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 c(i,j+6)=-1/0.14; else c(i,j+