多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ).ppt

一 二元函數(shù)的定義 先看下面的例子 一般地 二元函數(shù)的定義如下 解 對(duì)于一元函數(shù) 一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論 對(duì)于二元函數(shù) 類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論 所謂區(qū)域 平面的 是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分 見(jiàn)圖6 35 所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來(lái) 圖6 12區(qū)域示意 若區(qū)域能延伸到無(wú)限遠(yuǎn)處 就稱這區(qū)域是無(wú)界的 如圖6 12 c 所示 否則 它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心 而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi) 這樣的區(qū)域稱為有界的 如圖6 12 a b 所示 圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界 閉區(qū)域 連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界 開(kāi)區(qū)域 不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開(kāi)區(qū)域 為方便使用 將開(kāi)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn) 將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn) 二 二元函數(shù)的幾何意義 三 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性 1 二元函數(shù)的極限 函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量變化時(shí) 函數(shù)的變化趨勢(shì) 但是二元函數(shù)的自變量有兩個(gè) 所以自變量的變化過(guò)程比一元函數(shù)要復(fù)雜得多 二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣 有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理 都可以推廣二元函數(shù)的極限 下面舉例說(shuō)明 解 2 二元函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn) 思考題 答案 答案 答案 課堂練習(xí)題 答案 答案 答案 第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法 解 解 證 解 例5 求 解法1 在點(diǎn) 1 2 處的偏導(dǎo)數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例6 設(shè) 證 例7 求 的偏導(dǎo)數(shù) 解 求證 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 是曲線 在點(diǎn)M0處的切線 對(duì)x軸的斜率 在點(diǎn)M0處的切線 斜率 是曲線 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 對(duì)y軸的 二 高階偏導(dǎo)數(shù) 二 全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié) 一元函數(shù)y f x 的微分 近似計(jì)算 估計(jì)誤差 本節(jié)內(nèi)容 一 全微分的定義 全微分 第三節(jié)全微分 一 全微分的定義 一 全微分的定義 定義 如果函數(shù)z f x y 在定義域D的內(nèi)點(diǎn) x y 可表示成 其中A B不依賴于 x y 僅與x y有關(guān) 稱為函數(shù) 在點(diǎn) x y 的全微分 記作 若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微 則稱函數(shù) f x y 在點(diǎn) x y 可微 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 處全增量 則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微 2 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 1 函數(shù)可微 函數(shù)z f x y 在點(diǎn) x y 可微 由微分定義 得 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即 定理1 必要條件 若函數(shù)z f x y 在點(diǎn) x y 可微 則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù) 同樣可證 證 由全增量公式 必存在 且有 得到對(duì)x的偏增量 因此有 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 反例 函數(shù) 易知 但 因此 函數(shù)在點(diǎn) 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微 即 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定理2 充分條件 證 若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 推廣 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題 例如 三元函數(shù) 習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示 的全微分為 于是 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 計(jì)算函數(shù) 在點(diǎn) 2 1 處的全微分 解 例2 計(jì)算函數(shù) 的全微分 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 可知當(dāng) 二 全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 1 近似計(jì)算 由全微分定義 較小時(shí) 及 有近似等式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 可用于近似計(jì)算 誤差分析 可用于近似計(jì)算 半徑由20cm增大 解 已知 即受壓后圓柱體體積減少了 例4 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變 到20 05cm 則 高度由100cm減少到99cm 體積的近似改變量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 求此圓柱體 例5 計(jì)算 的近似值 解 設(shè) 則 取 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 微分定義 2 重要關(guān)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考題 答案 答案 答案 課堂練習(xí)題 答案 答案 第四節(jié) 一元復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則 本節(jié)內(nèi)容 一 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t 二 多元復(fù)合函數(shù)的全微分 微分法則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t 定理 若函數(shù) 處偏導(dǎo)連續(xù) 在點(diǎn)t可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù) 證 設(shè)t取增量 t 則相應(yīng)中間變量 且有鏈?zhǔn)椒▌t 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 有增量 u v 全導(dǎo)數(shù)公式 t 0時(shí) 根式前加 號(hào) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 推廣 1 中間變量多于兩個(gè)的情形 例如 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 2 中間變量是多元函數(shù)的情形 例如 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 又如 當(dāng)它們都具有可微條件時(shí) 有 注意 這里 表示固定y對(duì)x求導(dǎo) 表示固定v對(duì)x求導(dǎo) 口訣 分段用乘 分叉用加 單路全導(dǎo) 叉路偏導(dǎo) 與 不同 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 設(shè) 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 設(shè) 求全導(dǎo)數(shù) 解 注意 多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到 下列兩個(gè)例題有助于掌握 這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 一 一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 一 一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 定理1 設(shè)函數(shù) 則方程 單值連續(xù)函數(shù)y f x 并有連續(xù) 隱函數(shù)求導(dǎo)公式 定理證明從略 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)滿足 滿足條件 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 導(dǎo)數(shù) 兩邊對(duì)x求導(dǎo) 在 的某鄰域內(nèi) 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定理2 若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則方程 在點(diǎn) 并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z f x y 定理證明從略 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下 滿足 在點(diǎn) 滿足 某一鄰域內(nèi)可唯一確 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 兩邊對(duì)x求偏導(dǎo) 同樣可得 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 設(shè) 解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解法2利用公式 設(shè) 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考題 答案 答案 答案 課堂練習(xí)題 答案 答案 第八節(jié) 一 多元函數(shù)的極值 二 最值應(yīng)用問(wèn)題 三 條件極值 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 多元函數(shù)的極值及其求法 一 多元函數(shù)的極值 定義 若函數(shù) 則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值 極小值 例如 在點(diǎn) 0 0 有極小值 在點(diǎn) 0 0 有極大值 在點(diǎn) 0 0 無(wú)極值 極大值和極小值 統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 說(shuō)明 使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) 例如 定理1 必要條件 函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù) 證 據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立 取得極值 取得極值 取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 有駐點(diǎn) 0 0 但在該點(diǎn)不取極值 且在該點(diǎn)取得極值 則有 存在 故 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 時(shí) 具有極值 定理2 充分條件 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且 令 則 1 當(dāng) A 0時(shí)取極大值 A 0時(shí)取極小值 2 當(dāng) 3 當(dāng) 時(shí) 沒(méi)有極值 時(shí) 不能確定 需另行討論 若函數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 求函數(shù) 解 第一步求駐點(diǎn) 得駐點(diǎn) 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判別 在點(diǎn) 1 0 處 為極小值 解方程組 的極值 求二階偏導(dǎo)數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 在點(diǎn) 3 0 處 不是極值 在點(diǎn) 3 2 處 為極大值 在點(diǎn) 1 2 處 不是極值 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二 最值應(yīng)用問(wèn)題 函數(shù)f在閉域上連續(xù) 函數(shù)f在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn) 邊界上的最值點(diǎn) 特別 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí) 為極小值 為最小值 大 大 依據(jù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 三 條件極值 極值問(wèn)題 無(wú)條件極值 條件極值 條件極值的求法 方法1代入法 求一