“時(shí)代杯”2009年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽參考答案21.doc

.“時(shí)代杯”2009年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽試題（初中組）(2009年12月25日下午15301700)題號(hào)一二三總分1671011121314得分注意事項(xiàng)：1 本試卷共4頁(yè)滿分150分考試時(shí)間90分鐘2 用鋼筆或圓珠筆（藍(lán)色或黑色）直接答在試卷上3 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚密 封 線姓名 學(xué)校 考號(hào) 一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的每題7分，共42分）1若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解恰有4個(gè)，則整數(shù)a的值是（ ）A1 B0 C1 D22在直角坐標(biāo)系xOy中，直線ykxb經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，5），且平行于直線yx，則kb 的值為（ ）A5 B5 C3 D33現(xiàn)有大小、質(zhì)地和背面圖案均相同的卡片4張，卡片正面分別寫(xiě)上數(shù)字2，3，4，6若將卡片正面朝下反扣在桌子上，從中一次隨機(jī)地抽出兩張，則這兩張上的數(shù)字之積是12的概率是（ ）A B C DA （a） T S M N （b） （c） A A M M N N B B B S S T T 4圖（a）是一個(gè)長(zhǎng)方形紙帶，SAB20，將紙帶沿AB折疊成圖（b），再沿BN折疊成圖（c），則圖（c）中的TBN為（ ）A120 B140 C150 D1605已知a是給定的整數(shù)，記F（x）axxa若F（1）F（2）F（2009）56，則a的值是（ ）A6 B7 C8 D96把邊長(zhǎng)和面積均為整數(shù)的三角形稱為“整數(shù)三角形”，那么周長(zhǎng)不超過(guò)32的“整數(shù)三角形”的個(gè)數(shù)是（ ） A3 B5 C6 D7二、填空題（每題7分，共28分）7因式分解：a2b2bcac .8在ABC中，AB20，AC16，則BC邊上中線AD的取值范圍是 .9甲、乙、丙三種貨物，每種貨物若干件若購(gòu)甲3件，乙7件，丙5件，共需315元；若購(gòu)甲4件，乙10件，丙7件，共需450元，則購(gòu)甲、乙、丙各一件共需 元A B C D 10數(shù)學(xué)史常常能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有關(guān)勾股定理的內(nèi)涵，我國(guó)有十分豐富的歷史記載，我國(guó)最早的天文算學(xué)書(shū)周髀算經(jīng)中，就有勾股定理的記載趙爽在注釋該書(shū)中“勾股圓方圖”時(shí)，對(duì)勾股定理及勾股弦的一些關(guān)系式做了幾何的證明勾股定理反映的是勾、股、弦三者之間的關(guān)系，當(dāng)我們?cè)噲D推廣到空間圖形中去時(shí)，會(huì)有什么結(jié)果呢？例如，在長(zhǎng)方體圖形中（如圖），ACD、ABC、ABD、BCD的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4之間的關(guān)系是 （用關(guān)于S1、S2、S3、S4的等式表示）三、解答題（第11題、第12題每題18分，第13題20分，第14題24分，共80分）11（本題滿分18分）若關(guān)于x的方程x22xkx恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍12（本題滿分18分）（1）小虎把自己寫(xiě)的新年賀詞的WORD文檔加密后發(fā)往班上同學(xué)們的電子郵箱該文檔的密碼M是由1，2，3，R這R個(gè)連續(xù)正整數(shù)按由小到大、從左至右的順序排列而成的一個(gè)數(shù)碼序列，其忘記密碼的提示語(yǔ)是：1，2，R這R個(gè)連續(xù)正整數(shù)可以用給定的三個(gè)正整數(shù)中若干個(gè)數(shù)（可以僅是一個(gè)數(shù)）的和表示出來(lái)，且密碼M是一個(gè)盡可能長(zhǎng)的數(shù)碼序列請(qǐng)確定該加密文檔的密碼，并說(shuō)明理由；（2）若在（1）中，若其忘記密碼的提示語(yǔ)變?yōu)椋?，2，R這R個(gè)連續(xù)正整數(shù)可以用給定的四個(gè)正整數(shù)中不超過(guò)三個(gè)數(shù)（可以僅是一個(gè)數(shù)）的和表示出來(lái)，且密碼M是一個(gè)盡可能長(zhǎng)的數(shù)碼序列. 請(qǐng)確定該加密文檔的密碼，并說(shuō)明理由13（本題滿分20分）加工某型號(hào)零件，有三道工序，要求先加工第一道工序，然后加工第二道工序，最后加工第三道工序，其工作量分別是2a，a，4a甲、乙兩人同時(shí)加工該型號(hào)的一批零件，單位工作時(shí)間內(nèi)甲完成的工作量是5b，乙完成的工作量是4b，當(dāng)甲做完第m（m2）個(gè)零件的第二道工序時(shí)，乙在做第n個(gè)零件的第一道工序，問(wèn)此時(shí)乙最少加工完了多少個(gè)零件？（結(jié)果用數(shù)字表示）14（本題滿分24分）（1）如圖1，以ABC的AB為邊向形外作等腰RtAP1B，BC的中點(diǎn)為M1，以BM1為邊向形外作等腰RtBM1R1，且AP1BBM1R190求證：11 1 R PM CB A圖1（2）如圖2，M2BC15，ABP2R2BM245，222 M AB C P R30 45 45 30 15 圖2P2ABM2R2B30求證：（3）如圖3，MBCMCB15，PBAQCA45，PABQAC30A BC M P Q 30 45 15 15 45 30 圖3求證：MPMQ2009年“時(shí)代杯”江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽試題參考答案一、選擇題（每題7分，共42分）1D2D3B4B5C6D二、填空題（每題7分，共28分）7（ab）（abc）.82AD1894510S12S22S32S42三、解答題（第11題、第12題每題18分，第13題20分，第14題24分，共80分）11解：顯然x0恰為方程x22xkx的一個(gè)解 5分若x0時(shí)方程x22xkx有解，則x22xkx，得xk2由k20，得k2 10分若x0時(shí)方程x22xkx有解，則x22xkx，得xk2由k20，得k215分綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是k218分12解：（1）由于1，2，R這R個(gè)連續(xù)正整數(shù)可以用給定的三個(gè)正整數(shù)中若干個(gè)數(shù)的和表示出來(lái)，且可以是一個(gè)數(shù)，那么1，2必然是給定的三數(shù)中的數(shù) 4分又1+2=3，則4不可以由1與2的和來(lái)表示，因此，4也必是給定的三數(shù)中的數(shù)，從而有1+4=5， 2+4=6，1+2+4=7要使M是最長(zhǎng)的數(shù)碼序列，則R取7 所以，小虎加密文檔的密碼是1234567 9分（2）先考慮表示為給定四個(gè)數(shù)中若干數(shù)的和（含四個(gè)數(shù)）的情形： 由（1）知，滿足要求的給定四個(gè)數(shù)中必有三數(shù)1，2，4 又 1+2+4=7，那么8必是四個(gè)數(shù)中的數(shù)，這樣， 1+8=9，2+8=10， 1+2+8=11，4+8=12，1+4+8=13，2+4+8=14，1+2+4+8=15 14分其次，考慮用給定四個(gè)數(shù)中不超過(guò)三個(gè)數(shù)的和來(lái)表示連續(xù)的的R個(gè)正整數(shù)：1，2，3，4，R，且使M是最長(zhǎng)的數(shù)碼序列，則由上述表示可以發(fā)現(xiàn)符合題設(shè)的數(shù)是1，2，14，即R取14 于是小虎文檔的密碼是1234567891011121314 18分13解：甲完成（m1）個(gè)零件和第m個(gè)零件的第二道工序共用的時(shí)間是；乙完成（n1）個(gè)零件共用的時(shí)間是； 乙完成（n1）個(gè)零件和第n個(gè)零件的第一道工序共用的時(shí)間是 5分由題意得 ， 10分即35(n1)28m1635(n1)10 所以28m935n28m19，即4m5n4m因?yàn)閙，n均為正整數(shù)，所以5n4m2 15分于是n4k2，m5k2（k0，1，2，） 由題意k0，當(dāng)k1時(shí)，n6因此，乙最少完成了5個(gè)零件 20分14證明：（1）由題意知 RtAP1BRtR1M1B， 11 1 R PM CB A圖1在M1P1B與R1AB中，P1BM1P1BAABC45ABC，R1BAR1BM1ABC45ABC，所以P1BM1ABR1 4分由、得P1BM1ABR1所以 8分222 M AB C P R30 45 45 30 15 圖2（2）由題意知 AP2BR2M2B， 在M2P2B與R2AB中，P2BM2P2BAABCM2BC60ABC，R2BAR2BM2ABCM2BC60ABC，所以P2BM2ABR2 12分由、得P2BM2ABR2所以 16分（3）如圖3，作MBRPBA，連RM，RC，RA則由（2）的結(jié)論知：A