2007年全國高中數(shù)學競賽模擬試卷.doc

2007年全國高中數(shù)學競賽模擬試卷（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）題 號一二總 分得 分評卷人一、選擇題1、二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一個直角坐標系的圖像為（ ） 2、已知數(shù)列滿足。的前項的和，則等于（ ）A、 B、 C、 D、3、在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的各項系數(shù)之和為（ ）A、； B、； C、； D、4、在1，2，3，4，5的排列中，滿足條件的排列個數(shù)是（ ）A、10； B、12； C、14； D、16.5、直線與拋物線中至少有一條相交，則m的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、以上均不正確6、若關于的不等式有解，且解集的區(qū)間長不超過5個單位，滿足上述要求的的最大值為、最小值為，則等于（ ）A、1 B、24 C、25 D、267、，則方程組 （ ）A、有且僅有一組實數(shù)解 B、有且僅有兩組不同的實數(shù)解C、有兩組解，但不一定都是實數(shù)解 D、由于為參數(shù)，以上情況均有可能出現(xiàn)8、銳角ABC中，分別以BC，CA，AB邊上的高AD，BE，CF為折線，將三角形折成平面角均為的二面角，記折疊后的四面體ABCD，ABCE，ABCF體積方便為，則下面結論正確的是（ ） A、 B、C、或 D、大小不能確定9、有九條直線，其中每一條都將一平行四邊形分割成面積比為2：3的兩個四邊形，那么這九條直線（ ） A、存在這樣的九條直線；沒有兩條過同一個點；B、至少有兩條過同一個點；C、至少有三條過同一個點；D、至少有四條過同一個點；10、設，則 的最小值等于（ ） A、 B、 C、 D、二、填空題11、設為實數(shù)，集合，則_12、是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則與的大小關系是_13、已知向量垂直，垂直，則向量的夾角是_14、已知，且，則的值是_15、設為已知常數(shù)，且，要使為常數(shù)，則的取值范圍是_16、如圖，長方體ABCDA1B1C1D1，E為D1C1中點，若平面A1BC1與平面ACE所成二面角的平面角為，則_17、若表示不超過的最大整數(shù)（如等等）則_18、斜率為1的直線與橢圓交于A、B兩點，P為線段AB上的點，且. 則P點的軌跡方程是_19、函數(shù)的最大值為_20、一個凸36面體中有24個面是三角形，12個面是四邊形，則該多面體的對角線的條數(shù)是_（連結不在凸多面體的同一個面內的兩個凸面體的頂點的線段叫做凸多面體的對角線。）21、全國籃球職業(yè)聯(lián)賽的某個賽季在H隊與F隊之間角逐。采取七局四勝制（無平局），即若有一隊勝4場，則該隊獲勝并且比賽結束。設比賽雙方獲勝是等可能的。根據(jù)已往資料顯示，每場比賽的組織者可獲門票收入100萬元。組織者在此賽季中，兩隊決出勝負后，門票收入不低于500萬元的概率是_答案與提示一、選擇題：1、. 提示：二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象交于兩點、，由二次函數(shù)圖象知，同號，而由中一次函數(shù)圖象知異號，相矛盾,故舍去.又由知，當時，此時與中圖形不符，與中圖形相符. 故選 2、B 提示：由此推得：。故選B3、.提示：.由于的冪指數(shù)應為整數(shù),因此,為奇數(shù). 記 +. 由于 -, -, 因此,將以上兩式相減,即可得到 .4、.提示：由已知條件知只可能 或，且.(1) 當時,則或當時,有!=種排列:當時,有!=種排列,即共有8種排列.同理,當時,也有8種排列. 故應選 .5、.提示：原命題可變?yōu)椋蠓匠蹋?，中至少有一個方程有實數(shù)解，而此命題的反面是：“三個方程均無實數(shù)解”，于是，從全體實數(shù)中除去三個方程均無實數(shù)解的的值，使得所求.即變?yōu)榻獠坏仁浇M 得 ，故符合條件的取值范圍是或，應選 .6、D；提示 由得 解得； 故選D7、B提示：原方程組可變?yōu)?(1)表示過點的直線,(2)表示橢圓,中心為,短半軸長為.由 知,點在橢圓內部,因此,過點 的直線與橢圓必有兩個不同的交點. 故選 .8、提示： （ 以上表示面積）. 記 , 同理可得 由于為相同值,因此,要比較大小,即比較、 、的大小. 、 - = = , . 同理, . , 選 .9、. 提示：如圖，設為滿足要求的直線，將平行四邊形分成兩個梯形，易知，要使這兩個梯形面積之比為2：3，只要其中位線比為2：3，即:=2：3，象這樣的點有四個（圖中），且適合條件 的九條直線必過這四點中的一個點.根據(jù)抽屜原理知，其中必有3條直線過同一個點. 故選C10、B 提示： 取則 故選B二：填空題11、. 提示：由 可得12、. 提示:在上是偶函數(shù),且.是以2為周期的偶函數(shù), .又在(0.1)上是增函數(shù),0.1與0.2且, . .13、 （1） （2）（1）-（2）化簡得 ；（3）（1）15+（2）8化簡得；（4）設的夾角為，則14、 15、的取值范圍是. 提示:當時,有.因此, ,這時 + = + =.16、. 提示：設中邊上的高（即到距離）為，則 . 又求得 . 設到平面的距離為, 于是,由 得到 =, . .17、2003提示： = = = = 118、軌跡是： 提示：設動點為，則過 . 代入橢圓方程, 整理得： () 若直線橢圓交于，則是方程()的兩個根, 且 又， . . 將、代入并整理得： （）19、. 提示:設參數(shù)(),則 由、知,取等號條件為: 解得 , 即 .20、241提示：凸多面體的面數(shù)F36，棱數(shù)E60，頂點數(shù)VE+2-F26將頂點記為i1，2，3，26設凸多面體的面中以i為頂點的三角形有個，以i為頂點的四邊形有個那么凸多面體的對角線總數(shù) 22、0.875提示：解一：門票收入不低于500萬元比