線性代數(shù) 特征值與特征向量.ppt

在數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域 如微分方程 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 振動(dòng) 自動(dòng)控制 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 航空 航天等等 常常遇到矩陣的相似對(duì)角化問題 而解決這一問題的重要工具就是特征值與特征向量 為此 本章從介紹特征值與特征向量的概念和計(jì)算開始 進(jìn)而討論矩陣與對(duì)角形矩陣相似的條件 最后介紹相關(guān)的應(yīng)用問題 第五章特征值與特征向量 一 特征值與特征向量的定義和求法 5 1特征值與特征向量 注意 1 只有方陣才有特征值與特征向量 2 特征向量必須是非零向量 而特征值不一定非零 下面討論特征值和特征向量的解法 式子可寫成以下線性方程組 如果是方程組的非零解 則有是的根 反之 如果有是的根 方程組有非零解 是的特征值的特征向量 是的特征根 綜上 可得矩陣的特征值與特征向量的求法 1 寫出矩陣的特征多項(xiàng)式 它的全部根就是矩陣的全部特征值 2 設(shè)是矩陣的全部互異的特征值 將的每個(gè)互異的特征值分別代入特征方程組 得 分別求出它們的基礎(chǔ)解系 這就是特征值所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量 非零線性組合 是的屬于特征值的全部特征向量 其中為任意常數(shù) 例1設(shè) 求A的特征值與特征向量 解 當(dāng)時(shí)解方程組 I A X 0 得基礎(chǔ)解系為 例2證明 若是矩陣A的特征值 是A的屬于的特征向量 則 證 顯然單位矩陣的特征值全是1 零矩陣的特征值全是0 上 下 三角陣的特征值是它的全部主對(duì)角元 矩陣的全部特征值的集合常稱為的譜 二 特征值和特征向量的性質(zhì) 設(shè) 易見 它的特征多項(xiàng)式是關(guān)于的次多項(xiàng)式 不妨設(shè)為 即 考慮上式左端行列式的展開式 它除了 這一項(xiàng)含有個(gè)形如的因式外 其余各項(xiàng)最多含有個(gè)這樣的因式 于是只能由 5 1 6 產(chǎn)生 比較 5 1 5 兩端的系數(shù) 得 在式 5 1 5 中 令 得 另外 根據(jù)多項(xiàng)式理論 次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上有個(gè)根 不妨設(shè)為 又由于的首項(xiàng)系數(shù) 于是有 比較和 得 于是可得特征值的重要性質(zhì) 由易見 矩陣可逆的充要條件是它的所有特征值都不為零 矩陣的主對(duì)角線上的所有元素之和稱為矩陣的跡 記作 于是 性質(zhì)又可寫成 還可證明 特征值和特征向量還有如下性質(zhì) 并可證明 的屬于特征值的全部特征向量 再添加零向量 便可以組成一個(gè)子空間 稱之為的屬于特征值的特征子空間 記為 不難看出 正是特征方程組的解空間 若都是矩陣的屬于特征值的特征向量 則其非零線性組合 也是A的屬于特征值的特征向量 若是矩陣的特征值 是的屬于特征值的特征向量 則有 是矩陣的特征值 其中為正整數(shù) 是矩陣的特征值 其中為任意常數(shù) 是的特征值 這里是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù) 當(dāng)可逆時(shí) 是的特征值 并且仍是矩陣的分別對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 例已知n階可逆方陣A的全部特征值為求的全部特征值及 解由特征值的性質(zhì)知 又已知可逆 從而的全部特征值為由伴隨矩陣的性質(zhì)知 當(dāng)可逆時(shí) 從而有 于是 由上述性質(zhì)中的知 的全部特征向量值為 于是 三 矩陣的相似 定義設(shè)A B是兩個(gè)n階矩陣 若存在n階可逆矩陣P 使得則稱 相似于 記作 稱為由 到 的相似變換矩陣 相似矩陣具有如下性質(zhì) 顯然 若 則 另外 可以證明 相似矩陣還有以下性質(zhì) 為任意數(shù) 其中均為階矩陣 為階 可逆矩陣 特別地 當(dāng)時(shí) 有 4 若A B 則f A f B 這里為任一多項(xiàng)式函數(shù) 其證明如下 設(shè) 則 由A B可知 存在可逆矩陣 使得 于是 即得f A f B 若 則 其證明如下 由 可知 存在可逆矩陣 使得 于是 由上易見 若 則矩陣 有相同的譜 若 則 其證明如下 由 可知 存在可逆矩陣 取 顯然可逆 且 于是有 因此 例 3設(shè)是矩陣 的屬于特征值的特征向量 證明 是矩陣 的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量 證由已知可得 于是 又由得 故結(jié)論成立 解1 先求得 于是 2 由上式得 兩端同時(shí)求次冪 得 思考題 思考題解答 矩陣的相似對(duì)角化 一 矩陣可對(duì)角化的條件 不妨假設(shè)階方陣可相似于對(duì)角陣 即存在可逆矩陣 使得 或 令 并將之代入上式 得 即 從而有 由可逆知 且線性無關(guān)從而是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量 是的個(gè)特征值 反之 若階方陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量 不妨設(shè)為 則存在相應(yīng)的特征值 使得 此時(shí) 令 顯然可逆 且有 綜上 有如下結(jié)論 定理 階方陣 可相似對(duì)角化的充要條件是 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 與相對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣的主對(duì)角元正好是的全部特征值 并且的順序與的順序相對(duì)應(yīng) 相似變換矩陣由的個(gè)線性無關(guān)的特征向量作為列構(gòu)成 即 不唯一 因?yàn)?1 特征向量不唯一 2 的順序隨的順序改變而改變 根據(jù)定理5 2 1 階方陣的相似對(duì)角化問題就轉(zhuǎn)化為是否有個(gè)線性無關(guān)的特征向量的問題 定理 階方陣 的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的 設(shè) 上式兩端同時(shí)左乘A 得 由于上式可變?yōu)?由式減式的倍 消去 得 根據(jù)歸納假設(shè) 線性無關(guān) 于是 已知 所以必有 綜上 結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立 推論若 階方陣 有n個(gè)互異的特征值 即特征多項(xiàng)式無重根 則 可相似對(duì)角化 定理 設(shè)是 階方陣 的 個(gè)互異的特征值 是屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量 則由所有這些特征向量 共個(gè) 構(gòu)成的向量組 是線性無關(guān)的 由定理和知 對(duì)階方陣來說 只要屬于它的各個(gè)互異特征值的特征向量的總數(shù)不少于 就可以相似對(duì)角化 那么 對(duì)它的特征值來說 屬于它的線性無關(guān)的特征向量最多有多少個(gè) 由 1知 特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量正好是特征方程組的全部非零解 因此 的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量最多有個(gè) 這個(gè)數(shù)就是特征方程組解空間的維數(shù) 也即特征子空間的維數(shù) 稱之為特征值的幾何重?cái)?shù) 記為 另外 有 被稱為特征值的代數(shù)重?cái)?shù) 且有 設(shè)A的互異特征值 對(duì)應(yīng)的幾何重?cái)?shù)分別為 于是A的線性無關(guān)的特征向量最多有個(gè) A可相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng) 定理 2 4 階方陣 的任一特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù) 特別地 對(duì)于單特征值 其幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù) 由定理可得 同時(shí) 由上面已知 A可相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng) 于是有 定理 設(shè)是 階方陣A的全部互異的特征值 和分別是特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù) i 1 2 s 則A可相似對(duì)角化的充要條件是 i 1 2 s 二相似對(duì)角化的方法 求出的全部互異的特征值 前面討論了階矩陣可相似對(duì)角化的條件 下面給出求相似對(duì)角陣及變換矩陣的方法和步驟 對(duì)每個(gè)特征值 求特征矩陣的秩 并判斷的幾何重?cái)?shù)是否等于它的代數(shù)重?cái)?shù) 只要 的一組基礎(chǔ)解系 有一個(gè)不相等 就不可以相似對(duì)角化 否則可以相似對(duì)角化 當(dāng)可以對(duì)角化時(shí) 對(duì)每個(gè)特征值 求方程組 則有 令 其中有個(gè) 例1判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣 解 解之得基礎(chǔ)解系 求得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系 故不能化為對(duì)角矩陣 解 解之得基礎(chǔ)解系 所以可對(duì)角化 注意 即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng) 則 從而有 三 小結(jié) 相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系 它具有很多良好的性質(zhì) 除了課堂內(nèi)介紹的以外 還有 相似變換與相似變換矩陣 這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算 其方法是先通過相似變換 將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣 再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算 從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算 相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算 它把A變成 而可逆矩陣稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣 思考題 思考題解答 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 一 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 二 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 定理1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 證明 一 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 于是有 兩式相減 得 定理實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的 證設(shè) 于是 二 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 定理設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的任一特征值 p q分別為它的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù) 則 定理對(duì)任一 階實(shí)對(duì)稱矩陣 存在 階正交矩陣 使得 其中為矩陣 的全部特征值 由此定理知 實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化 而且有 根據(jù)上述結(jié)論 利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣 其具體步驟為 2 1 解 例對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣 分別求出正交矩陣 使為對(duì)角陣 1 第一步求的特征值 解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系 第三步將特征向量正交化 第四步將特征向量單位化 于是得正交陣 例設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1 4 2 矩陣A對(duì)應(yīng)的特征值1和4的特征向量分別為 1 求A的特征值 2的特征向量 2 求A 解設(shè)A的特征值 2的特征向量是 因此 A的特征值 2的全部特征向量為 求得其一組基礎(chǔ)解系 2 取 同時(shí) 從而 例5 3 3已知為實(shí)對(duì)稱矩陣 且證明 存在正交矩陣 使得 證由知和有相同的特征值 設(shè)為 根據(jù)定理5 3 4 對(duì)和分別存在正交矩陣和 使得 從而有 其中由正交矩陣的性質(zhì)知 為正交矩陣 取 于是有 思考題 思考題解答 應(yīng)用 一 求解線性方程組 例 求解線性微分方程組 解令 則方程組可表示成矩陣形式 假設(shè)可以相似對(duì)角化 即存在可逆矩陣 使得 其中為的全部特征值 于是令 即 其中 將式代入式 得 在上式兩端同時(shí)左乘 得 即 將上式積分得 其中為積分常數(shù) 將式代入式 可得 其中為矩陣的第列 也是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 另外 對(duì)于階線性齊次常系數(shù)微分方程 可令 于是 可得與方程同解的方程組 其中 式可寫成矩陣形式 于是這類微分方程可以歸結(jié)為等價(jià)的線性微分方程組 然后再利用特征值和特征向量求解 解令 例 求解微分方程 于是 式可變?yōu)榈葍r(jià)的方程組 即 其中 于是由例5 4 1可知 可求得的特征值為 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 從而 其中為任意常數(shù) 二 過程 例 某超市為了提高自己的經(jīng)營(yíng) 服務(wù)水平 年末對(duì)附近一個(gè)小區(qū)的居民作了市場(chǎng)調(diào)查 結(jié)果表明 該小區(qū)有 的居民使用該超市提供的日用品 而且在這些老顧客中 有 的人表示 來年仍將繼續(xù)使用該超市提供的日用品 同時(shí) 在尚未使用過該超市提供的日用品的被調(diào)查中 有 的人表示 來年將使用該超市提供的日用品 問 照此趨勢(shì) 年后 在這個(gè)小區(qū)中 有多少比例的居民使用該超市提供的日用品 這個(gè)例子從數(shù)學(xué)角度看可以抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型 即一個(gè)有限狀態(tài)的系統(tǒng) 它每一時(shí)刻處在一個(gè)確定的狀態(tài) 并隨著時(shí)間的流逝從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移為另一個(gè)狀態(tài) 每一狀態(tài)的概率只與前一個(gè)狀態(tài)相關(guān) 這樣的一種連續(xù)過程被稱為Markov過程 一般地假設(shè)系統(tǒng)共有n種可能的狀態(tài) 分別記為1 2 n 在某個(gè)觀察期間 它的狀態(tài)為j 而在下一個(gè)觀察期間 它的狀態(tài)i為的概率為 稱之為轉(zhuǎn)移概率 它不隨時(shí)間而變化 且有 稱矩陣為轉(zhuǎn)移矩陣 由系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以構(gòu)造一個(gè)元向量稱之為狀態(tài)向量 記為 年后的狀態(tài)向量記為 于是有 時(shí) 有 由上式易見 要求出 關(guān)鍵是求 當(dāng)可相似對(duì)角化 即存在可逆矩陣 使得 對(duì)于例5 4 3系統(tǒng)共有兩種狀態(tài) 使用和不使用 分別記為1和2 于是有 下面求 先求的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量 取 于是 于是 特征值為 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 從而 由上可知 當(dāng)時(shí) 第三步將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的特征方程組 求出基礎(chǔ)解系 即得該特征值的特征向量 一 特征值與特征向量的求法 第