(甘志國(guó))斜拋運(yùn)動(dòng)的最佳拋射角.doc

斜拋運(yùn)動(dòng)的最佳拋射角甘志國(guó)(該文已發(fā)表 數(shù)學(xué)通報(bào)，2011(12)：35-36)文獻(xiàn)1介紹了球星德拉普(Rory John Delap)：斯托克城屬于英超中的一支中下游足球隊(duì)，但是該隊(duì)參加的每一場(chǎng)比賽，往往都能成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，因?yàn)樗鼡碛幸晃簧瞄L(zhǎng)擲遠(yuǎn)距離界外球、最遠(yuǎn)距離為48.17米的世界記錄創(chuàng)造者，他就是后衛(wèi)德拉普(圖1).阿森納主帥溫格曾在一場(chǎng)比賽前說(shuō)：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑這場(chǎng)比賽中他沒(méi)有擲界外球的機(jī)會(huì).”圖1界外球怎樣才能擲得更遠(yuǎn)呢？圖2通常會(huì)認(rèn)為，以初速度、拋射角擲出的球在不計(jì)空氣阻力時(shí)的運(yùn)動(dòng)是斜拋運(yùn)動(dòng)(圖2)，其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為 (其中分別表示球在時(shí)刻飛行的水平距離和豎直高度，為重力加速度)由此可得球的射程為 公式說(shuō)明，球的射程與初速度及拋射角均有關(guān)，當(dāng)一定時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)射程最大.但文獻(xiàn)1還說(shuō)，英國(guó)物理學(xué)家尼克林斯納爾卻給出了否定的答案：球員把求擲得最遠(yuǎn)時(shí)，出手時(shí)的初速度與水平方向的夾角并不是，而是至.產(chǎn)生這一結(jié)果的原因是：對(duì)于公式，當(dāng)為定值時(shí)，時(shí)最大；而當(dāng)為定值時(shí)，越大就越大.可見(jiàn)球的飛行距離與初速度及拋射角均有關(guān).而在時(shí)不能達(dá)到最大值，所以在時(shí)，可達(dá)到最大值，所以取到最大值也是可能的.早在2003年，筆者就在文獻(xiàn)2中闡述了這樣的觀點(diǎn)：擲球的最佳拋射角應(yīng)小于.文獻(xiàn)1的出現(xiàn)，使筆者重新研究“斜拋運(yùn)動(dòng)的最佳拋射角”，并得到了漂亮的結(jié)論：定理 如圖3，以初速度、拋射角使物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)射程最大時(shí)(也即起點(diǎn)到落點(diǎn)的距離最大(因?yàn)樵趫D3(a)中，在圖3(b), (c)中為定值)，此時(shí)的拋射角叫做最佳拋射角，此時(shí)的拋射方向是起點(diǎn)豎直向上的方向與形成的角的平分線，且是問(wèn)題運(yùn)動(dòng)軌跡(拋物線)的焦點(diǎn)弦.圖3證明 易知圖3中拋物線的參數(shù)方程為(其中的意義也同中諸字母的意義)(其中分別表示球在時(shí)刻飛行的水平距離和豎直高度，為重力加速度)化為普通方程，得由文獻(xiàn)3的結(jié)論立知，其焦點(diǎn)為.即證.(1)圖1(a)的情形.由式可得，又，所以.(2)圖1(b)的情形(因?yàn)閿S球時(shí)有一個(gè)出手高度，擲球時(shí)出手高而落點(diǎn)低)，用表示球運(yùn)行到落點(diǎn)時(shí)的飛行時(shí)間，得所以因?yàn)檫@個(gè)關(guān)于“”的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，所以又，所以進(jìn)而可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，且最大值是.所以在圖3中，最佳拋射角應(yīng)為，它顯然小于.可得，又，所以，即.可得直線的方程為再由可驗(yàn)證.(3)圖1(c)的情形.同理可算得最大射程，最佳拋射角.可得，又，所以，即.可得直線的方程為再由可驗(yàn)證.該定理是有用的.設(shè)想在地面上從點(diǎn)開(kāi)始讓物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，由可迅速確定最佳拋射方向(即使起點(diǎn)到落點(diǎn)的距離最大的初速度的方向)；設(shè)想圖1(c)中的坐標(biāo)原點(diǎn)是大炮口，落點(diǎn)是射擊目標(biāo)，為增加隱蔽性，應(yīng)使射程越遠(yuǎn)越好，所以上述最佳拋射角在軍事上也是有用的.參考文獻(xiàn)1 戴靜.界外球怎樣才能擲得更遠(yuǎn)J.數(shù)理天地(高中版)，2011(1)：462 甘志國(guó).推鉛球