六年級(jí)奧數(shù)正式教材老師用.doc

精品文檔目錄（一） 數(shù)字謎- 2 - 橫式字謎- 2 - 豎式字謎- 4 -（二） 定義新運(yùn)算- 7 -（三） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（1）- 11 -（四） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（2）- 14 -（五） 抽屜問題- 19 -（六） 邏輯推理- 22 -（七） 牛吃草- 25 -（八） 工程問題- 28 -（九） 植樹問題- 32 -（十） 有趣的樹陣圖- 35 -（十一） 有趣的樹陣圖練習(xí)- 39 -（十二） 周期性問題- 42 -（十三） 棋盤中的數(shù)學(xué)- 47 -（1） 數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個(gè)地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認(rèn)，需要運(yùn)用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原?！跋x食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用、等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導(dǎo)例1 ，8，97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399.98。例4 我學(xué)數(shù)學(xué)樂我學(xué)數(shù)學(xué)樂=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂”分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？ 分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6 ，81619*81619=6661661161例5 （）=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是使用四則運(yùn)算符號(hào)，例如ab=3a-3b，新運(yùn)算使用的符號(hào)是，而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算意義的則是四則運(yùn)算符號(hào)。正確解答定義新運(yùn)算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進(jìn)行運(yùn)算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四則運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性質(zhì)解題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4a-3b,試計(jì)算56，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計(jì)算中不得將前后的數(shù)交換。例2.對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3a+2b,試計(jì)算（56）7，5（67）。思路導(dǎo)航：先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79說明 本題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有區(qū)別的。例3.已知23=234，42=45，一般地，對(duì)自然數(shù)a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.計(jì)算（63）-（52）。思路導(dǎo)航：原式=67-56 =336-30規(guī)定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路導(dǎo)航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 鞏固訓(xùn)練1.若對(duì)所有b,ab =ax,x是一個(gè)與b無關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。分析 注意本題有兩種運(yùn)算，由（13）3=1（33），可求出x.解 因?yàn)椋?3）3=1（33），所以（1x）即（x+3）2=xx+3=2xx=3因?yàn)椋?4）2 =（14）2 =（4+2）2 =32. 如果規(guī)定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。解題思路依題意可以看出：定義的新運(yùn)算為連續(xù)三個(gè)數(shù)的乘積，而且，里的數(shù)就是三個(gè)連續(xù)數(shù)中的中間的哪個(gè)數(shù)，即是2，3，4三個(gè)連續(xù)的乘積，是3，4，5三個(gè)連續(xù)睡的乘積，從而不難求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=10143、 能力提升答案（3） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（1）我們?cè)?jīng)學(xué)過的三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形.我們的面積及周長(zhǎng)都有相應(yīng)的公式直接計(jì)算.如下表：實(shí)際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長(zhǎng)無法應(yīng)用公式直接計(jì)算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形。那么，不規(guī)則圖形的面積及周長(zhǎng)怎樣去計(jì)算呢？我們可以針對(duì)這些圖形通過實(shí)施割補(bǔ)、剪拼等方法將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，問題就能解決了。一、例題與方法指導(dǎo)例1如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。思路導(dǎo)航：陰影部分的面積等于甲、乙兩個(gè)正方形面積之和減去三個(gè)“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面積之和。例2如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積. 思路導(dǎo)航：ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，四邊形 AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形ABCD的。在ABE中，因?yàn)锳B=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面積為222=2。所以SAEF=S四邊形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。BC例3兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。思路導(dǎo)航：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，陰影部分面積=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例4如右圖，A為CDE的DE邊上中點(diǎn)，BC=CD，若ABC（陰影部分）面積為5平方厘米.求ABD及ACE的面積.思路導(dǎo)航：取BD中點(diǎn)F，連結(jié)AF.因?yàn)锳DF、ABF和ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.ACD的面積等于15平方厘米，ABD的面積等于10平方厘米。又由于ACE與ACD等底、等高，所以ACE的面積是15平方厘米。二、鞏固訓(xùn)練1.如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。解：過E作BC的垂線交AD于F。在矩形ABEF中AE是對(duì)角線，所以SABE=SAEF=8.在矩形CDFE中DE是對(duì)角線，所以SECD=SEDF。D2.如右圖，已知：SABC=1，AE=ED,BD=BC.求陰影部分的面積。解：連結(jié)DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3.如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長(zhǎng)DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？解：連結(jié)AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.SAGD=442=8，又DG=5，SAGD=AHDG2，AH=825=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。4.如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AED的面積是5平方米，BC=10米，求陰影部分面積.解：梯形面積=（上底+下底）高2即45=（AD+BC）62，45=（AD+10）62，AD=4526-10=5米。ADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高減去ADE的高，即6-2=4米，5.如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等.證明：連結(jié)CE，ABCD的面積等于CDE面積的2倍，而 DEFG的面積也是CDE面積的2倍。 ABCD的面積與 DEFG的面積相等。（4） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（2）不規(guī)則圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長(zhǎng)方形等規(guī)則圖形組合而成的，這是一類更為復(fù)雜的不規(guī)則圖形，為了計(jì)算它的面積，常常要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?、拼補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，同時(shí)還常要和“容斥原理”（即：集合A與集合B之間有：SABSASb-SAB）合并使用才能解決。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.如右圖，在一個(gè)正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓.求陰影部分的面積。解法1：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到右圖.這時(shí)，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。解法2：將上半個(gè)“弧邊三角形”從中間切開，分別補(bǔ)貼在下半圓的上側(cè)邊上，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。解法3：將下面的半圓從中間切開，分別貼補(bǔ)在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形的一半.例2.如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。解：由容斥原理 S陰影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形ABCD例3如右圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求陰影部分的面積。例4.如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB20厘米，如果陰影（）的面積比陰影（）的面積大7平方厘米，求BC長(zhǎng)。分析 已知陰影（）比陰影（）的面積大7平方厘米，就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米；又知半圓直徑AB20厘米，可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面積，進(jìn)而求出三角形的底BC的長(zhǎng).2、 鞏固訓(xùn)練1.如右圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（I）的面積之差。而（I）的面積等于邊長(zhǎng)為6的正方形的面積減去以6為半徑的圓的面積。2.如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，此時(shí)AB到達(dá)AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）. 解：整個(gè)陰影部分被線段CD分為和兩部分，以AB為直徑的半圓被 弦AD分成兩部分，設(shè)其中AD右側(cè)的部分面積為S，由于弓形AD是兩個(gè)半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個(gè)半圓的剩余部分面積相等.即=S，由于：3.如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積.4.如下頁右上圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部分面積（取3.14）。解：三角形ABC是等腰直角三角形，以AC為對(duì)角線再作一個(gè)全等的等腰直角三角形ACE，則ABCE為正方形（利用對(duì)稱性質(zhì)）。總結(jié)：對(duì)于不規(guī)則圖形面積的計(jì)算問題一般將它轉(zhuǎn)化為若干基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關(guān)系，問題便得到解決.常用的基本方法有：一、 相加法：這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基本規(guī)則圖形，分別計(jì)算它們的面積，然后相加求出整個(gè)圖形的面積.例如，右圖中，要求整個(gè)圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了. 二、 相減法：這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個(gè)基本規(guī)則圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可. 三、 直接求法：這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁右上圖，欲求陰影部分的面積，通過分析發(fā)現(xiàn)它就是一個(gè)底是2，高為4的三角形，面積可直接求出來。四、 重新組合法：這種方法是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要，重新組合成一個(gè)新的圖形，設(shè)法求出這個(gè)新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個(gè)角處，這時(shí)采用相減法就可求出其面積了.五、 輔助線法：這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個(gè)基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖，求兩個(gè)正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡(jiǎn)便. 六、 割補(bǔ)法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來補(bǔ)在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補(bǔ)在左邊，這樣整個(gè)陰影部分面積恰是正方形面積的一半. 七、 平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動(dòng)到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積.例如，如右圖，欲求陰影部分面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個(gè)陰影部分恰是一個(gè)正方形。八、 旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點(diǎn)或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個(gè)新的基本規(guī)則的圖形，便于求出面積.例如，欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.九、 對(duì)稱添補(bǔ)法：這種方法是作出原圖形的對(duì)稱圖形，從而得到一個(gè)新的基本規(guī)則圖形.原來圖形面積就是這個(gè)新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關(guān)于AB為對(duì)稱軸的對(duì)稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個(gè)或兩個(gè)以上圖形的重疊部分，然后運(yùn)用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解決。例如，欲求右圖中陰影部分的面積，可先求兩個(gè)扇形面積的和，減去正方形面積，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e恰好是兩個(gè)扇形重疊的部分. （5） 抽屜問題如果將5個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。道理很簡(jiǎn)單，如果每個(gè)抽屜中放的蘋果都少于2個(gè)，即放1個(gè)或不放，那么3個(gè)抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個(gè)蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿籠里，那么一定有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。說明這個(gè)原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個(gè)抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個(gè)抽屜中所放物品的總數(shù)就不會(huì)超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入1件物品，共放入n件物品，此時(shí)再放入1件物品，無論放入哪個(gè)抽屜，都至少有1個(gè)抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個(gè)抽屜，將367名小朋友看作367個(gè)物品。這樣，把367個(gè)物品放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2.在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？分析與解：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜”。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里。將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除。例3.在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2?，F(xiàn)在，對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。第一種情形。有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。第二種情形。至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。2、 鞏固訓(xùn)練1.有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來考慮抽屜的設(shè)計(jì)。對(duì)于每堆水果中的蘋果、桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有4種情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性。將這4種情形看成4個(gè)抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。2.用紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)25方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個(gè)小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？分析與解：用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，只有下面四種情形：將上面的四種情形看成四個(gè)“抽屜”。根據(jù)抽屜原理，將五列放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。在上面的幾個(gè)例子中，例1用一年的366天作為366個(gè)抽屜；例2與例3用整數(shù)被3除的余數(shù)的三種情形0，1，2作為3個(gè)抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個(gè)抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數(shù)與桔子數(shù)的奇偶搭配情形作為4個(gè)抽屜；例6將每列中兩個(gè)小方格涂色的4種情形作為4個(gè)抽屜。由此可見，利用抽屜原理解題的關(guān)鍵，在于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造抽屜。 3.在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米？分析與解：把長(zhǎng)度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長(zhǎng)度是1厘米（見下圖）。將每段線段看成是一個(gè)“抽屜”，一共有10個(gè)抽屜?，F(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）。由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會(huì)大于1厘米。所以，在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米。3、 拓展提升1.有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.把每人的3枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因此共有5個(gè)蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。2. 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計(jì)10種情況.把這10種花色配組看作10個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果.所以至少有11個(gè)人。3.從2、4、6、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。（6） 邏輯推理曾經(jīng)愛因斯坦出過一道測(cè)試題, 他說世界上有98%的人回答不出!讓我們一起來看看是什么題呢。在一條街上有5座顏色不同的房子，住著5個(gè)不同國家的人，他們抽著5種不同的煙，喝著5種不同的飲料，養(yǎng)著5種不同的寵物。有下面15個(gè)已知條件，求解。1、英國人住紅色房子。2、瑞典人養(yǎng)狗。3、丹麥人喝茶。4、綠色房子在白色房子左面。5、綠色房子主人喝咖啡。6、抽Pall Mall香煙的人養(yǎng)鳥。7、黃色房子主人抽Dunhill香煙。8、住在中間房子的人喝牛奶。9、挪威人住第一間房。10、抽Blends香煙的人住在養(yǎng)貓的人隔壁。11、養(yǎng)馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。12、抽Blue Master的人喝啤酒。13、德國人抽Prince香煙。14、挪威人住藍(lán)色房子隔壁。15、抽Blends香煙的人有一個(gè)喝水的鄰居。問:哪個(gè)國家的人養(yǎng)魚?這道題為什么會(huì)難倒這么多人呢，首先，我們就來研究一下關(guān)于他的最基本的邏輯問題吧。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.某地質(zhì)學(xué)院的學(xué)生對(duì)一種礦石進(jìn)行觀察和鑒別：甲判斷：不是鐵，也不是銅。乙判斷：不是鐵，而是錫。丙判斷：不是錫，而是鐵。經(jīng)化驗(yàn)證明：有一個(gè)人的判斷完全正確，有一個(gè)人說對(duì)了一半，而另一個(gè)人完全說錯(cuò)了。你知道三人中誰是對(duì)的，誰是錯(cuò)的，誰是只對(duì)一半的嗎？思路導(dǎo)航：丙全說對(duì)了，甲說對(duì)了一半，乙全說錯(cuò)了。先設(shè)甲全對(duì)，推出矛盾后，再設(shè)乙全對(duì)，又推出矛盾，則說明丙全對(duì)，甲說對(duì)了一半，乙全說錯(cuò)了。例2.數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，小明、小華和小強(qiáng)各獲得一枚獎(jiǎng)牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。老師猜測(cè)：“小明得金牌，小華不得金牌，小強(qiáng)不得銅牌?！苯Y(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè)，那么誰得金牌，誰得銀牌，誰得銅牌？思路導(dǎo)航：小華得金牌，小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。（1）若小明得金牌，小華一定“不得金牌”，這與“老師只猜對(duì)了一個(gè)”相矛盾，不合題意。（2）若小華得金牌，那么“小明得金牌”與“小華不得金牌”這兩句都是錯(cuò)的，那么“小強(qiáng)不得銅牌”應(yīng)是正確的，那么小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。例3.一位法官在審理一起盜竊案中，對(duì)涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進(jìn)行了審問。四人分別供述如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中?！币艺f：“我沒有做案，是丙偷的?！北f：“在甲和丁中間有一人是罪犯?！倍≌f：“乙說的是事實(shí)?！苯?jīng)過充分的調(diào)查，證實(shí)這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話。同學(xué)們，請(qǐng)你做一名公正的法官，對(duì)此案進(jìn)行裁決，確認(rèn)誰是罪犯？思路導(dǎo)航：乙和丁是盜竊犯。如果甲說的是假話，那么剩下三人中有一人說的也是假話，另外兩人說的是真話。可是乙和丁兩人的觀點(diǎn)一致，所以在剩下的三人中只能是丙說了假話，乙和丁說的都是真話。即“丙是盜竊犯”。這樣一來，甲說的也是對(duì)的，不是假話。這樣，前后就產(chǎn)生了矛盾。所以甲說的不可能是假話，只能是真話。同理，剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的是假話，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述為真話，即甲不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。2、 鞏固訓(xùn)練1.小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是戰(zhàn)士，一位是大學(xué)生。現(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學(xué)生不同歲，大學(xué)生比小張年齡小。那么三人各是什么職業(yè)?解：小李是大學(xué)生，小王是戰(zhàn)士，小張是工人.2.甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會(huì)英文，乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？解：甲是日本人，乙是中國人，丙是英國人。3.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。（1）車工只和電工下棋；（2）王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；（3）徐師傅與電工下棋互有勝負(fù)；（4）陳師傅比鉗工下得好。問：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？徐是車工，王是鉗工，陳是電工，趙是木工。解：提示：由（2）（3）（1）可畫出右表：（7） 牛吃草牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。這類問題常用到四個(gè)基本公式，分別是：（1）草的生長(zhǎng)速度（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)）（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；（2）原有草量牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；（3）吃的天數(shù)原有草量（牛頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度）；（4）牛頭數(shù)原有草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度。這四個(gè)公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變，設(shè)為1，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.青青一牧場(chǎng) 青青一牧場(chǎng)，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改養(yǎng)廿三只，九周走他方；若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊狻＃窘庹f】這道詩題，是依據(jù)聞名于世界的“牛頓牛吃草問題”編寫的。牛頓是英國人，他的種種事跡早已聞名于世，這里不贅述。他曾寫過一本書，名叫普遍的算術(shù)，“牛吃草問題”就編寫在這本書中。書中的這道題目翻譯過來是：一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，27頭牛6個(gè)星期可以吃完，或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草是不斷生長(zhǎng)的。）解答這一問題，首先必須注意牧場(chǎng)里的草是不斷生長(zhǎng)增多的，而并非一個(gè)固定不變的數(shù)值。這雖然大大地增加了解題的難度，但我們不要害怕。只要依據(jù)下面的思路，就一定會(huì)找到問題的答案。思路導(dǎo)航：因?yàn)?7頭6星期草料=（276=）162頭一星期草料23頭9星期草料=（239=）207頭一星期草料而這一牧場(chǎng)6星期吃完與9星期吃完，草料數(shù)量要相差207162=45（頭牛吃一星期的草料）這多出的草料，便是96=3（個(gè)星期之內(nèi)新長(zhǎng)出的草料）所以，一個(gè)星期新長(zhǎng)出的草料便是453=15（頭牛吃一星期的草料）進(jìn)而可知，這牧場(chǎng)最初的草料數(shù)量就是（2715）6=72（頭牛吃一個(gè)星期的草料）現(xiàn)在，有21頭牛來吃這牧場(chǎng)里的草，其中必須拿出15頭牛來吃每個(gè)星期新長(zhǎng)出來的草料，這就只剩下：21-15=6（頭牛）去吃最初已經(jīng)長(zhǎng)成的草料了。所以，21頭牛來吃這牧場(chǎng)的草料，全部吃光所需要的時(shí)間就是726=12（個(gè)星期）列成綜合算式，就是：27-（239276）（96）621-（239276）（96）=27-453621-4531266=12（個(gè)星期）答：21頭牛要12個(gè)星期才可以吃完。例2.一個(gè)牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長(zhǎng)，已知牛27頭，6天把草吃盡，同樣一片牧場(chǎng)，牛23頭，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？摘錄條件：27頭 6天 原有草+6天生長(zhǎng)草23頭 9天 原有草+9天生長(zhǎng)草21頭 ？天 原有草+？天生長(zhǎng)草解答這類問題關(guān)鍵是要抓住牧場(chǎng)青草總量的變化。設(shè)1頭牛1天吃的草為1，由條件可知，前后兩次青草的問題相差為239-276=45。為什么會(huì)多出這45呢？這是第二次比第一次多的那（9-6）3天生長(zhǎng)出來的，所以每天生長(zhǎng)的青草為453=15現(xiàn)從另一個(gè)角度去理解，這個(gè)牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的青草正好可以滿足15頭牛吃。由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出的15頭牛來吃當(dāng)天長(zhǎng)出的青草，另一組來吃是原來牧場(chǎng)上的青草，那么在這批牛開始吃草之前，牧場(chǎng)上有多少青草呢？（27-15）6=72那么：第一次吃草量276=162第二次吃草量239=207每天生長(zhǎng)草量453=15原有草量（27-15）6=72或162-156=7221頭牛分兩組，15頭去吃生長(zhǎng)的草，其余6頭去吃原有的草那么726=12（天）例3.一水庫原有存水量一定，河水每天入庫。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干，若要6天抽干，要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？摘錄條件：5臺(tái) 20天 原有水+20天入庫量6臺(tái) 15天 原有水+15天入庫量？臺(tái) 6天 原有水+6天入庫量設(shè)1臺(tái)1天抽水量為1，第一次總量為520=100，第二次總量為615=90每天入庫量(100-90)(20-15)=220天入庫220=40，原有水100-40=6060+26=72726=12（臺(tái)）2、 鞏固訓(xùn)練1、 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)了，每分鐘來的旅客一樣多，從開始檢票到隊(duì)伍消失（還有人在接受檢票），若開5個(gè)檢票口，要30分鐘，開6個(gè)檢票口，要20分鐘。如果要在10分鐘消失，要開多少個(gè)檢票口？解：把每個(gè)檢票口一分鐘檢票量作為1份，則每分鐘來的旅客為：530-62030-20=3份 開始檢票前有旅客：530303=60份所以要10分鐘剪完票，需要看開6031010=9個(gè)2、 畫展9點(diǎn)開門，但早有人來排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間。解：設(shè)每一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘通過“1份”人。每分鐘到來的人有27-259-5=0.5份人開門前已經(jīng)有27-0.59=22.5份人這些人來到畫展，用時(shí)間22.50.5=45（分）第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間為9點(diǎn)-45分=8點(diǎn)15分3、 由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天勻速減少。經(jīng)過計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或者供16頭牛吃6天，那么這片牧場(chǎng)上的草可供11頭牛吃幾天？解：20頭牛5天吃草205=100（份），16頭牛6天吃草166=96（份） 青草每天減少（100-96）6-5=4（份） 牧場(chǎng)原有草：100+45=120（份） 每天減少4份草，相當(dāng)于4頭牛吃掉，所以120份草可供114=15頭牛吃8天。4