湖南高考理數(shù)自主命題2004-2012(含解析).doc

2004年普通高等學(xué)校招生湖南卷理工農(nóng)醫(yī)類數(shù)學(xué)試題第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題 共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求的.1復(fù)數(shù)的值是（ ）ABC4D42如果雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于，那么點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是（ ）AB13C5D3設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則的值為（ ）A1B2C3D4把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)A、B C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD與平面ABC所成的角的大小為（ ）A90B60C45D305某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150 個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)。公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為。則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（ ）A分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法6設(shè)函數(shù)則關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D47設(shè)則以下不等式中不恒成立的是（ ）ABCD8數(shù)列（ ）ABCD9設(shè)集合，那么點(diǎn)P（2，3）（）的充要條件是（ ）ABCD10從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）A56B52C48D4011農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元), 預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（ ）A4200元4400元B4400元4600元 C4600元4800元 D4800元5000元12設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且則不等式的解集是（ ）ABCD第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題 共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。13已知向量a=，向量b=，則|2ab|的最大值是 .14同時(shí)拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量=1表示結(jié)果中有正面向上，=0表示結(jié)果中沒有正面向上，則E= .15若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n= .16設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為 .三、解答題：本大題 共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）已知的值. 18（本小題滿分12分）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.（）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；（）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.19（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）證明PA平面ABCD；（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大??；（）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF/平面AEC？證明你的結(jié)論.20（本小題滿分12分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）求函數(shù)在區(qū)間0，1上的最大值.21（本小題滿分12分）如圖，過拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.22（本小題滿分14分）如圖，直線相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1，過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2，點(diǎn)Pn（n=1，2，）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列（）證明；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）比較的大小.2004年普通高等學(xué)校招生湖南卷理工農(nóng)醫(yī)類數(shù)學(xué)試題參考答案1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C 11.B 12.D134 140.75 159 1617解：由 得 又于是 18解：（）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.由題設(shè)條件有 由、得 代入得 27P(C)251P(C)+22=0.解得 （舍去）.將 分別代入 、 可得 即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是（）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，則 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為19（）證明 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，連結(jié)EH，則EHAC，EHG即為二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以從而 （）解法一 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以 設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，則 令 得解得 即 時(shí)，亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，、共面.又 BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF/平面AEC.解法二 當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF/平面AEC，證明如下，證法一 取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM/CE. 由 知E是MD的中點(diǎn).連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn). 所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.證法二因?yàn)?所以 、共面.又 BF平面ABC，從而BF/平面AEC.20解：（）（i）當(dāng)a=0時(shí)，令 若上單調(diào)遞增；若上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)a1+9=10.而此時(shí) （ii）當(dāng)時(shí)，ABOCO1D所以cos，=即二面角OACO1的大小是解法二（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，圖4即OAOB. 從而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因?yàn)?，所以O(shè)O1B=60，O1OC=30，從而OCBO1由三垂線定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.設(shè)OCO1B=E，過點(diǎn)E作EFAC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1FAC.所以O(shè)1FE是二面角OACO1的平面角. 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，從而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是18解：（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3.P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=20.40.50.6=0.24，1 3 P0.760.24P（=1）=10.24=0.76.所以的分布列為E=10.76+30.24=1.48.（）解法一 因?yàn)樗院瘮?shù)上單調(diào)遞增，要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)從而解法二：的可能取值為1，3.當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，當(dāng)=3時(shí)，函數(shù)上不單調(diào)遞增.0所以19（）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由即 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 即 解得 （）解法一：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得 從而于是. 即當(dāng)時(shí)，PF1F2為等腰三角形.20解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， nN*，從而由（*）式得 因?yàn)閤10，所以ab. 猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)ab，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變. （）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知 0xn3b, nN*, 特別地，有0x13b. 即0b0.又因?yàn)閤k+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.21解：（I），則因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以0時(shí)，則ax2+2x10有x0的解.當(dāng)a0時(shí)，y=ax2+2x1為開口向上的拋物線，ax2+2x10總有x0的解；當(dāng)a0總有x0的解； 則=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此時(shí)，1a0. 綜上所述，a的取值范圍為（1，0）（0，+）. （II）證法一 設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x1, y1），（x2, y2），0x1x2. 則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為 C1在點(diǎn)M處的切線斜率為 C2在點(diǎn)N處的切線斜率為 假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2. 即，則 =所以 設(shè)則令則因?yàn)闀r(shí)，所以在）上單調(diào)遞增. 故則. 這與矛盾，假設(shè)不成立.故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.證法二：同證法一得因?yàn)?，所以令，?令因?yàn)?，所以時(shí)，故在1，+上單調(diào)遞增.從而，即于是在1，+上單調(diào)遞增.故即這與矛盾，假設(shè)不成立.故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 函數(shù)的定義域是A B C D 2. 若數(shù)列滿足: , 且對(duì)任意正整數(shù)都有, 則A B C D 3. 過平行六面體任意兩條棱的中點(diǎn)作直線, 其中與平面平行的直線共有A4條 B6條 C8條 D12條4. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件5. 已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是A B C D 6. 某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目, 且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè), 則該外商不同的投資方案有A 16種 B36種 C42種 D60種7. 過雙曲線的左頂點(diǎn)作斜率為1的直線, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn), 且, 則雙曲線的離心率是A B C D8. 設(shè)函數(shù), 集合, 若, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是A B C D 9. 棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 若過該球球心的一個(gè)截 面如圖1,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 A B C D 10. 若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是A B C D 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分(第15小題每空2分)，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上。11. 若的展開式中的系數(shù)是, 則實(shí)數(shù)的值是_.12. 已知 則的最小值是_.13. 曲線和在它們的交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是 _.14. 若是偶函數(shù), 則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以 是_.(注: 寫出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可)15. 如圖2, , 點(diǎn)在由射線, 線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng), 且,則的取值范圍是_; 當(dāng)時(shí), 的取值范圍是_. 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16. （本小題滿分12分）如圖3, 是直角斜邊上一點(diǎn), .()證明: ; ()若,求的值.17. （本小題滿分12分）某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡(jiǎn)稱安檢), 若安檢不合格, 則必須整改. 若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格, 則強(qiáng)制關(guān)閉. 設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的, 且每家煤礦整改前合格的概率是, 整改后安檢合格的概率是,計(jì)算(結(jié)果精確到);() 恰好有兩家煤礦必須整改的概率; () 平均有多少家煤礦必須整改;() 至少關(guān)閉一家煤礦的概率 .18. （本小題滿分14分）如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2, () 證明: ; () 求異面直線所成的角;() 求點(diǎn)到平面的距離.19（本小題滿分14分）已知函數(shù), 數(shù)列滿足: , an+1=f(an)，證明： () ; () .20（本小題滿分14分）對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)? 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度. ()分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; ()若采用方案乙, 當(dāng)為某定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.21（本小題滿分14分）已知橢圓, 拋物線, 且的公共弦 過橢圓的右焦點(diǎn) . () 當(dāng), 求的值, 并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線上;() 是否存在的值, 使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上? 若存在, 求出符合條件的的值; 若不存在, 請(qǐng)說明理由 . 2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷） 數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案1.D； 2.A； 3.D； 4.A； 5.B； 6.D； 7.A； 8.C； 9.C； 10.B；11.； 12.5； 13.； 14.(1，) ； 15.() ,；16、解 (I)如圖, 因?yàn)?，所?，即 。（II）在中,由正弦定理得，即。所以。由（I），所以。即，解得或。 因?yàn)?，所以，從而?7、解（I）每家煤礦必須整改的概率是10.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的，所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是。（II）由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)服從二項(xiàng)公布，從而的數(shù)學(xué)期望是，即平均有2.50家煤礦必須整改。（III）某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是，由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，故至少關(guān)閉一家煤礦的概率是18.解法一（）連接AC、BD，設(shè)ACBDO因?yàn)镻ABCD與QABCD都是正四棱錐，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ平面ABCD（II）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以由（I），平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，于是從而異面直線AQ與PB所成的角是（）由（），點(diǎn)D的坐標(biāo)是，設(shè)（x,y,z）是平面QAD的一個(gè)法向量，由解法二（）取AD的中點(diǎn)M，連接PM,QM,因?yàn)镻ABCD與QABCD都是正四棱錐，所以ADPM,ADOM（）由（），點(diǎn)D的坐標(biāo)是解法二（），點(diǎn)D的坐標(biāo)是解法二（）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，QM.因?yàn)镻ABCD與QABCD都是正四棱錐，所以ADPM,ADQM從而AD平面ABCD。（）連接AC,BD,設(shè)ACBD0，由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P，A，Q，C.取OC的中點(diǎn)N，連接PN（或其補(bǔ)角）是異面直線，AQ與PB所成的角，連接BN，因?yàn)?9.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，證明：（） （）證明 （）先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，由已知，結(jié)論成立。（iii）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即因?yàn)闀r(shí)，所以在（0，1）上是增函數(shù)，又在0，1上連續(xù)，從而，即，故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立由（i）、（ii）可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立又因?yàn)闀r(shí)，所以，綜上所述（）設(shè)函數(shù)由（）知，當(dāng)時(shí)，從而所以在（0，1）上是增函數(shù)，又在0，1上連續(xù)，且，所以當(dāng)時(shí)，成立。于是，即，故20.解：（）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為與，由題設(shè)有，解得由得方案乙初次用水量為3，第二次用水量滿足方程，解得，故即兩種方案的用水量分別為19與。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即，故方案乙的用水量較少（）設(shè)初次與第二次清晰的用水輛分別為與，類似（）得 （*）于是當(dāng)為定值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)（不合題意，舍去）或（0.8，0.99）將代入（*）式得故時(shí)總用水量最少，此時(shí)第一次與第二次用水量分別為與，最少總用水量是當(dāng)時(shí)，故是增函數(shù)（也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷）。這說明，隨著的值的增加，最少總用量增加。21解： (I)當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m0，直線AB的方程x1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，）。因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即。此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該焦點(diǎn)不在直線AB上。（II）解法一 假設(shè)存在m、p的值使C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由(I)知道直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為。由消去y得.設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，則x1、x2是方程的兩根，由消去y得（kxkm）22px.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在上，所以即。代入有 。即。.由x1，x2 也是方程的兩根， 所以。從而，。 .又AB過C1,C2的焦點(diǎn)。所以，則。.由，得。即。解得k26。于是,。因?yàn)镃2得焦點(diǎn)在直線上，所以。即或 。由上知，滿足條件得m、p存在，且或，解法二 設(shè)A、B得坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2)因?yàn)锳B即過C1得右焦點(diǎn)F（1，0），又過C2得焦點(diǎn)。所以。即。.由（I）知，于是直線AB的斜率。.且直線AB的方程是。所以。.又因?yàn)?，所以。.將，代入得。.因?yàn)椋?所以。.將、代入得。.由、得，即。解得或（舍去）。將代入得，所以或。由上知，滿足條件的、存在，且或， 2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于（ ）ABCD2不等式的解集是（ ）ABCD3設(shè)是兩個(gè)集合，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件4設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（ ）ABCD5設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.9756函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A4B3C2D17下列四個(gè)命題中，不正確的是（ ）A若函數(shù)在處連續(xù)，則B函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和C若函數(shù)，滿足，則D8棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）ABCD9設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD10設(shè)集合， 都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的，（，），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（ ）A10B11C12D13二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在橫線上11圓心為且與直線相切的圓的方程是 12在中，角所對(duì)的邊分別為，若，b=，則 13函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 14設(shè)集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 圖1三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間17（本小題滿分12分）某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望18（本小題滿分12分）如圖2，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖3AEBCFDG圖2圖3（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，時(shí)，求直線和平面所成的角19（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元已知，（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最??；（II） 對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。↖II）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論20（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由21（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增 2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1C 2D 3B 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在橫線上11121314（1）（2）15，32三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16解：（I）由題設(shè)知因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，即（）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（II）因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）18解：解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，故因?yàn)?，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫↖I）由（I）可知，平面故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得故可取過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)在軸上因?yàn)椋?，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19解：（I）