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高一年級學科教學指導建議數 學烏市教研中心中學數學教研員 曾世威必修1、必修4一、主要內容必修1 全書分為三章，共36課時具體內容是：第1章 集合與函數概念（13課時）第2章 基本初等函數(指數函數、對數函數、冪函數）（14課時）第3章 函數的應用（9課時）必修4 全書分為三章，共36課時具體內容是：第1章 基本初等函數（三角函數）（16課時）第2章 平面上的向量（12課時）第3章 三角恒等變換（8課時）二、教學要求基本要求發(fā)展要求三、教學建議 1課時分配 2重點難點 3分析說明上述關于高中數學“課程目標”、“內容標準”請參照普通高中數學課程標準中的闡述，每一章的“總體設計、教材分析”在人教版數學1、數學4教師教學用書中也都有詳細的解析，請老師們認真學習，遵照執(zhí)行四、變化問題思考高中新課程實施一年來，從數學課堂教學看，我們得到理念、觀念及操作層面的以下情況，供大家參考（一）變化1標準對具體目標的發(fā)展拓展了數學基礎知識和基本技能的內涵大綱：基礎知識：高中數學的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法基本技能：按照一定的程序于步驟進行運算、處理數據（包括使用計算器）、簡單的推理、畫圖以及繪制圖表等技能標準：理解概念、結論的本質；了解概念、結論產生的背景、應用；體會數學思想和方法在后續(xù)教學中的作用“正確學習目的”、“尋求簡捷的運算途徑”、“畫圖及繪制圖表”這一要求囊括進了“雙基”，拓展了“雙基”的內涵，與時俱進地認識雙基，強調本質，注意適度形式化，注意提高學生的數學應用意識2首次提出過程性目標一種新的目標類型，對學習過程本身提出的要求“通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”； “對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷”； 對學習活動本身的空前重視，學習過程甚至比學習結果更重要-講背景，講過程，講應用；提倡積極主動、勇于探索的學習方式；自主學習、探究學習、合作學習_注重信息技術與數學課程的整合；強調探究，重視知識的發(fā)生與發(fā)展過程教學方式的根本性轉變；新學習方式下的有效學習，駕馭課堂技藝要高超3在“綜合能力”方面，首次明確提出“發(fā)展獨立獲取數學知識的能力”，發(fā)展獨立獲取數學知識的能力是學校教育最重要的目標之一4豐富完善了“情感態(tài)度價值觀”方面的目標大綱：良好的個性品質和辨證唯物主義觀點的培養(yǎng)標準：“認識數學的科學價值、應用價值和文化價值”；“崇尚數學的理性精神”；“形成批判性的思維習慣”；“體會數學的美學意義”；“樹立歷史唯物主義世界觀”也就是要講歷史，講思想，講文化5教學內容及處理方式上的變化數學1 函數概念與基本初等函數I增加知識點：無理指數冪冪函數無理指數冪是為了夯實數學基礎新增的內容，通過數表和圖體現(xiàn)“用有理數逼近無理數”的思想（逼近的思想），了解實數指數冪的意義，加上使用適當信息技術，其目的是幫助學生更好地認識和理解數學，主要用于傳統(tǒng)教學方法無法呈現(xiàn)或難以呈現(xiàn)的內容冪函數是新增內容，但要求較低，通過實例了解概念，了解五個冪函數的性質提高要求: 分段函數要求能簡單應用降低要求: 反函數的處理，只要求以具體函數為例進行解釋和直觀理解，不要求一般地討論形式化的反函數定義，也不要求求已知函數的反函數互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 的對稱性，不在正文中展現(xiàn)，只在拓展欄目“探究與發(fā)現(xiàn)”中讓學生去探究，且不出結論（1）先講函數后講映射；（2）削弱對定義域、值域過于繁、難的，尤其是人為的過于技巧化的訓練；（3）在高中階段，多次反復、螺旋上升式地幫助學生逐步加深理解函數概念；目的：使學生認識到函數是刻畫現(xiàn)實世界變量間依賴關系的基本數學模型做法：選取大量背景實例和應用實例；專門安排第3章“函數的應用”本冊教科書適合使用信息技術的內容：求函數值作函數圖象研究函數性質擬合函數（1）正文中適于信息技術使用的內容以“旁注”的方式給于提示；（2）設置拓展性欄目“信息技術應用”；（3）信息技術支持系統(tǒng)（幾何畫板，Excel等）各章中關鍵問題的具體處理方式：集合：把集合作為一種語言來學習，創(chuàng)設使用集合語言描述數學對象的情境；提供自然語言、集合語言、圖形語言三種語言互相轉換的機會（教學中需加強）注重歸納、概括、類比等思維方法；由實例歸納、概括出集合含義；類比數的關系、運算引入集合的關系、運算函數：函數概念的處理方式強調對函數本質的理解，從豐富的背景實例引入概念；從函數三要素、函數符號、函數表示三個方面剖析、理解函數概念；從函數推廣到映射（特殊到一般）討論函數性質的“三步曲”加強幾何直觀、數形結合、觀察圖象，描述變化規(guī)律；結合圖、表，用自然語言描述變化規(guī)律；用形式化語言描述變化規(guī)律把研究問題的方法交給學生要特別處理好教材中的3個實例，不要隨意更換，重點放在共同本質屬性的概括過程上基本初等函數（）：強調背景和應用；引入每一類函數模型時的背景實例例如，GDP增長問題、碳-14衰減問題等例題、習題中大量的應用實例例如，藥品殘余量問題、地震震級問題等函數的應用：二分法：引入二分法的考慮：求方程近似解的一種常用方法；體會函數思想的一個好的載體，體現(xiàn)方程與函數的聯(lián)系，加強函數的應用；為學習算法做鋪墊教科書對二分法的處理方式：從具體到一般推廣到方程與相應函數零點間的關系；通過“探究”，給出判斷零點存在條件；針對具體函數滲透二分法的思想，給出定義和步驟 幾類不同增長的函數模型：通過實例感受不同函數模型的增長差異分析三個具體函數增長差異獲得三類函數增長差異結論應用的三個層次體驗建立函數模型的過程與方法給定函數模型，解決問題；建立“確定性”函數模型，解決問題；根據數據擬合函數，解決問題本冊教科書的特點：強調背景，展現(xiàn)過程，改進學習方式讓學生感到概念和結論的得出是水到渠成的，自然的，而不是強加于人的有利于學生認識數學內容的實際背景在豐富的背景中，在恰當的時候采用提出問題，經歷觀察、歸納、概括、交流、反思的思維過程，經歷知識發(fā)生發(fā)展的過程通過留白、留空等方式鼓勵學生積極參與這個過程，主動思考、自主探索突出聯(lián)系、體現(xiàn)應用，培養(yǎng)應用意識充分關注知識內容間的聯(lián)系本冊教科書注重體現(xiàn)知識之間的聯(lián)系、知識與實際的聯(lián)系、知識的廣泛應用等使學生從整體上把握所學數學知識，加強應用意識，提高學生數學創(chuàng)造力重視數學思想方法，關注數學文化本模塊中蘊含了豐富的思想方法，主要有數形結合、用函數觀點研究問題、數學建模的思想方法本書給予了數學文化很大的關注，希望學生不僅在知識和能力方面得到提高，而且能夠感受到數學文化的熏陶，提高科學文化素養(yǎng)注重信息技術與數學課程的整合信息技術是一種有效的認知工具，能夠為學生進行自主探究提供強有力的平臺，呈現(xiàn)以往教材和其他教學手段難以呈現(xiàn)的內容，幫助學生更好地理解數學本質，從而主動地探索和研究數學數學4 基本初等函數II（三角函數） 平面上的向量刪減知識點：已知三角函數值求角；線段定比分點、平移公式教學目標的變化：強調三角函數的描述周期現(xiàn)象的數學模型的作用；強調向量溝通代數、幾何與三角函數的工具作用，也是高中數學的核心概念之一；不在三角變換的技巧上提過高要求.結構特點：從定義、圖象、性質等角度研究三角函數，不再把三角變換穿插其中，使函數“味道”更濃；向量安排在三角變換之前，為推導兩角差的余弦公式作準備；三角恒等變換獨立成章，重點在基本公式的推導和簡單應用上，意在培養(yǎng)推理和運算能力各章中關鍵問題的具體處理方式：（1）為什么用單位圓上點的坐標定義三角函數？突出三角函數概念的本質；簡化定義形式，體現(xiàn)數學的從簡精神；加強與幾何的聯(lián)系，便于應用（2）充分發(fā)揮單位圓的作用；1弧度的大小任意角的三角函數定義：任意角 點 的縱坐標正弦；任意角 點 的橫坐標余弦（3）三角函數圖象、基本性質、同角三角函數關系、誘導公式三角函數的所有內容都可以借助單位圓的直觀進行討論 ；圓周長 周期性 關于 軸對稱 關于 軸對稱 關于直線 對稱 旋轉對稱性和（差）角公式 反射對稱性和化積（4）函數 的圖象局部固定參數：探索 對 的圖象的影響；探索 對 的圖象的影響；探索 對 的圖象的影響；上述三個過程的合成具體到抽象歸納思想要講清“為什么？”；關注數學內容的內在聯(lián)系(數形結合): 三角函數關于圓與三角形的解析幾何；關注研究方法類比、推廣、特殊化（化歸）；加強三角函數作為刻畫周期變化現(xiàn)象的數學模型的思想：用已知的三角函數模型解決問題，將復雜的函數模型轉化為基本初等函數解決問題，根據問題情景建立精確的三角函數模型解決問題，通過數學建模，利用數據建立擬合函數解決實際問題準確把握教學要求：加強三角函數作為刻畫現(xiàn)實世界的數學模型，借助單位圓理解三角函數的概念、性質，以及通過建立三角函數模型解決實際問題等削弱內容：刪減任意角的余切、正割、余割，三角函數的奇偶性，已知三角函數求角，反三角函數符號，對三角函數周期性的一般討論作為選學內容，任意角概念、弧度制概念、同角三角函數的基本關系式、誘導公式等都降低了要求 關于向量內容：（1）目標與定位目標：理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學、物理中的一些問題定位：溝通代數、幾何與三角函數的一種工具“工具性”（2）內容的結構順序向量的實際背景及基本概念；向量的線性運算；面向量基本定理及坐標表示；向量的數量積；向量應用舉例（3）向量法利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質和基本定理的運用轉化為向量運算律的系統(tǒng)運用：點（以該定點為終點的）向量；直線一個點 、一個方向 定性刻畫；引進數乘向量 ，可以實際控制直線；平面一個點 、兩個不平行（非 ）向量 、 在“原則”上確定了平面（定性刻畫）；引入向量的加法 ，平面上的點 就可以表示為 （以及定點 ）的對象（定量刻畫）；距離和角引進向量的數量積的定義 ；作為反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系；向量幾何不依賴于坐標系的解析幾何（向量法：“三步曲”用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；把運算結果“翻譯”成幾何關系）值得注意的幾個問題：焦點是如何提高向量教學的思想層次（1）突出向量的物理背景與幾何背景；（2）強調向量作為解決現(xiàn)實問題和數學問題的工具作用；（3）強調向量法的基本思想，明確向量運算及運算律的核心地位；（4）通過與數及其運算的類比，向量法與坐標法的類比，建立相關知識的聯(lián)系，突出思想性向量及其運算與數及其運算的類比：研究內容及其方法的獲得；向量的線性運算及運算律與數的加減及其運算律的類比；向量的坐標表示與數軸上點表示數的類比；向量數量積的運算律與數的乘法運算律的類比；向量法與解析法的類比（5）三角恒等變換學習目標：(1)經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用(2)能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系(3)能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括嘗試導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶），通過這些基本訓練，使學生進一步提高運用聯(lián)系的觀點、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會一般與特殊的關系與轉化、換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用(4)在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力關于兩角差的余弦公式的推導：公式推導方法較多，可以讓學生探究不同方法體現(xiàn)了不同角度看同一個問題，體現(xiàn)了知識之間的多角度聯(lián)系需要注意的問題：精心設計教學過程，為向量法的引出做好鋪墊，在差角余弦公式的推導上舍得用些時間；三角變換：三角函數式的結構形式變換，角的變換，不同三角函數之間的變換與代數變換的類比；推理、運算能力的培養(yǎng)有條理地思維，類比、推廣、特殊化等思考方法的應用；不搞技巧性訓練6學生在課堂中的作用得到重視有自主探究的時間，有交流的可能，有選擇的機會教學預設時，既分析教材，也分析學生，即考慮傳授，也不忘發(fā)現(xiàn)教學生成時，不以知識完成為目標，能以學生理解為追求承認學生差距，努力體現(xiàn)兼顧7教師課堂教學的研究意識增強 研究教材，重組教學材料研究教法，引入、重設新的教學形式在知識形成過程中，重視教學作用充分發(fā)揮的探索 教師有思想、有觀念教師群體教學相長，以提升各自的專業(yè)水平 8校本教研更為充實更為求實 校本教學研究圍繞新課程實驗，備課組成為教學實體問題不斷，交流不斷，問題不斷，思考不斷任務連續(xù)，有事可研，活動定時出現(xiàn)了新的課堂教學的研究課題（二）問題1課時不夠估計到并預防的問題：超標拓展（如反函數復合函數的處理），內容提前（如集合的教學/一元二次不等式），一次到位（如函數的性質立體幾何的處理）實際出現(xiàn)的新問題：新的教學方式和學習方式引起的；教材模塊化螺旋上升“廣而薄”引起的；完成各類考試需要的學生知識內化過程不完備引起的 2學生負擔過重估計到并預防的問題：課時增加，要求統(tǒng)一，教輔陳舊，生源水平實際出現(xiàn)的新問題：學生知識內化時間不足，過程不完備，高能低分師生負擔問題，實施高中課改后，周課時數絕大多數在5、6課時以上特別是，有一些學校周課時數在7或以上這是一個非常值得注意的現(xiàn)象數學的課業(yè)負擔加重了應當說這是與課程改革的初衷相悖的造成數學課業(yè)負擔越來越重的因素到底是什么？這也是一個值得深究的問題造成學生課業(yè)負擔的原因是多方面的，課程設置、教材內容、教師教學、高考評價、配套資源等等都在其中起作用是否可以認為課業(yè)負擔重的原因并不在課程和教材，而是另有原因呢？從教學上來看，內容與要求上的“兩個并集”：“課標”與“大綱”的并集；“課標”中前后不同階段要求的并集（1）強調減負，但是對教師的評價還只是以考分高低論英雄，學生還是以考卷論英雄，因此，教師還是比賽留作業(yè)，學生還是千萬次地作題除了分數這把尺子，還能不能有別的尺子？（2）反對補課，但是哪個有條件的人能心甘情愿地不讓自己的孩子補課？3關于“度”的把握教育教學真正的困惑在于“度”，提問題的境界：程度、限度事物保持自己的質的穩(wěn)定性的數量界限，或某種質所能容納的量的活動范圍度是質和量的統(tǒng)一在這種限度內，量的增減不會改變事物的質超出這種限度，量變就會引起質變，破壞原來的度而建立新的度，一事物就轉化為他事物講背景的度，探究的度，重視知識的發(fā)生與發(fā)展過程的度，合作交流學習的度，知識、方法、能力要求的向度、難度、深度、廣度如：難點集中問題，比較集中地體現(xiàn)在數學1、2，把高中的主要內容：函數、立體幾何、解析幾何都過了一遍，幾個難點集中在一個學期，學生剛剛進入高中，本來需要一個適應期，內容應當容易一些，但是現(xiàn)在不僅內容多，而且難度也大，對許多學生都是當頭一棒，造成很大的數學學習精神負擔既要引入新課程理念，積極投入新課程實驗，改變舊的教學方式和學習方式，又要堅持傳統(tǒng)教學中一些優(yōu)良的東西，特別是傳統(tǒng)教學的高效性和課堂的可控性，不否定傳統(tǒng)方法 重視基本知識與基本方法（雙基）：合理、適量的數學訓練；恰當、及時的問題變式；優(yōu)化、全面的材料組合（講授式所需）4銜接問題（1）知識銜接初中刪除的內容（23處）：1) 立方和公式與立方差公式2) 因式分解中的十字相乘法、分組分解法3) 含有字母的方程4) 三元一次方程組5) 根式的分母有理化、最簡根式 ， 根式化簡6) 畫頻率分布直方圖7) 可化為一元二次方程的分式方程（只要求化為一元一次方程的分式方程），分式乘方8) 無理方程9) 高次方程10) 二元二次方程組11) 一元二次不等式12) 一元二次方程根的判別式13) 韋達定理14) 換元法15) 平行線等分線段定理，平行的傳遞性16) 平行線分線段成比例定理，梯形中位線（教材中有但中考不考）17) 截三角形兩邊或延長線的直線平行于第三邊的判定定理18) 空間直線、平面的位置關系19) 圓內接四邊形的性質20) 軌跡定義21) 圓的有關定理：垂徑定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，兩圓連心線性質定理，兩圓公切線性質定理22) 相切作圖，正多邊形的有關計算，等分圓周，三角形的內切圓23) 三角函數中的同角三角函數的基本關系式初中降低要求的內容（9處）：1）有理數混合運算強調最多三步，學生習慣性使用計算器，筆算、口算、心算能力弱；2）多項式相乘僅要求一次式相乘，無除法；3）因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超過兩次；4）根式的運算要求低；5）絕對值符號內不能含有字母；6）配方法要求低，只在解一元二次方程中有簡單的要求，而在二次函數中也不要求用配方法，求頂點、最值，只要求用公式求，且又不要求記憶公式和推導（中考試卷中會給出公式）；7）幾何中大大減少定理的數量，刪除繁難的幾何證明，淡化幾何證明的技巧；8）反證法，初中只要求通過實例，體會反證法的含義，了解即可；9）輔助線，中考只要求添加一條輔助線目前初高中銜接表現(xiàn)出的初中內容的個別“不適當”的刪減與降低要求部分，導致學生“雙基”無法達到高中教學要求；初中不適當地“搶戲”，導致“夾生飯”、“注入式”教學（學生思維能力達不到要求）；高中不顧學生的基礎，任意拔高教學要求，繁瑣的、高難度的運算充斥課堂（2）能力銜接書面表達、運算能力、推理論證（3）初高中課標的銜接初中更側重活動，高中更側重理性；初中更側重合情推理，高中更側重邏輯推理（4）大綱與課標的銜接主要是教學方式和學習方式的銜接（5）初高中教材銜接新課程初中新教材：對知識的展現(xiàn)是“問題情境抽象出數學問題建立模型解釋與應用”的過程高中教材：內容較初中劇增；知識的呈現(xiàn)注重邏輯性、抽象性“起點高、難度大、容量多”5資源問題教輔與教材不配套；教學資料匱乏；技術支持不能到位（硬件、教師素質）等6. 師資問題對新課改的認識不到位：未把準這次課程改革的基本方向；對新課標的學習不深入：未把握高中數學課程的基本理念；對新教材的研究不精細：未領會高中數學教材的編寫意圖；對新課堂的教學不創(chuàng)新：未進行教學方式與學習方式轉變 戀舊心理、習慣思維、依賴思想、等待觀望、畏難情緒、懷疑心理、僥幸心理（三）思考1新理念引領我們自覺進行教學方法和教學方式的改變2新教材“逼著我們”要按新課標要求施教3新方法又誘導學生進行“潤物細無聲”式的學習方式的改變4教學要求把握從宏觀層面看不搞“一步到位”；刪減的內容不要隨意補充；某些內容不要隨意調整順序；教輔材料不能作為教學的依據；把更多的注意力放在核心概念、基本數學思想方法上；注重通性通法，不追求“特技”從微觀層面看對重點的傳統(tǒng)知識作適當拓廣例如，二次函數，它一直是高（初）中的重點基礎知識，在高中數學中二次函數可以與其它許多數學知識相聯(lián)系，因此拓廣和加深二次函數是必要的，又如在高中數學中如閉區(qū)間上二次函數的最值；二次函數含參數討論最值；利用二次函數判斷方程根的分布等，這些內容可作適當拓廣對新增加的知識內容加強基礎訓練新課標中增加了一部分新的數學知識，特別是選修系列中新內容較多，有些新內容與高等數學有關，對這些內容在教學中不宜當作高等數學知識來講，只要讓學生認識基本思想即可拓廣數學知識的背景數學教學中應該講背景、講聯(lián)系、講思想，要通過背景知識的介紹，使學生感悟其中的數學思想方法根據新課標控制知識的拓廣新課標刪去的