數學人教版九年級上冊解一元二次方程——公式法.doc

21.2.2 解一元二次方程-公式法導學探究一、閱讀教材P9-10，回答下列問題：1、回顧：(1)配方： （2）用配方法解一元二次方程的步驟有哪些c?2、對于字母系數的一元二次方程，二次項系數為_,一次項系數為_,將其轉化為（x + m）2 =n 形式是_.3、用配方法解一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a0),配方后,得到。(1) 會小于0嗎？4a2呢？（2）要使方程有實數根，b2-4ac需要滿足什么條件？4、通過以上分析，你認為一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)解的情況有幾種？說說你的想法。二、閱讀教材P11-12，回答下列問題：1、一元二次方程的求根公式是_,你認為一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)的根是由哪些量確定的？2（1）使用求根公式前，要先將方程整理為一元二次方程的_形式，利用_判斷方程根的情況。（2）運用求根公式求一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)的根的前提條件是_.3、由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于_個。4、若請你給運用求根公式求一元二次方程根的方法取個名字，你認為取什么名字比較合適?歸納梳理1、式子_叫做一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)根據的判別式,通常用希臘字母_表示,即可_.2、（1）當 0時，方程ax2+bx+c = 0(a0)有_根; （2）當= 0時，方程ax2+bx+c = 0(a0)有_根; （3）當_時，方程ax2+bx+c = 0(a0)沒有實數根.3、對于一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a0)，如果b2 -4ac 0,那么方程的兩個根為_, 這個公式叫做一元二次方程的_，我們可以由一元二次方程的系數a,b ,c 的值，直接求得方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做_.4、公式法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程化為_形式，并寫出a,b ,c 的值；（2） 求出_的值；（3）若_,將a,b ,c 的值代入求根公式；（4）寫出方程的根典例探究1根據根的判別式判斷一元二次方程根的情況【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x25x+3=0，則該方程根的情況是（）A有兩個不相等的實數根 B有兩個相等的實數根兩個根都是自然數 D無實數根總結：求根的判別式時，應該先將方程化為一般形式，正確找出a，b，c的值.根的判別式與一元二次方程根的情況的關系如下：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根練1已知關于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列說法不正確的是（）A方程有兩個相等的實數根 B方程有兩個不相等的實數根C沒有實數根 D無法確定練2已知：關于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個根為3，求m的值2根據一元二次方程根的情況求參數的值或取值范圍【例2】若關于x的一元二次方程4x24x+c=0有兩個相等實數根，則c的值是（）A1 B1 C4 D4總結：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時：先計算根的判別式；再根據方程根的情況列出關于根的判別式的等式或不等式求解；若二次項系數出現了字母，應注意“二次項系數不為0”練3（2015涼山州）關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m23用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x總結：公式法的實質是配方法，只不過省去了配方的過程，而直接利用了配方的結論；運用公式法求解一元二次方程要注意兩個前提：（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a，b，c的值；（2）必須保證b2-4ac0練4（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x2）=3x+1練5當x是何值時，3x2+4x8的值和2x21的值相等？夯實基礎一、選擇題1下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）A4x25x+2=0 Bx26x+9=0 C5x24x1=0 D3x24x+1=02若關于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實數根，則整數a的最大值為（）A1 B0 C1 D23等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或104有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個結論中，錯誤的是（）A如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根B如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=15已知一元二次方程x2x3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）A2x11 B3x12 C2x13 D1x10二、填空題6用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=，x1=，x2=三、解答題7用公式法解方程：2x24x=58解方程：2x22x5=09用公式法解方程：x（x）=410已知關于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根11已知關于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根12已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1x2|=2，求m的值13已知關于x的一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）（1）小明考查后說，它總有兩個不相等的實數根（2）小華補充說，其中一個根與k無關請你說說其中的道理典例探究答案：【例1】已知一元二次方程2x25x+3=0，則該方程根的情況是（）A有兩個不相等的實數根 B有兩個相等的實數根C兩個根都是自然數 D無實數根分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式=b24ac的值的符號就可以了解答：解：a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）2423=10，方程有兩個不相等的實數根故選：A點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數根；（2）=0方程有兩個相等的實數根；（3）0方程沒有實數根練1已知關于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列說法不正確的是（）A方程有兩個相等的實數根 B方程有兩個不相等的實數根C沒有實數根 D無法確定分析：先求出的值，再判斷出其符號即可解答：解：=4243（5）=760，方程有兩個不相等的實數根故選B點評：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與的關系是解答此題的關鍵練2已知：關于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個根為3，求m的值分析：（1）找出方程a，b及c的值，計算出根的判別式的值，根據其值的正負即可作出判斷；（2）將x=3代入已知方程中，列出關于系數m的新方程，通過解新方程即可求得m的值解答：解：（1）a=1，b=2m，c=m21，=b24ac=（2m）241（m21）=40，方程x2+2mx+m21=0有兩個不相等的實數根；（2）x2+2mx+m21=0有一個根是3，32+2m3+m21=0，解得，m=4或m=2點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數根；（2）=0方程有兩個相等的實數根；（3）0方程沒有實數根也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解即用這個數代替未知數所得式子仍然成立【例2】若關于x的一元二次方程4x24x+c=0有兩個相等實數根，則c的值是（）A1 B1 C4 D4分析：根據方程根的情況與判別式的關系知=4244c=0，然后解一次方程即可解答：解：一元二次方程4x24x+c=0有兩個相等實數根，=4244c=0，c=1，故選B點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0，方程有兩個不相等的實數根；當=0，方程有兩個相等的實數根；當0，方程沒有實數根練3關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m2分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac的意義得到m-20且0，即22-4（m-2）10，然后解不等式組即可得到m的取值范圍解答：解：關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，m-20且0，即22-4（m-2）10，解得m3，m的取值范圍是 m3且m2故選：D點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac：當0，方程有兩個不相等的實數根；當=0，方程有兩個相等的實數根；當0，方程沒有實數根【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x分析：（1）求出b24ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b24ac的值，代入公式y(tǒng)=求出即可；（3）求出b24ac的值是負數，即可得出原方程無解解答：解：（1）這里a=1，b=2，c=2，b24ac=2241（2）=120，x=1，x1=1+，x2=1；（2）這里a=1，b=3，c=1b24ac=（3）2411=50，y=，y1=，y2=；（3）移項，得x22x+3=0，這里a=1，b=2，c=3b24ac=（2）2413=40原方程沒有實數根點評：本題主要考查學生運用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號，再根據情況代入求根公式求解練4解方程：x（x2）=3x+1分析：整理后求出b24ac的值，再代入公式求出即可解答：解：x（x2）=3x+1，整理得：x25x1=0，b24ac=（5）241（1）=29，x=，x1=，x2=點評：本題考查了解一元二次方程的應用，能正確運用公式法解一元二次方程是解此題的關鍵，難度適中練5當x是何值時，3x2+4x8的值和2x21的值相等？分析：根據3x2+4x8的值和2x21的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解解答：解：根據題意得：3x2+4x8=2x21，即x2+4x7=0，a=1，b=4，c=7，=b24ac=16+28=440，則x=2點評：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運用的條件：判別式0夯實基礎答案：一、選擇題1下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）A4x25x+2=0 Bx26x+9=0 C5x24x1=0 D3x24x+1=0解：A、=25424=70，方程沒有實數根，故本選項正確；B、=36414=0，方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤；C、=1645（1）=360，方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤；D、=16413=40，方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤；故選A2若關于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實數根，則整數a的最大值為（）A1 B0 C1 D2解：關于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實數根，=（2）28（a1）=128a0且a10，a且a1，整數a的最大值為0故選：B3等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或10解：三角形是等腰直角三角形，a=2，或b=2，a=b兩種情況，當a=2，或b=2時，a，b是關于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，x=2，把x=2代入x26x+n1=0得，2262+n1=0，解得：n=9，當n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，故n=9不合題意，當a=b時，方程x26x+n1=0有兩個相等的實數根，=（6）24（n1）=0解得：n=10，故選B4有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個結論中，錯誤的是（）A如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根B如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1解：A、如果方程M有兩個相等的實數根，那么=b24ac=0，所以方程N也有兩個相等的實數根，結論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，那么=b24ac0，0，所以a與c符號相同，0，所以方程N的兩根符號也相同，結論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一個根，結論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N有一個相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=1，結論錯誤，符合題意；故選D5已知一元二次方程x2x3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）A2x11 B3x12 C2x13 D1x10解：x2x3=0，b24ac=（1）241（3）=13，x=，方程的最小值是，34，34，2，2，1故選：A二、填空題6用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=41，x1=，x2=解：2x27x+1=0，a=2，b=7，c=1，b24ac=（7）2421=41，x=，x1=，x2=，故答案為：41，三、解答題7用公式法解方程：2x24x=5解：原方程可化為：2x24x5=0，a=2，b=4，c=5，b24ac=（4）242（5）=560，x=frac4sqrt564=1x1=1+，x2=18解方程：2x22x5=0解：這里a=2，b=2，c=5，=8+40=48，x=9用公式法解方程：x（x）=4解：整理得：x2+2x4=0，=b24ac=（2）241（4）=28，x=，x1=+，x2=10已知關于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根解：（1）b24ac=（2）241（a2）=124a0，解得：a3a的取值范圍是a3；（2）設方程的另一根為x1，由根與系數的